高中数学课时跟踪检测十五空间向量的正交分解及其坐标表示新人教A版选修.docx

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高中数学课时跟踪检测十五空间向量的正交分解及其坐标表示新人教A版选修

2019-2020年高中数学课时跟踪检测十五空间向量的正交分解及其坐标表示新人教A版选修

1．已知A（3,2，－3），则点A关于y轴的对称点的坐标是（　　）

A．（－3，－2,3）　　　　　B．（－3,2，－3）

C．（－3,2,3）D．（－3，－2，－3）

解析：

选C　由对称定义知．

2．设p：

a，b，c是三个非零向量；q：

{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇒/q，q⇒p.

3．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（　　）

A．向量的坐标与点B的坐标相同

B．向量的坐标与点A的坐标相同

C．向量与向量的坐标相同

D．向量与向量－的坐标相同

解析：

选D　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B，C都不正确；由于＝－，所以D正确．

4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于（　　）

A.＋＋B.（＋＋）

C.（＋＋）D.＋＋

解析：

选B　如图，

＝（＋）

＝＋×（＋）

＝＋＋

＝（＋＋）．

5．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为（　　）

A.a－b＋cB．－a＋b＋c

C.a＋b－cD.a＋b－c

解析：

选B　＝＋＋

＝＋－＋（－）

＝－＋＋

＝－a＋b＋c.

6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．

解析：

由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，

所以a＝（4，－8,3），b＝（－2，－3,7）．

答案：

a＝（4，－8,3），b＝（－2，－3,7）

7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.

解析：

因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，

于是有解得

答案：

2　－2

8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0（λ∈R），则λ＝________.

解析：

如图，连接A1C1，C1D，

则E在A1C1上，F在C1D上，

易知EF綊A1D，

∴＝，即－＝0，

∴λ＝－.

答案：

－

9．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

（1）用向量a，b，c表示，；

（2）若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

解：

（1）如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，

＝＋＝＋＝－（＋）＋（＋）＝（a－c）．

（2）＝（＋）

＝（－＋）

＝（－c＋a－b－c）

＝a－b－c，

∴x＝，y＝－，z＝－1.

10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：

EF⊥AB1.

证明：

设＝a，＝b，＝c，

则＝＋＝（＋）

＝（＋）＝（＋－）

＝（－a＋b＋c），

＝＋＝＋＝a＋b.

∴·＝（－a＋b＋c）·（a＋b）

＝（|b|2－|a|2）＝0.

∴⊥，即EF⊥AB1.

层级二　应试能力达标

1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间的一个基底的关系是（　　）

A．＝＋＋

B．＝＋

C．＝＋＋

D．＝2－

解析：

选C　对于选项A，由＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.

2．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；

②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；

③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；

④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选D　根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：

假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.

3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是（　　）

A．（1,1,1）B.

C．（3,2,5）D．（3,2，－5）

解析：

选C　＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是（3,2,5），故选C.

4．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为（3,4,5）和（0,2,1），若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　∵＝－＝（2b＋c）－（3a＋4b＋5c）＝－3a－2b－4c，∴＝＝－a－b－c，∴向量在基底{a，b，c}下的坐标是，故选A.

5．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．

解析：

若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.

答案：

x＝y＝z＝0

6．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________.

解析：

由已知d＝（α＋γ）e1＋（α＋β）e2＋（γ＋β）e3.

所以故有α＋β＋γ＝3.

答案：

3

7．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，且M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：

M，N，P，Q四点共面．

证明：

依题意，有＝2，＝2.

＝＋＋＝＋＋＝（＋＋）＋＋＝（＋）．　（*）

∵A，B，C及A1，B1，C1分别共线，

∴存在λ，ω∈R，使得＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.

代入（*）式，得＝（2λ＋2ω）＝λ＋ω，

∴，，共面．

∴M，N，P，Q四点共面．

8．已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：

PM⊥QN.

证明：

如图，取向量，，为空间基底，则＝（＋），

＝（＋）．

∴＝－＝（＋）

－＝（＋－），

＝－＝（＋）－

＝（＋－）．

又∵＝－，

∴＝（＋），＝（－），

∴·＝（＋）·（－）

＝（||2－||2），

又∵||＝||，

∴·＝0，即PM⊥QN.

2019-2020年高中数学课时跟踪检测十五线性回归方程苏教版必修

1．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是________．（填序号）

①都可以分析出两个变量的关系；

②都可以用一条直线近似地表示两者的关系；

③都可以用确定的表达式表示两者的关系；

④都可以作出散点图．

答案：

①④

2．根据下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．

答案：

②③

3．已知x与y之间的一组数据如下表：

x

1

2

3

4

y

2

3

5

7

则x与y之间的线性回归方程＝bx＋a必过点______．

解析：

首先可求＝2.5，＝4.25，又回归直线必过点（，），故回归直线必过点（2.5,4.25）．

答案：

（2.5,4.25）

4．已知某工厂在xx年每月产品的总成本y（万元）与月产量x（万件）之间有线性相关关系，回归方程为＝1.215x＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加______万元．

解析：

由1＝1.215x1＋0.974，

2＝1.215（x1＋4）＋0.974，

得2－1＝1.215×4＝4.86（万元）．

答案：

4.86

5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

销量y（件）

90

84

83

80

75

68

（1）求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从

（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？

（利润＝销售收入－成本）

解：

（1）由于＝（x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6）＝8.5，

＝（y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6）＝80.

所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.

（2）设工厂获得的利润为L元，依题意得

L＝x（－20x＋250）－4（－20x＋250）

＝－20x2＋330x－1000

＝－20（x－）2＋361.25.

当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

层级二　应试能力达标

1．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有________．

①球的体积和它的半径

②人的血压和体重

③底面积为定值的长方体的体积和高

④城镇居民的消费水平和平均工资

答案：

①③

2.如图，从5组数据对应的点中去掉点________后，剩下的4组数据的线性相关性就更好了．

解析：

由散点图知：

呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D点．

答案：

D

3．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（℃）

18

13

10

－1

用电量（度）

24

34

38

64

由表中数据得线性回归方程＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．

解析：

＝10，＝40，回归方程过点（，），

∴40＝－2×10＋a，∴a＝60.

∴y＝－2x＋60.

令x＝－4，∴＝（－2）×（－4）＋60＝68.

答案：

68

4．对某台机器购置后的运营年限x（x＝1,2,3…）与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．

解析：

只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．

答案：

8

5．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：

广告费用（千元）

1

4

6

10

14

销售额（千元）

19

44

40

52

53

销售额y（千元）与广告费用x（千元）之间有线性相关关系，回归方程为＝2.3x＋a（a为常数），现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．

解析：

＝7，＝41.6，

则a＝－2.3