小升初几何问题专项训练.docx
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小升初几何问题专项训练
【小升初专项训练几何问题】
注意事项:
常用面积公式(三角形、平行四边形、梯形、长方形、正方形、长方体、正方体、圆)
特殊情况处理:
1、割补法求面积
2、和差法求面积
3、倍比法(分数法)求面积
4、等积变换法(在三角形、平行四边形、梯形等等中,等底、等高则等积)
5、转换法(将多边形转换为三角形)
典型例题解析
1与圆和扇形有关的题型
【例1】(★★)如下图,等腰直角三角形ABC的腰为10厘米;以A为圆心,EF为圆弧,组成扇形AEF;阴影部分甲与乙的面积相等。
求扇形所在的圆面积。
【例2】(★★★)草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。
问:
这只羊能够活动的范围有多大?
【例3】(★★)在右图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差。
【例4】(★★★)如图,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积。
(取π=3)
【例5】(★★★)如下图,AB与CD是两条垂直的直径,圆O的半径为15厘米,
2.与立体几何有关的题型
小学阶段,我们除了学习平面图形外,还认识了一些简单的立体图形,如长方体、正方体(立方体)、直圆柱体,直圆锥体、球体等,并且知道了它们的体积、表面积的计算公式,归纳如下。
见下图。
在数学竞赛中,有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来。
【例6】(★★)用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方厘米?
【例7】(★★★)在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1厘米的正方形,洞深1厘米(如下图).
求挖洞后木块的表面积和体积.
【例8】(★★★)如图是一个边长为2厘米的正方体。
在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为1/4厘米。
那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
3水位问题
【例9】(★★)一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如下图.已知它的容积为26.4π立方厘米.当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米.瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米.问:
瓶内酒精的体积是多少立方厘米?
合多少升?
【例10】(★★)一个高为30厘米,底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶,其中装有
容积的水,现在向桶中投入边长为2厘米
2厘米
3厘米的长方体石块,问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐?
【例11】有甲、乙、丙3种大小的正方体,棱长比是1:
2:
3。
如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体,且每种都至少用一个,则最少需要这三种正方体共多少?
【例12】求下图中阴影部分的面积:
【例13】从一个长为8厘米,宽为7厘米,高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体,剩下的几何体的表面积是_________平方厘米.
【例14】有一个棱长为1米的立方体,沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后,成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米.
【例15】右上图中每个小圆的半径是1厘米,阴影部分的周长是_______厘米.(
=3.14)
【例14】一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体,大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体,这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个?
教学练习
1、(★★)如下图,求阴影部分的面积,其中OABC是正方形.
2、(★★★)如下图所示,求阴影面积,图中是一个正六边形,面积为1040平方厘米,空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。
3、(★★★)如下图,两个半径相等的圆相交,两圆的圆心相距正好等于半径,AB弦约等于17厘米,半径为10厘米,求阴影部分的面积。
常规练习
题型4,圆相关:
1、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB长40厘米,BC长多少厘米.
2、在右图中(单位:
厘米),两个阴影部分面积的和是多少平方厘米.
3、ABC是等腰直角三角形.D是半圆周长的中点,BC是半圆
的直径,已知:
AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?
4、已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长
是4厘米.求阴影部分的面积.
5、如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是厘米.
6、压路机的滚筒是一个圆柱体,它的底面直径是1米,长2米。
每滚动一周能压多大面积的路面?
7、一堆圆锥形黄沙,底面周长是25.12米,高1.5米,每立方米的黄沙重1.5吨,这堆沙重多少吨?
8、一辆货车箱是一个长方体,它的长是4米,宽是1.5米,高是4米,装满一车沙,卸后沙堆成一个高是1.5米的圆锥形,它的底面积是多少平方米?
9、一根圆柱形钢管,长30厘米,外直径是长的
,管壁厚1厘米,已知每立方厘米的钢重7.8克,这根钢管重多少克?
10、一个装满稻谷的粮囤,上面是圆锥形,下面是圆柱形。
量得圆柱底面的周长是62.8米,高2米,圆锥的高是1.2米。
这个粮囤能装稻谷多少立方米?
如果每立方米稻谷重500千克,这个粮囤能装稻谷多少吨?
(保留一位小数)
11、把一个横截面为正方形的长方体,削成一个最大的圆锥体,已知圆锥体的底面周长6.28厘米,高5厘米,长方体的体积是多少?
12、一个圆柱体和一个圆锥体等底等高,它们的体积相差50.24立方厘米。
如果圆柱体的底面半径是2厘米,这个圆柱体的侧面积是多少平方厘米?
小升初几何专项训练答案
【例1】
【解】:
等腰三角形的角为45度,则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。
而扇形面积为等腰三角形面积:
S=1/2×10×10=50。
则:
圆的面积为400。
【例2】
解】:
(此题十分经典)如右上图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,
所以羊活动的范围是
【例3】
【解】:
我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。
左边的阴影是大扇形减去小扇形,再扣除一个长方形中的不规则白色部分,而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分,那么它们的差应为大扇形减去小扇形,再减去长方形。
则为:
π/4×4×4-π/4×2×2-4×2=3×3.14-8=1.42。
【例4】
【解】:
先看总的面积为1/4的圆,加上一个正方形,加上一个等腰直角三角形,然后扣除一个等腰直角三角形,一个1/4圆,一个45度的扇形。
那么最终效果等于一个正方形扣除一个45度的扇形。
为1×1-1/8×3×1=5/8
【例5】
【解】:
225平方厘米
=225(平方厘米)
【例6】
解】:
[方法一]:
[思路]:
整体看待面积问题。
解:
不管叠多高,上下两面的表面积总是3×3;再看上下左右四个面,都是2×3+1,
所以,总计9×2+7×4=18+28=46。
[方法二]:
[思路]:
所有正方体表面积减去粘合的表面积
解:
从图中我们可以发现,总共有14个正方体,这样我们知道总共的表面积是:
6×14=64,但总共粘合了18个面,这样就减少了18×1=18,所以剩下的表面积是64-18=46。
[方法三]:
直接数数。
[思路]:
通过图形,我们可以直接数出总共有46个面,每个面面积为1,这样总共的表面积就是46。
【例7】
【解】:
提示:
大正方体的边长为4厘米,挖去的小正方体边长为1厘米,说明大正方体木块没被挖通,因此,每挖去一个小正方体木块,大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积。
6个小洞内新增加面积的总和:
1×1×4×6=24(平方厘米),
原正方体表面积:
42×6=96(平方厘米),挖洞后木块表面积:
96+24=120(平方厘米),体积:
43-13×6=58(立方厘米).
答:
挖洞后的表面积是120平方厘米,体积是58立方厘米.
【例8】
【解】:
[方法一]:
[思路]:
立体图形的好处就是可以直观视觉,虽然图形被挖去,但6个面看过去是都还是面积不变的,特别是从上往下看是,3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积,这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。
解:
原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米,增加的面积1×4+(
×
)×4+(
×
)×4,所以总共面积为24+1×4+(
×
)×4+(
×
)×4=29
[方法二]:
[思路]:
原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米,在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后,原大正方体的顶部表面被掉了一个1×1的小正方形,但是内部增加了5个1×1的面,所以总共增加了4个1×1的面,即正方形小洞的4个侧面-同样,再往下挖掉一个边长为
的正方体后,大正方体的表面积又增加4个
×
的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为
厘米的正方体后,大正方体的表面积又增加了4个
×
的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积=24+1×4+(
×
)×4+(
×
)×4=29
【例9】
分析由题意,液体的体积是不变的,瓶内空余部分的体积也是不变的,因此可知液体体积是空余部分体积的3倍(6÷2).
62.172立方厘米=62.172毫升
=0.062172升.
答:
酒精的体积是62.172立方厘米,合0.062172升.
【例10】
【解】:
所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块:
(10×10×15)÷(2×2×3)=125(块).
【例11】
【解】:
设甲的棱长是1,则乙的棱长是2,丙的棱长是3。
一个甲种木块的体积是1*1*1=1;一个乙种木块的体积是2*2*2=8;一个丙种木块的体积是3*3*3=27。
3+2=5。
则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是5。
体积是5*5*5=125。
需要丙种木块1块,乙种木块1+1*2+2*2=7块。
甲种木块的体积是27,乙种木块的体积是8*7=56。
125-27-56=42。
需要甲种木块42/1=42块。
1+7+42=50块。
【例12】
【解】如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积:
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
【例13】
【解】最大正方体的边长为6,这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的,所以现在的面积为(8×7+8×6+7×6)×2-6×6×2=220
【例14】
【解】原正方体表面积:
1×1×6=6(平方米),一共切了2+3+4=9(次),每切一次增加2个面:
2平方米。
所以表面积:
6+2×9=24(平方米).
【例15】
【解】可见大圆的半径是小圆的3倍,所以半径为3,那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加上1个大圆的周长,即7×
×2+
×6=20
。
【例16】
【解】:
共有10×10×10=1000个小正方体,其中没有涂色的为(10-2)×(10-2)×(10-2)=512个,所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000-512=488个。
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