高考理科数学二轮复习练习题专题4立体几何 第2讲.docx
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高考理科数学二轮复习练习题专题4立体几何 第2讲.docx
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高考理科数学二轮复习练习题专题4立体几何第2讲
专题四 第二讲
一、选择题
1.(2013·德阳市二诊)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,若已知m⊥n,m⊥α,则“n⊥β”是“α⊥β”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ⇒α⊥β.⇒/n⊥β.
2.(2014·重庆理,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.54B.60
C.66D.72
[答案] B
[解析] 如图所示
该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的,直三棱柱底面是直角三角形,两直角边长为3和4,柱高为5,∵EF∥AC,AC⊥平面ABDF,∴EF⊥平面ABDF,∴EF⊥DF,在直角梯形ABDF中,易得DF=5,故其表面积为S=SRt△ABC+S矩形ACEF+S梯形ABDF+S梯形BCED+SRt△DEF=+3×5+++=60.
3.(文)设α、β、γ是三个互不重合的平面,m、n为两条不同的直线.给出下列命题:
①若n∥m,m⊂α,则n∥α;
②若α∥β,n⊄β,n∥α,则n∥β;
③若β⊥α,γ⊥α,则β∥γ;
④若n∥m,n⊥α,m⊥β,则α∥β.
其中真命题是( )
A.①和②B.①和③
C.②和④D.③和④
[答案] C
[解析] 若n∥m,m⊂α,则n∥α或n⊂α,即命题①不正确,排除A、B;若α∥β,n⊄β,n∥α,则n∥β,则命题②正确,排除D,故应选C.
(理)已知α、β是两个不同的平面,m、n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
B.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
C.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n
D.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β
[答案] C
[解析] 对于选项A,m,n有可能平行也有可能异面;对于选项B,n有可能在平面α内,所以n与平面α不一定平行;对于选项D,m与β的位置关系可能是m⊂β,m∥β,也可能m与β相交.由n⊥β,α⊥β得,n∥α或n⊂α,又m⊥α,∴m⊥n,故C正确.
4.如图,边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起,使A,B,C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为( )
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 由条件知A′E、A′F、A′D两两互相垂直,以A′为一个顶点,A′E、A′F、A′D为三条棱构造长方体,则长方体的对角线为四面体外接球的直径,∵A′E=A′F=1,A′D=2,∴(2R)2=12+12+22=6,∴R=.
5.已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
[答案] B
[解析] ①过A、C作BD的垂线AE、CF,∵AB与BC不相等,∴E与F不重合,在空间图
(2)中,若AC⊥BD,∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面ACE,∴BD⊥CE,这样在平面BCD内,过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直矛盾,∴A错;②若AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,∵AB
6.(文)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )
A.2 B.
C.D.1
[答案] D
[解析] 本题考查了正四棱柱的性质,点到直线距离的求解.连接AC、BD,AC∩BD=O,连接EO,则EO∥AC1.则点C到平面BDE的距离等于AC1到平面BDE的距离,过C作CH⊥OE于H,CH为所求.在△EOC中,EC=,CO=,所以CH=1.本题解答体现了转化与化归的思想,注意等积法的使用.
(理)已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是侧棱PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为( )
A.B.
C.D.
[答案] C
[解析] 设AC与BD的交点为O,∵棱锥的各棱长都相等,
∴O为BD中点,∴EO∥PD,∴∠AEO为异面直线AE与PD所成的角,设棱长为1,则AO=,EO=,AE=,∵AO2+EO2=AE2,∴cos∠AEO==.
二、填空题
7.a、b表示直线,α、β、γ表示平面.
①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b,则α⊥β;
②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β;
③若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;
④若a不垂直于平面α,则a不可能垂直于平面α内无数条直线;
⑤若l⊂α,m⊂α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则α∥β.
其中为真命题的是__________.
[答案] ②⑤
[解析] 对①可举反例如图,需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明,当γ不与α,β的交线垂直时,即可得到a,b不垂直;④对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线.所以只有②⑤是正确的.
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为________.
[答案] 3
[解析] 4πR2=12π,∴R=,△ABC外接圆半径r=,∴柱高h=2=2,∴体积V=×()2×2=3.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是线段A1C1上的动点,则四棱锥P-ABCD的外接球半径R的取值范围是______________.
[答案]
[解析] 当P为A1C1的中点时,设球半径为R,球心到底面ABCD距离为h,则,∴R=,当P与A1(或C1)重合时,外接球就是正方体的外接球,R=,∴R∈[,].
三、解答题
10.(文)(2014·江苏,16)如图,在三棱锥P-ABC中,D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
[解析]
(1)由于D、E分别是棱PC、AC的中点,则有PA∥DE,
又PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,
所以PA∥平面DEF.
(2)由
(1)PA∥DE,又PA⊥AC,所以DE⊥AC,
又F是AB中点,所以DE=PA=3,EF=BC=4,
又DF=5,所以DE2+EF2=DF2,所以DE⊥EF,
EF、AC是平面ABC内两条相交直线,所以DE⊥平面ABC,
又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.
(理)(2013·内江模拟)已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.
(1)求证:
PF⊥DF;
(2)若PD与平面ABCD所成角为30°,在PA上找一点G,使EG∥平面PFD,并求出AG的长.
[解析]
(1)证明:
连接AF,∵PA⊥平面ABCD,且DF⊂平面ABCD,∴DF⊥PA,
又F为BC中点,BC=4,AB=2,
∴BF=BA,∴∠AFB=45°,
同理∠DFC=45°,
∴∠AFD=90°,即DF⊥AF,∴DF⊥平面PAF.
又PF⊂平面PAF,∴PF⊥DF.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴∠PDA就是PD与平面ABC所成角.
∴∠PDA=30°,∴PA=.
延长DF交AB延长线于H,连接PH,则平面PDF就是平面PHD,在平面PAH内,过E作EG∥PH交PA于G.
∵EG∥PH,PH⊂平面PHD,∴EG∥平面PHD,
即EG∥平面PDF,故点G为所求.
∴==,∴AG=.
一、选择题
11.(文)(2013·吉大附中模拟)已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.m∥n,m⊥α⇒n⊥α
B.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n
C.m⊥α,m⊥n⇒n∥α
D.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β
[答案] A
[解析] 由线面垂直的性质定理知A正确;如图1知,当m1⊂β,m1∩n=A时满足B的条件,但m与n不平行;当m⊥α,m⊥n时,可能有n⊂α;如图2知,m∥n∥l,α∩β=l时满足D的条件,由此知D错误.
(理)设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:
①⇒β∥γ ②⇒m⊥β
③⇒α⊥β④⇒m∥α
其中,真命题是( )
A.①④ B.②③
C.①③ D.②④
[答案] C
[解析] ①正确,平行于同一个平面的两个平面平行;②错误,由线面平行、垂直定理知:
m不一定垂直于β;③正确,由线面平行,垂直关系判断正确;④错误,m也可能在α内.综上所述,正确的命题是①③,故选C.
12.(文)(2013·西城区模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱B1C1的中点,动点P在底面ABCD内,且PA1=A1E,则点P运动形成的图形是( )
A.线段B.圆弧
C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分
[答案] B
[解析] |AP|===|B1E|(定值),故点P在底面ABCD内运动形成的图形是圆弧.
(理)(2013·保定市模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1的中点,P在底面ABCD内运动,且满足∠DPD1=∠CPM,则点P的轨迹为( )
A.圆的一部分B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
[答案] A
[解析] 由∠DPD1=∠CPM得==,
∴=2,在平面ABCD内,以D为原点,DA、DC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设DC=1,P(x,y),
∵PD=2PC,∴=2,整理得x2+(y-)2=,所以,轨迹为圆的一部分,故选A.
13.(2013·苍南求知中学月考)已知A、B是两个不同的点,m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,给出下列4个命题:
①若m∩n=A,A∈α,B∈m,则B∈α;②若m⊂α,A∈m,则A∈α;③若m⊂α,m⊥β,则α⊥β;④若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β,其中真命题为( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
[答案] C
[解析] ②∵m⊂α,∴m上的点都在平面α内,又A∈m,∴A∈α,∴②对;由二面垂直的判定定理知,③正确.
二、解答题
14.(文)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点.且CC1=AC.
(1)求证:
CN∥平面AMB1;
(2)求证:
B1M⊥平面AMG.
[证明]
(1)如图取线段AB1的中点P,连接NP、MP,
∵CM綊BB1,
NP綊BB1,
∴CM綊NP,
∴四边形CNPM是平行四边形.
∴CN∥MP.
∵CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,
∴CN∥平面AMB1.
(2)∵CC1⊥平面ABC,
∴平面CC1B1B⊥平面ABC,
∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1B1B,
∴B1M⊥AG.
∵CC1⊥平面ABC,
平面A1B1C1∥平面ABC,
∴CC1⊥AC,CC1⊥B1C1,
设AC=2a,则CC1=2a,
在Rt△MCA中,AM==a.
在Rt△B1C1M中,B1M==a.
∵BB1∥CC1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
∴AB1===2a.
∵AM2+B1M2=AB,∴B1M⊥AM.
又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面AMG.
(理)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,且AB=BC=2,点N为B1C1的中点,点P在棱A1C1上运动.
(1)试问点P在何处时,AB∥平面PNC,并证明你的结论;
(2)在
(1)的条件下,若AA1 [解析] (1)当点P为A1C1的中点时,AB∥平面PNC. ∵P为A1C1的中点,N为B1C1的中点,∴PN∥A1B1∥AB ∵AB⊄平面PNC,PN⊂平面PNC,∴AB∥平面PNC. (2)设AA1=m,则m<2,∵AB、BC、BB,两两垂直, ∴以B为原点,BA、BC,BB1为x轴、y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,m),A1(2,0,m),C1(0,2,m), ∴P(1,1,m),设平面BCP的法向量n=(x,y,z), 则由n·=0,n·=0,解得y=0,x=-mz, 令z=0,则n=(-m,0,-1),又=(0,2,-m), 直线B1C与平面BCP所成角正弦值为, ∴=,解之得m=1 ∴n=(-1,0,1) 易求得平面ABP的法向量n1=(0,-1,1) cosα==,设二面角的平面角为θ,则cosθ=-,∴θ=120°. 15.如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PC与底面ABCD垂直(图1),图2为该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图,它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角. (1)根据图2所给的正(主)视图、侧(左)视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)图3中,E为棱PB上的点,F为底面对角线AC上的点,且=,求证: EF∥平面PDA. [解析] (1)该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm的正方形(如图). 其面积为6×6=36cm2. (2)连接BF,延长BF与AD交于G,连接PG. 如图,在正方形ABCD中, =, 又因为=,所以=, 故在△BGP中,EF∥PG, 又EF⊄平面PDA,PG⊂平面PDA, 所以EF∥平面PDA. 16.(文)(2013·辽宁文,18)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (1)求证: BC⊥平面PAC; (2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证: QG∥平面PBC. [解析] (1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC, 由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC. 又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. (2)连OG并延长交AC于M,连接QM、QO, 由G为△AOC的重心,得M为AC中点. 由Q为PA中点,得QM∥PC, 又O为AB中点,得OM∥BC. 因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO, MO⊂平面QMO,BC∩PC=C, BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC, 所以平面QMO∥平面PBC, 因为QG⊂平面QMO. 所以QG∥平面PBC. (理)(2013·天津六校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,E为AD的中点,M是棱PC的中点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=. (1)求证: PE⊥平面ABCD; (2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值; (3)求直线BM与CD所成角的余弦值. [解析] (1)∵PA=PD,E为AD的中点,∴PE⊥AD, 又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PE⊥平面ABCD. (2)连接EC,取EC中点H,连接MH,HB, ∵M是PC的中点,H是EC的中点,∴MH∥PE, 由 (1)知PE⊥平面ABCD,∴MH⊥平面ABCD, ∴HB是BM在平面ABCD内的射影, ∴∠MBH即为BM与平面ABCD所成的角. ∵AD∥BC,BC=AD,E为AD的中点,∠ADC=90°, ∴四边形BCDE为矩形,又CD=,∴EC=2,HB=EC=1, 又∵MH=PE=, ∴△MHB中,tan∠MBH==, ∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为. (3)由 (2)知CD∥BE,∴直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角, 连接ME,在Rt△MHE中,ME=, 在Rt△MHB中,BM=, 又BE=CD=,∴△MEB中, cos∠MBE===, ∴直线BM与CD所成角的余弦值为.
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