高中数学组卷100题 悉心挑选.docx
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高中数学组卷100题悉心挑选
2014年1月694909163的高中数学组卷
一.解答题(共30小题)
1.(2011•广东)设b>0,数列{an}满足a1=b,an=
(n≥2)
(1)求数列{an}的通项公式;
(4)证明:
对于一切正整数n,2an≤bn+1+1.
2.(2010•湖北)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:
m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同事也拆除面积为b(单位:
m2)的旧住房.
(Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式:
(Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?
(计算时取1.15=1.6)
3.(2008•广东)设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=
(an﹣1+2an﹣2)(n=3,4,…).数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有﹣1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)记cn=nanbn(n=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn.
4.设等差数列{an}满足a3=5,a10=﹣9.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.
5.已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2(
),a3+a4+a5=64
+
+
)
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=(an+
)2,求数列{bn}的前n项和Tn.
6.已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q,其中p>q,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和.求
.
7.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6,
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{
}的前n项和.
8.已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=2AB=4.根据已经给出的此四棱锥的正视图,画出其俯视图和侧视图.
9.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:
cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.
10.(2007•广东)如图所示,等腰△ABC的底边
,高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB,现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AC,记BE=x,V(x)表示四棱锥P﹣ACFE的体积.
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC与PF所成角的余弦值.
11.如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E、F分别为棱AA1与CC1的中点,求四棱锥的A1﹣EBFD1的体积.
12.(2012•通州区一模)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面为正三角形,AA1⊥平面ABC,且AA1=AB=3,D是BC的中点.
(I)求证:
A1B∥平面ADC1;
(II)求证:
平面ADC1⊥平面DCC1;
(III)在侧棱CC1上是否存在一点E,使得三棱锥C﹣ADE的体积是
,若存在,求CE长;若不存在,说明理由.
13.(2012•马鞍山二模)如图,在正三棱柱ABC一DEF中,AB=2,AD=1,P是CF的延长线上一点,过A、B、P三点的平面交FD于M,交EF于N.
(I)求证:
MN∥平面CDE:
(II)当平面PAB⊥平面CDE时,求三梭台MNF﹣ABC的体积.
14.(2010•宝山区模拟)在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
.
(1)求四棱锥S﹣ABCD的体积;
(2)求直线AB与直线SD所成角的大小.
15.(2008•黄冈模拟)已知直线x+y﹣1=0与椭圆
(a>b>0)相交于A、B两点,M是线段AB上的一点,
=﹣
,且点M在直线l:
y=
上,
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上,求椭圆的方程.
16.(2011•晋中三模)如图,已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,E,F分别是棱BC,B1C1上的动点,且EF∥CC1,CD=DD1=1,AB=2,BC=3.
(Ⅰ)证明:
无论点E怎样运动,四边形EFD1D都为矩形;
(Ⅱ)当EC=1时,求几何体A﹣EFD1D的体积.
17.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面B1ED交A1D1于F
(1)指出F在A1D1上的位置,并证明;
(2)求三棱锥C1﹣B1EF的体积.
18.正四面体A﹣BCD的棱长为1,(Ⅰ)如图
(1)M为CD中点,求异面直线AM与BC所成的角;(Ⅱ)将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开,作为正四棱锥的侧面如图
(2),求二面角M﹣AB﹣E的大小;(Ⅲ)若将图
(1)与图
(2)面ACD重合,问该几何体是几面体(不需要证明),并求这几何体的体积.
19.如图所示,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为多少?
20.(2010•深圳模拟)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点
(1)求证:
EF∥平面SAD
(2)设SD=2CD,求二面角A﹣EF﹣D的大小.
21.如图,已知A1B1C1﹣ABC是正三棱柱,D是AC中点.
(1)证明AB1∥平面DBC1;
(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
22.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1,连接AP交棱CC1于点D.
(Ⅰ)求证:
PB1∥平面BDA1;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值.
23.(2013•东莞一模)如图,AA1、BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D、E分别是AA1、CB1的中点,DE⊥面CBB1.
(1)证明:
DE∥面ABC;
(2)证明:
面A1B1C⊥面A1AC;
(3)求四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OO1的体积比.
24.(2011•深圳二模)如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且
.
现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2
(1)求证:
AM∥平面BEC;
(2)求证:
BC⊥平面BDE;
(3)求点D到平面BEC的距离.
25.(2010•广东模拟)如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,且F是CD的中点.
(I)求证:
AF∥平面BCE;
(Ⅱ)求证:
平面BCE⊥平面CDE.
(Ⅲ)如果一只苍蝇在该几何体内部任意飞,求它在三棱锥B﹣ACF内部飞的概率.
26.(2011•广东)如图所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的,A,A′,B,B′分别为
的中点,O1,O1′,O2,O2′分别为CD,C′D′,DE,D′E′的中点.
(1)证明:
O1′,A′,O2,B四点共面;
(2)设G为AA′中点,延长A′O1′到H′,使得O1′H′=A′O1′.证明:
BO2′⊥平面H′B′G
27.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.
(Ⅰ)证明:
平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若
,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
28.(2008•越秀区模拟)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示,其中主视图AA1B1B和左视图B1BCC1均为矩形,在俯视图△A1B1C1中,A1C1=3,A1B1=5,
.
(1)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,求证:
BC⊥AC1;
(2)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若D是底边AB的中点,求证:
AC1∥平面CDB1.
(3)若三棱柱的高为5,求三视图中左视图的面积.
29.(2008•深圳一模)如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,且AB=AD=a,BF=DH=b.
(Ⅰ)证明:
截面四边形EFGH是菱形;
(Ⅱ)求三棱锥F﹣ABH的体积.
30.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中点.
(Ⅰ)证明:
A1C1∥平面ACD;
(Ⅱ)求异面直线AC与A1D所成角的大小;
(Ⅲ)证明:
直线A1D⊥平面ADC.
一.解答题(共30小题)
1.(2011•广东)设b>0,数列{an}满足a1=b,an=(n≥2)
(1)求数列{an}的通项公式;
(4)证明:
对于一切正整数n,2an≤bn+1+1.
考点:
数列递推式;数列与不等式的综合.528173
分析:
(1)由题设形式可以看出,题设中给出了关于数列an的面的一个方程,即一个递推关系,所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律,观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式,对其中参数进行讨论,分类求其通项即可.
(2)由于本题中条件较少,解题思路不宜用综合法直接分析出,故求解本题可以采取分析法的思路,由结论探究其成立的条件,再证明此条件成立,即可达到证明不等式的目的.
解答:
解:
(1)∵(n≥2),
∴(n≥2),
当b=1时,(n≥2),
∴数列{}是以为首项,以1为公差的等差数列,
∴=1+(n﹣1)×1=n,即an=1,
当b>0,且b≠1时,(n≥2),
即数列{}是以=为首项,公比为的等比数列,
∴=×=,即an=,
∴数列{an}的通项公式是
(2)证明:
当b=1时,不等式显然成立
当b>0,且b≠1时,an=,要证对于一切正整数n,2an≤bn+1+1,只需证2×≤bn+1+1,即证
∵
=
=(bn+1+1)×(bn﹣1+bn﹣2+…+b+1)
=(b2n+b2n﹣1+…+bn+2+bn+1)+(bn﹣1+bn﹣2+…+b+1)
=bn[(bn+bn﹣1+…+b2+b)+(++…+)]
≥bn(2+2+…+2)=2nbn
所以不等式成立,
综上所述,对于一切正整数n,有2an≤bn+1+1,
点评:
本题考点是数列的递推式,考查根据数列的递推公式求数列的通项,研究数列的性质的能力,本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式,两边取倒数,条件许可的情况下,使用此技巧可以使得解题思路呈现出来.数列中有请多成熟的规律,做题时要注意积累这些小技巧,在合适的情况下利用相关的技巧,可以简化做题.在
(2)的证明中,采取了分析法的来探究解题的思路,通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧.
2.(2010•湖北)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:
m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同事也拆除面积为b(单位:
m2)的旧住房.
(Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式:
(Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?
(计算时取1.15=1.6)
考点:
数列的应用.528173
专题:
应用题.
分析:
(1)由题意要知第1年末的住房面积,第2年末的住房面积.
(Ⅱ)第5年末的住房面积=,依题意可知,1.6a﹣6b=1.3a,由此解得每年拆除的旧房面积为.
解答:
解:
(1)第1年末的住房面积,
第2年末的住房面积,
(Ⅱ)第3年末的住房面积=,
第4年末的住房面积,
第5年末的住房面积a•()5﹣b=
依题意可知,1.6a﹣6b=1.3a,解得,
所以每年拆除的旧房面积为.
点评:
本题考查数列性质的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件.
3.(2008•广东)设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=(an﹣1+2an﹣2)(n=3,4,…).数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有﹣1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)记cn=nanbn(n=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn.
考点:
数列的求和.528173
专题:
计算题;压轴题.
分析:
(1)由得(n≥3),所以,再用累加法求出an,再由n的奇偶性进行讨论知bn.
(2),再由n的奇偶性分别计算数列{cn}的前n项和Sn.
解答:
解:
(1)由得(n≥3)
又a2﹣a1=1≠0,
∴数列{an+1﹣an}是首项为1公比为的等比数列,
an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+(a4﹣a3)++(an﹣an﹣1)
=
=,
当n为奇数时当n为偶数时
由
得b2=﹣1,
由
得b3=1,
同理可得当n为偶数时,bn=﹣1;当n为奇数时,bn=1;
因此.
(2)
Sn=c1+c2+c3+c4++cn
当n为奇数时,=
当n为偶数时
=
令①
①×得:
②
①﹣②得:
=
∴
当n为奇数时当n为偶数时
因此
点评:
本题考查数列性质的综合应用,解题时要注意公式的灵活运用,尤其是在求值时要重视对n的奇偶性的讨论.
4.设等差数列{an}满足a3=5,a10=﹣9.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.
考点:
等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.528173
分析:
(1)设出首项和公差,根据a3=5,a10=﹣9,列出关于首项和公差的二元一次方程组,解方程组得到首项和公差,写出通项.
(2)由上面得到的首项和公差,写出数列{an}的前n项和,整理成关于n的一元二次函数,二次项为负数求出最值.
解答:
解:
(1)由an=a1+(n﹣1)d及a3=5,a10=﹣9得
a1+9d=﹣9,a1+2d=5
解得d=﹣2,a1=9,
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
(2)由
(1)知Sn=na1+d=10n﹣n2.
因为Sn=﹣(n﹣5)2+25.
所以n=5时,Sn取得最大值.
点评:
数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数,当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值,因此它具备函数的特性.
5.已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2(),a3+a4+a5=64++)
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=(an+)2,求数列{bn}的前n项和Tn.
考点:
等比数列的通项公式;数列的求和.528173
专题:
计算题.
分析:
(1)由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程,然后求解即可
(2)由bn的定义求出通项公式,在由通项公式,利用分组求和法即可求解
解答:
解:
(1)设正等比数列{an}首项为a1,公比为q,由题意得:
∴an=2n﹣1(6分)
(2)
∴bn的前n项和Tn=(12分)
点评:
(1)此问重基础及学生的基本运算技能
(2)此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和,及指数的基本运算性质
6.已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q,其中p>q,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和.求.
考点:
等比数列的通项公式;极限及其运算;数列的求和.528173
专题:
计算题.
分析:
先根据等比数列的通项公式分别求出an和bn,再根据等比数列的求和公式,分别求得Sn和Sn﹣1的表达式,进而可得的表达式,分p>1和p<1对其进行求极限.
解答:
解:
,.
分两种情况讨论.(Ⅰ)p>1.
∵,=
==
=p.
(Ⅱ)p<1.
∵0<q<p<1,==
点评:
本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.
7.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6,
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{}的前n项和.
考点:
等比数列的通项公式;数列的求和.528173
专题:
综合题;转化思想.
分析:
(Ⅰ)设出等比数列的公比q,由a32=9a2a6,利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程,由已知等比数列的各项都为正数,得到满足题意q的值,然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1,把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项,根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可;
(Ⅱ)把(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后,即可得到bn的通项公式,求出倒数即为的通项公式,然后根据数列的通项公式列举出数列的各项,抵消后即可得到数列{}的前n项和.
解答:
解:
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=.
由条件可知各项均为正数,故q=.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.
故数列{an}的通项式为an=.
(Ⅱ)bn=++…+=﹣(1+2+…+n)=﹣,
故=﹣=﹣2(﹣)
则++…+=﹣2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=﹣,
所以数列{}的前n项和为﹣.
点评:
此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题.
8.已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=2AB=4.根据已经给出的此四棱锥的正视图,画出其俯视图和侧视图.
考点:
简单空间图形的三视图.528173
专题:
作图题.
分析:
由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,我们可知该几何体的正视图与侧视力为三角形,俯视图为直角梯形,结合且PA=AD=DC=2AB=4,易画出几何体的三视图.
解答:
解:
该几何体的三视图如下图所示:
点评:
本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种简单几何体三视图的形状是解答本题的关键.
9.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:
cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.
考点:
空间几何体的直观图;由三视图求面积、体积.528173
专题:
计算题;作图题.
分析:
(1)根据三视图的画出,进行复原画出几何体的图形即可.
(2)几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体,求出底面面积,然后求出体积即可.
解答:
解:
(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体.
由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,
可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积
S=5×22+2×2×1+2××2
=22+4(cm2),
所求几何体的体积V=23+×()2×2=10(cm3).
点评:
本题考查三视图复原几何体,画出中逐步按照三视图的作法复原,考查空间想象能力,逻辑推理能力,计算能力,转化思想,是中档题.
10.(2007•广东)如图所示,等腰△ABC的底边,高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB,现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AC,记BE=x,V(x)表示四棱锥P﹣ACFE的体积.
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC与PF所成角的余弦值.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积;函数的最值及其几何意义;异面直线及其所成的角.528173
专题:
计算题;作图题;综合题.
分析:
(1)先求底面面积,再求出高,即可求V(x)的表达式;
(2)利用导数,来求V(x)的最大值,
(3)过F作MF∥AC交AD于M,得到异面直线所成的角,然后求异面直线AC与PF所成角的余弦值.
解答:
解:
(1)由折起的过程可知,PE⊥平面ABC,
V(x)=()
(2),所以x∈(0,6)时,v'(x)>0,V(x)单调递增;
时v'(x)<0,V(x)单调递减;
因此x=6时,V(x)取得最大值;
(3)过F作MF∥AC交AD与M,
则,
PM=,,
在△PFM中,,
∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为.
点评:
本题考查几何体的体积,导数的应用,异面直线所成的角,考查空间想象能力、逻辑思维能力,是中档题.
11.如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E、F分别为棱AA1与CC1的中点,求四棱锥的A1﹣EBFD1的体积.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积.528173
专题:
计算题;转化思想.
分析:
法一:
判断四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形,连接A1C1、EF、BD1,说明A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高,求出底面,高的大小,即可得到棱锥的体积.
法二:
三棱锥A1﹣EFB与三棱锥A1﹣EFD1等底同高,棱锥转化为2•••a,求解即可.
解答:
解:
法一:
∵EB=BF=FD1=D1E==a,
∴四棱锥A1﹣EBFD1的底面是菱形.(2分)
连接A1C1、EF、BD1,则A1C1∥EF.
根据直线和平面平行的判定定理,A1C1平行于A1﹣EBFD1的底面,
从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1﹣EBFD1的高(4分)
设G、H分别是A1C1、EF的中点,连接D1G、GH,则FH⊥HG,FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理,有FH⊥平面HGD1,
又,四棱锥A1﹣EBFD1的底面过FH,根据两平面垂直的判定定理,
有A1﹣EBFD1的底面⊥平面HGD1.作GK⊥HD1于K,
根据两平面垂直的性质定理,有GK垂直于A1﹣EBFD1的底面.(6分)
∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴∠HGD1=90°.
在Rt△HGD1内,GD1=a,HG=a,HD1==a.
∴a•GK=a•a,从而GK=a.(8分)
∴=•GK=••EF•BD1•GK
=•a•a•a=a3(10分)
解法二∵EB=B
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