高考数学北师大版理科 47 利用空间向量求空间角.docx
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高考数学北师大版理科47利用空间向量求空间角
课时分层训练(四十七) 利用空间向量求空间角
A组 基础达标
一、选择题
1.在正方体A1B1C1D1ABCD中,AC与B1D夹角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
D [建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).
∴
=(1,1,0),
=(-1,1,-1),
∵
·
=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,
∴
⊥
,
∴AC与B1D的夹角为
.]
2.(2017·西安调研)如图7720,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
图7720
A.
B.-
C.
D.-
A [不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1=(0,2,0),B1(0,2,1),∴
=(0,2,-1),
=(-2,2,1).
cos〈
,
〉=
=
=
.]
3.(2017·郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1夹角的正弦值为( )
【79140255】
A.
B.
C.
D.
B [设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
所以
1=(0,0,1),
=(-1,1,0),
1=(-1,0,1).
令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·
=-x+y=0,n·
1=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1),所以sinθ=|cos〈n,
1〉|=
=
.]
4.已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
A [
如图所示建立空间直角坐标系,设正三棱柱的棱长为2,则O(0,0,0),B(
,0,0),A(0,-1,0),B1(
,0,2),所以
=(
,1,2),由题知
=(-
,0,0)为侧面ACC1A1的法向量.即sinθ=
=
.故选A.]
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