同济大学高等数学第十章重积分.docx

同济大学高等数学第十章重积分.docx

《同济大学高等数学第十章重积分.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高等数学第十章重积分.docx（103页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

同济大学高等数学第十章重积分

第十章重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数fx在区间a,b上的定积分，

并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念.本

章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用

第1节二重积分的概念与性质

1.1二重积分的概念

F面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义

1.1.1.曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的

边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数zfx,y，且

fx,y

0所表示的曲面（图

10—1）

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法

（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

（1）分割闭区域D为n个小闭区域

1，2，L，n,

同时也用A^表示第i个小闭区域的面积，用dAct表示区域A°的直径（一个闭区域的直径

是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.

（2）在每个小闭区域上任取一点

E，n，E，n，L,旨，n

对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f（E,n）而底为Ai（y的平顶柱体的体积来近似代替.

（3）这n个平顶柱体的体积之和

n

f（i,i）i

i1

就是曲顶柱体体积的近似值•

⑷用X表示n个小闭区域A0的直径的最大值，即入miaxdA0•当入0（可理解为A°

收缩为一点）时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：

n

Vlim0f（i,i）i.

0i1

1.1.2平面薄片的质量

设薄片在xOy平面占有平面闭区域D，它在点（x,y）处的面密度是pPx,y）.设（x,y）0且在D上连续，求薄片的质量（见图10-3）.

图10-3

先分割闭区域D为n个小闭区域1，2丄，n

在每个小闭区域上任取一点

E,n，E,n，L,E,n

近似地，以点（E，n）处的面密度pE,n）代替小闭区域A0上各点处的面密度，则得到第i

块小薄片的质量的近似值为pE,n）A0，于是整个薄片质量的近似值是

n

（i,i）i

i1

用入maxdA莎表示n个小闭区域A0的直径的最大值，当D无限细分，即当入0时，

1in

上述和式的极限就是薄片的质量M，即

n

Mlim0pE,n）Ar.

X0i1

以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来

就得到下述二重积分的定义.

定义1设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数zf（x,y）在D上有界.将D分为n

个小区域

同时用AjO表示该小区域的面积，记AjO的直径为d，并令入rTiaxd△0.

在Ai吐任取一点（E,n）,（i1,2,L,n），作乘积

fE,nAq-

并作和式

n

Snf（E,n）Aq-.

i1

若入0时，Sn的极限存在（它不依赖于D的分法及点（乍，n）的取法），则称这个极限值为函数zf（x,y）在D上的二重积分，记作f（x,y）d，即

D

n

f（x,y）dlim0f（i,i）Ai,（10-1-1）

Di1

其中D叫做积分区域，f（x,y）叫做被积函数，dq叫做面积元素，f（x,y）dq叫做被积表达n

式，x与y叫做积分变量，f（E,n）Aq-叫做积分和.

i1

在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线（y=常数和X=常数）把区域D分割成

小矩形，它的边长是x和Ay，从而AqAxAy，因此在直角坐标系中的面积元素可写成

ddxdy，二重积分也可记作

n

f（x,y）dxdyli叫f（i,Ji.

Di1

有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示•曲顶柱体的体积V是函

数zf（x,y）在区域D上的二重积分

f（x,y）d;

D

V

薄片的质量M是面密度p

px,y）在区域

D上的—重积分

M

（x,y）d.

D

因为总可以把被积函数zf（x,y）看作空间的一曲面，所以当f（x,y）为正时，二重积分的

几何意义就是曲顶柱体的体积；当f（x,y）为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲

顶柱体体积的负值•如果f（x,y）在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么f（x,y）在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和

如果f（x,y）在区域D上的二重积分存在（即和式的极限（10-1-1）存在），则称f（x,y）在D上可积•什么样的函数是可积的呢？

与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.

如果f（x,y）是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f（x,y）在D上可积•

我们总假定zf（x,y）在闭区域D上连续，所以f（x,y）在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明•

1.1.3二重积分的性质

设二元函数f（x,y）,g（x,y）在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积

分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.

性质1常数因子可提到积分号外面•设k是常数，则

kf（x,y）dkf（x,y）d

DD

性质2函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即

f（x,y）g（x,y）df（x,y）dg（x,y）d.

DDD

性质3设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D上的二重积分等于各部分

闭区域上的二重积分的和•

例如D分为区域D1和D2（见图10-4），贝V

f（x,y）d

f（x,y）d

f（x,y）d.

（10-1-2）

1,c为D的面积，则

性质3表示

性质4设在闭区域D上f（x,y）

1dd.

DD

从几何意义上来看这是很明显的•因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面

积•

性质5设在闭区域D上有f（x,y）g（x,y），则

f（x,y）dg（x,y）d.

DD

由于|f（x,y）f（x,y）f（x,y）

又有f（x,y）df（x,y）d.

DD

这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分

性质6设M、m分别为f（x,y）在闭区域D上的最大值和最小值，c为D的面积，则有

上述不等式是二重积分估值的不等式

mf（x,y）d

D

.因为mf（x,y）

M.

M，所以由性质5有

md

D

f（x,y）d

Md,

D

即

性质7

使得

mmd

D

设函数f（x,y）在闭区域

f（x,y）d

D

D上连续，

MdM.

D

c是D的面积，则在D上至少存在一点（En

f（x,y）df（,）

D

这一性质称为二重积分的中值定理•证显然0.

因f（X,y）在有界闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D上必存在一点xi,yi使fxi,yi等于最大值M，又存在一点（x?

y?

）使f（X2』2）等于最小

值m，则对于D上所有点（x,y），有

mfx?

y2fx,yfxi,yiM.

由性质1和性质5,可得

mdf（x,y）dMd

DDD

再由性质4得

mf（x,y）dM,

D

或

1

mf（x,y）dM.

D

根据闭区域上连续函数的介值定理知，d上必存在一点（en,使得

1

—f（x,y）df（,），

D

即

f（x,y）df（,）,（EnD.

D证毕•

二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：

当Szf（x,y）为空间一连续曲面时，对以S为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D为底,以d内某点（en的函数值f（en为高的平顶柱体，它的体积f（eno■就等于这个曲顶柱体的体积•

习题10—1

2

1•根据二重积分性质，比较ln（xy）d与ln（xy）d的大小，其中

DD

（1）D表示以（0,1、（1,0）、（1,1为顶点的三角形;⑵D表示矩形区域x,y|3x5,0y2.

2•根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

:

22

（1）axyd,

D

D

22

{x,y|xy

a2}

;

⑵.

D

_222.

axyd,

D

22

{x,y|xy

a2}.

3•设f

x,y为连续函数，

求

1

lrim02f（x,y）d

5

nd

D

2

{x,y|xX0

y

22

y。

r}

4根据

二重积分性质，估计

下夕

可积分的值：

（1）I

.4+xyd,D

{

x,y|0x2,0

y

2}；

D

22

⑵Isinxsinyd,D{x,y|0xn0yn

D

（3）I

x24y29d,D{x,y|x2y2

D

4}.

5.设D0,10,1，证明函数

fx,y

1,x,y为D内有理点即

0,x,y为D内非有理点

y均为有理数

在D上不可积.

第2节二重积分的计算

只有少数二重积分（被积函数和积分区域特别简单）可用定义计算外，一般情况下要用定义计算二重积分相当困难•下面我们从二重积分的几何意义出发，来介绍计算二重积分的方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题.

2.1直角坐标系下的计算

在几何上，当被积函数fx,y0时，二重积分f（x,y）d的值等于以D为底，以曲面

D

zf（x,y）为顶的曲顶柱体的体积•下面我们用切片法”来求曲顶柱体的体积V.

设积分区域D由两条平行直线xa,xb及两条连续曲线y1x,y2x（见图10—5）所围成，其中ab,ix2x，贝UD可表示为

用平行于yOz坐标面的平面xx0ax0b去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间

2x0为底，以z

f（xo,y）为曲边的曲边梯形（见图10—6）,所以这截面的面积为

AX。

卷（x0）

（f>|（x0）

f（x°,y）dy.

■-/tv）

图10—6

由此，我们可以看到这个截面面积是X。

的函数•一般地，过区间［a,b］上任一点且平行于

yOz坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为

$2（X）

Ax2）f（x,y）dy，

其中y是积分变量，x在积分时保持不变•因此在区间［a,b］上,Ax是x的函数，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为

bb©2（x）

VaA（x）dxaf（x,y）dydx,

aa'x）

即得

f（x,y）d

D

b2（x）

ao）f（x,y）dydx,

或记作

b2（x）

f（x,y）d

D

adxf（x,y）dy.

上式右端是一个先对y,后对x积分的二次积分或累次积分•这里应当注意的是：

做第一次积分时，因为是在求x处的截面积Ax，所以x是a,b之间任何一个固定的值，y是积分变量；做

第二次积分时，是沿着x轴累加这些薄片的体积Axdx，所以x是积分变量

在上面的讨论中，开始假定了f（x,y）0,而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正

确•这里把此结论叙述如下：

f（x,y）在闭区域D上连续，D:

axb,1xy2x，贝U

f（x,y）dxdy

D

类似地，若zf（x,y）在闭区域D上连续，积分区域D由两条平行直线y

连续曲线x1y,x2y（见图10—7）所围成，其中cd,!

x2x，则

（10-2-1）

b2（x）

a,yb及两条

D可表示为

adx3f（x,y）dy•

Dx,y|cyd,!

则有

图10—7

以后我们称图10-5所示的积分区域为X型区域，X型区域D的特点是：

穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界的交点不多于两个•称图10—7所示的积分区域为Y型区域，Y型区域D的特点是：

穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个.

从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次定积分，关键是确定积分限，而确定积分限又依赖于区域D的几何形状.因此，首先必须正确地画出D的图形，将D表示为X型区域或Y型区域.如果D不能直接表示成X型区域或Y型区域，则应将D划分成若干个无公共内点的小区域，并使每个小区域能表示成X型区域或Y型区域，再利用二重积分对区域具有可加性相加，

区域D上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和（图10—8）•

例1计算二重积分xyd，其中

D

解画出区域D的图形，

D（图10—9）可表示为：

求出y

D为直线yx与抛物线yx2所包围的闭区域.

2

x两条曲线的交点，它们是0,0

及1,1.区域

x与y

因此由公式（10-2-1）得

xyd

D

1

0xdx

x

x2ydy

x2

2y

2dx

1（x3

0\

x5）dx

1

24

本题也可以化为先对

（10-2-2）得

后对y的积分,

这时区域D

可表为:

y.由公式

xyd

D

1y

0ydyyXdX.

积分后与上面结果相同.

例2计算二重积分

-2x

，其中D是由直线y

1所围成的闭

区域.

解画出积分区域D，易知

1，xy1（图10-10），若利用公式

D:

（10-2-1），得

1

1

3

1

3

dx

dx

x

2

3

13

0（x31）dx

若利用公式（10-2-2），就有

y1xydIy1,1xydxdy,

D

也可得同样的结果•

2

例3计算二重积分笃_d，其中D是直线y2,yx和双曲线xy1所围之闭区域

dy

解求得三线的三个交点分别是

!

2,（1,1）及（2,2）.如果先对y积分，那么当1x1时,

1

y的下限是双曲线y-，而当1x2时，y的下限是直线y

x

域D分为D1和D2两部分（图10—11）.

x，因此需要用直线

x1把区

于是

2

x.

2ddy

2

x.

2d

D1y

2

x.

2dy

1

1dx

2

22

2x.

12dyxy

2

dx

1

22

2x.

2dy

y

dx

dx

x

2

dx

x.dx

2

如果先对x积分，那么

由此可见，对于这种区域

81

27

192

64

x2

2

yx2_

2

3x

y

pd

1dy

12dx

2

dy

dy

7y

1

3y

1y

2y1

dy

y2

1

2

27

133y5

6

12y4

1

64•

D：

1y2，丄xy,于是y

D，如果先对y积分，就需要把区域

D分成几个区域来计算•这

D和被积函数的特点,

比先对x积分繁琐多了•所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域

选择适当的次序进行积分•

例4设f（x,y）连续，求证

bx

dxf（x,y）dy

aa

bb

dyf（x,y）dx.

y

证上式左端可表为

其中D:

axb,ayx

于是改变积分次序，可得

由此可得所要证明的等式•

dx

a

af（x,y）dy

a

Df（x,y）dd,

b,yx

例5计算二重积分

解把区域D表示为x

y

/

o

£

rbx

（图10—12）区域D也可表为：

ay

图10—12

bb

f（x,y）dadyyf（x,y）dx

ay

D

沁dd,其中

x

D是直线y

x与抛物线

2

yx所围成的区域.

型区域,

即D=x,y|0

2

1,x

0dx：

sinx

xdy

sinx

dx

x2

sinxdx

cosx

xcosx

sinx

0.1585

1sin1

注：

如果化为y型区域即先对

积分，则有

sinx*\ysinx

dddydx.

x0yx

由于沁的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分时，

x

除了要注意积分区域D的特点（区分是x型区域，还是y型区域）外，还应注意被积函数的特

点，并适当选择积分次序.

2.2二重积分的换元法

与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分

b

fxdx作变量替换x0（t）时，要把fx变成f0t,dx变成o（t）dt,积分限a,b也要变

a

成对应t的值.同样，对二重积分fx,yd作变量替换

D

xxu,v,

yyu,v,

时，既要把fx,y变成fxu,v,yu,v,还要把xOy面上的积分区域D变成uOv面上的区域DUv,并把D中的面积元素d厅变成DUv中的面积元素d二其中最常用的是极坐标系的情形•

2.2.1极坐标系的情形

下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法•把极点放在直角坐

标系的原点，极轴与x轴重合，那么点P的极坐标Pr,0与该点的直角坐标Px,y有如下互换公式：

xrcos0yrsin00r,002n;

rJx,0arctan丫；x,y

x

我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分

x,yd

D

用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设在直角坐标系中，我们是以平行于

而得到面积元素dudxdy.

在极坐标系中，与此类似，我们用

的射线，将区域D分成n个小区域

x轴和

zfx,y在区域D上连续.

y轴的两族直线分割区域D为一系列小矩形，从

'F常数”的一族同心圆，以及“0常数”的一族过极点Ui,j1,2,L,n，如图10—13所示.

小区域面积

记

则有

i,j

喩）

I

10—13

ri

ri

1,2丄

n

ri

0.

故有

d（Trdrd0.

fx,ydufrcos0rsin0

DD

这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式

数中的x,y分别换成rcos0rsin0,并把直角坐标的面积元素

rdrd0.

.在作极坐标变换时，只要将被积函dedxdy换成极坐标的面积元素

rdrd0即可•但必须指出的是：

区域D必须用极坐标系表示

在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算

（1）极点0在区域D外部，如图10—14所示.

.下面分三种情况讨论:

图10—14

设区域D在两条射线0a0B之间，两射线和区域边界的交点分别为A,B,将区域D的

边界分为两部分，其方程分别为rr10,rr20且均为［a3上的连续函数.此时

Dr,0|r10rr20,a03.

于是

3「20

frcos0,rsin0rdrd0d0frcos0rsin0rdr

aA0

D'

（2）极点O在区域D内部，如图10—15所示若区域D的边界曲线方程为rr0,这时

积分区域D为

Dr,010rr0,002n,

且r0在0,2n上连续.

2n「0

于是

frcos0,rsin0rdrd0d0frcos0rsin0rdr.

，00MD

（3）极点O在区域D的边界上，此时，积分区域D如图10—16所示.

r,0|a03°rr0

且r0在0,2n上连续，则有

3r

d0

a0

frcos0rsin0rdrd0

D

在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域

0

frcos0rsin0rdr.

D与被积函数的形式来决定

般来说，当积分区域为圆域或部分圆域,

及被积函数可表示为fx2y2

或fy等形式时,

x

常采用极坐标变换，简化二重积分的计算例6计算二重积分

Di

2

ydxdy,

其中Dx,y|x2y2a20

解在极坐标系中积分区域

r,

0|0

ra,0

则有

2

n

I

d

0

2

a

7t

0

a

0

narcsint1t2

1r2rdr

1r2

narcsina2.1a21.

解米用极坐标系.

xy2d，其中D是单位圆在第I象限的部分.

例7计算二重积分

D

于是有

xy2d

D

n

2d

0

1

rcos

0

2・2rsin

rdr

n

2

0cos

Qsin200：

r4dr

丄

15

4之间的环形闭区域

例8计算二重积分x2d，其中D是二圆x2y21和x2y2

D

解区域D:

0e2n1r2，如图10—18所示.

v

图10—18

于是

2d2n2222n1C0S223

xddrcosrdrdrdr

01021

D

15

~4

7t-

2.2.2.直角坐标系的情形

我们先来考虑面积元素的变化情况•

设函数组xx（u,v）,yy（u,v）为单值函数，在Duv上具有一阶连续偏导数，且其雅可比行列式

则由反函数存在定理，一定存在着

（x,y）

（u,v）

0,

D上的单值连续反函数

uu（x,y）,vv（x,y）.

这时Duv与D之间建立了一一对应关系，uOv面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为

xOy面上的曲线u（x,y）