三角形的证明导学案.docx
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三角形的证明导学案.docx
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三角形的证明导学案
中牟外国语学校八年级数学导学案案
课题:
第一节等腰三角形课时:
1
序号:
12月19日
主备人:
金小永审批人:
金小永
一、学习目标:
1.了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。
2.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程;能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。
二、学习重难点:
.
重点:
了解所学公理的内容,通过等腰三角形性质证明,掌握证明的基本步骤和书写格式
难点:
证明等腰三角形性质时辅助线做法。
三、学习方法:
自主探究,,合作交流
四、学习过程
1、知识储备库回顾:
1)、等腰三角形的定义______________________________________________________________________
2、我的地盘我做主。
自学课本第2-3页,三角形全等的判定(达成目标一)
(1)、与全等三角形有关的公理:
①、②、、(前三个写简称)
④、推论:
(简写为)
你能证明这个推论吗?
已知:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,
求证:
△ABC≌△DEF
(2)、等腰三角形性质:
等腰三角形的两相等(简称:
等对等)
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,求证:
∠B=∠C
证明:
取BC的中点D,连接AD
(3)、推论:
等腰三角形的顶角的、底边上的、底边上的互相重合(简称:
)
(4)合作交流:
根据自学过程,请你总结出证明的基本步骤和书写格式
步骤
格式
3、小试牛刀
1)、在△ABC和△DEF中,以下四个命题中假命题是【】
A、由AB=DE,BC=EF,∠B=∠E,可判断△ABC≌△DEF;
B、由∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF,可判断△ABC≌△DEF;
C、由AB=DE,AC=DF,BC=EF,可判断△ABC≌△DEF;
D、由∠A=∠D,∠B=∠E,AC=EF,可判断△ABC≌△DEF。
2)、若等腰三角形的周长为13,其中一边长为5,则该等腰三角形的底边长为___________.
3)、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则这个等腰三角形的周长是___________.
4)、若等腰三角形中有一个角等于50°,则等腰三角形的顶角度数为。
5)、如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF,判断AD是△ABC的中线还是角平分线?
说明你的理由。
C
4、逐步提高
1)、已知如图,△ABC中AB=AC,点D、E在BC上且AD=AE,求证:
BD=CE
2)、等腰△ABC,AB=AC,BD⊥AC探索∠DBC与∠A之间关系?
5、你本节课的收获、困惑是:
____________________________________________________
________________________________________________________________________________________
6、超越自我
在△ABC中,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
试猜想EF与AD之间有什么关系?
并证明你的猜想。
中牟外国语学校八年级数学导学案案
课题:
第一节等腰三角形课时:
2
序号:
12月19日
主备人:
金小永审批人:
金小永
一、学习目标:
学会证明等腰三角形判定:
等角对等边。
二、学习重难点:
重点:
会证明等腰三角形的判定定理,即:
“等角对等边”。
难点:
区别等腰三角形性质定理和判定定理的证明。
三、三、学习方法:
自主探究,,合作交流
四、学习过程
1、知识储备库回顾:
(1)等腰三角形的性质是什么?
(2)等腰三角形的一个内角为700,则顶角为。
(3)等腰三角形的一个外角为1000,则其顶角顶角为。
2、我的地盘我做主。
1)自学课本第5-6页,自学例1,完成下些问题
①证明:
等腰三角形两腰上的中线相等.
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是AB、AC边上的中点.。
求证:
BD=CE.
思考:
等腰三角形两腰上的中线是否相等?
,请你是写出证明过程。
结论:
等腰三角形两腰上的中线、相等、相等。
②、等边三角形的并且每个角
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=BC。
求证:
∠A=∠B=∠C=60
3、小试牛刀
1)、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,则这个等腰三角形的顶角为
2)、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200,D、E是BC上两点,且AD=BD,AE=CE,猜想△ADE是三角形(并写出过程)。
5、你本节课的收获、困惑是:
____________________________________________________
________________________________________________________________________________________
6、超越自我
如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交与点O,若AB=12,AC=18,BC=24,MN‖BC且经过点O,求△AMN的周长?
中牟外国语学校八年级数学导学案案
课题:
第一节等腰三角形课时:
3
序号:
22月21日
主备人:
金小永审批人:
金小永
一,学习目标:
①学会证明等腰三角形判定:
等角对等边,
②并体会反证法的含义。
二,学习重难点:
.
重点:
会证明等腰三角形的判定定理,即:
“等角对等边”。
难点:
区别等腰三角形性质定理和判定定理的证明。
三,学习方法:
自主探究,合作交流.
四、学习过程
1、知识储备库回顾:
1)等腰三角形两腰上的中线、相等、相等。
2)等边三角形的并且每个角
2、我的地盘我做主。
1)自学课本第8-9页,等腰三角形的判定(达成目标一)
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:
等对等)你能证明这个推论吗?
在△ABC中,∠B=∠C,求证:
AB=AC.
2)学习课本想一想。
先,然后、、,。
这种证明方法称为反证法。
自学例3,学以致用
用反证法证明:
在一个三角形中,不能有两个钝角(达成目标二)
3、
小试牛刀
1)已知:
如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC,
且∠1=∠2。
求证:
AB=AC
4、逐步提高
1)如图5,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC,E是垂足,ED的延长线交CA的延长线于点F,求证:
AD=AF.
5、你本节课的收获、困惑是:
____________________________________________________
________________________________________________________________________________________
6、超越自我
1、上午6时,一条船从A处出发一15海里/小时的速度向正北方向航行,8时到达B处,分别从A、B望灯塔C,测得∠NAC=36°,∠NBC=72°,则从B处到灯塔C的距离是_____________.
中牟外国语学校八年级数学导学案案
课题:
第一节等腰三角形课时:
4
序号:
22月21日
主备人:
金小永审批人:
金小永
一、学习目标:
1、学会等边三角形判定定理的证明;
2、掌握直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系。
二、学习重难点:
.
重点:
等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
难点:
能够用综合法证明等边三角形的判定定理。
三、学习方法:
自主探究,,合作交流
四、学习过程
1、知识储备库回顾:
等边三角形的定义:
___________________________________________________________
等边三角形的性质:
___________________________________________________________
2、我的地盘我做主。
(一)自学指导:
1、自学课本第10-12页;
2、完成下面
(二)--(五)中的内容。
(二)自主探究一:
等边三角形的判定(达成目标一)
_______________________________________________________的三角形是等边三角形
已知如图:
______________________________________________________________________
求证:
___________________
证明:
(三)自主探究二:
等边三角形的判定(达成目标一)
_______________________________________________________的等腰三角形是等边三角形
已知如图:
______________________________________________________________________
求证:
___________________
证明:
(四)自主探究三:
直角三角形性质(达成目标二)
做一做:
用两个含300角的三角板,你能拼出一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
根据操作,思考:
在直角三角形中,300角所对直角边与斜边有什么关系?
证明该结论.
结论:
_________________________________________________________________________
已知如图:
求证:
3、小试牛刀
1)、判断:
(1)在直角三角形中,直角边是斜边的一半。
()
(2)有一个角是600的三角形是等边三角形。
()
2)、等腰三角形的底角等于150,腰长为20,则这个三角形腰上的高是。
3)、在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠A=300,CD⊥AB,BD=1,则AB=。
4)、在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点,DE⊥AC,则AE:
EC=。
C
5)、如图,在Rt△ABC中,∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC,使点C恰好落在AB的中点D处,∠A=.
E
6)、在Rt△ABC中,∠C=300,AD⊥BC,你能看出BD与BC的大
A
D
B
小关系是
5、你本节课的收获、困惑是:
____________________________________________________
________________________________________________________________________________________
6、超越自我
已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300,CD⊥AB于D.求证:
BD=
郑州市中牟外国语学校八年级数学导学案
课题:
第二节直角三角形课时:
1
序号:
32月25日
主备人:
金小永审批人:
金小永
1、学习目标:
1、进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力;
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法;
3、结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立
二、学习重难点:
.
学习重点:
熟练掌握勾股定理、逆定理.
学习难点:
利用勾股定理及其逆定理来解决实际问题
三、学习方法:
自主探究,,合作交流
四、学习过程:
1、知识储备库回顾:
直角三角形的定义:
________________________________________________________
若△ABC是直角三角形,则表示为:
_________________________
2、
我的地盘我做主。
自学课本第14-16页,
自主探究一:
直角三角形的两个锐角互余(达成目标1)
已知:
_____________________________________________
求证:
___________________
证明:
自主探究二:
有两个角互余的三角形是直角三角形(达成目标1)
已知:
_____________________________________________-
求证:
___________________
证明:
自主探究三:
勾股定理定(达成目标2)
符号语言:
∵____________________________________
∴____________________________________
自主探究四:
勾股定理逆定理(达成目标2)
已知:
求证:
证明:
(过程见课本16页)
符号语言:
∵____________________________________
∴____________________________________
自学探究五:
互逆命题(达成目标3)
1、在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的,
那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的.
2、一个命题是真命题,它的逆命题是真命题.(填“一定”或“不一定”)
3、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为
,其中一个定理称为另一个定理的.
4、一个定理有逆定理.(填“一定”或“不一定”)
3、小试牛刀
1)、写出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形;
(2)对顶角相等;
(3)全等三角形的对应角相等;
(4)如果ab=0,那么a=0,b=0.
2)、在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10cm,a:
b=3:
4,则a=,b=
3)、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1cm,则AC=
4)、在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则a:
b:
c=
5)、以下面选项中的哪三个数为边可以构成直角三角形()
A3,5,6B6,6,8C1,2,
D15,20,25
6)、以下命题的逆命题属于假命题的是()
A、两底角相等的三角形是等腰三角形.B、全等三角形的对应角相等.
C、两直线平行,内错角相等.D、直角三角形两锐角互等.
7)、已知直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边长为________,斜边上的高为_________.
8)、在△ABC中,已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求证:
AB=AC
9)、小明将长25m的梯子斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端B到墙根C的距离是7m,如
果梯子的顶端垂直下滑4M,那么梯子的底端B将向外移动多少米?
4、逐步提高
1)、下列定理中,没有逆定理的是()
A.内错角相等,两直线平行B直角三角形的两锐角互余
C相反数的绝对值相等D同位角相等,两直线平行
2)、若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)(a²+b²-c²)=0,则△ABC是()
A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形
3)、若一个三角形的三边长分别是15,20,25,则这个三角形最长的边上的高是.
4)、在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=
,DC=1,AC=
,那么AB的长度是
5)、已知,如下图,等边三角形ABC,AD为BC边上的高线,若AB=2,求△ABC的面积
5、你本节课的收获、困惑是:
____________________________________________________
_______________________________________________________________________________
6、超越自我(培优题)
1)已知:
如下图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=
(1)求DC的长;
(2)求AD的长;
(3)求AB的长;
(4)请判断△ABC的形状,并说明理由.
郑州市中牟外国语学校八年级数学导学案
课题:
第二节直角三角形课时:
2
序号:
42月26日
主备人:
金小永审批人:
金小永
1、学习目标:
1、了解直角三角形全等的判定定理(HL),进一步学习严谨科学的证明方法.
2、运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识解决相关问题
二、学习重难点:
重点:
直角三角形全等的判定定理(HL).
难点:
直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明应用.
三、学习方法:
自主探究,合作交流
四、学习过程:
1、知识储备库回顾:
1)、直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理;
2)、写出下列命题的逆命题
(1)等腰三角形的两底角相等。
(2)两直线平行,同旁内角互补。
(3)如果ab=0,那么a=0,b=0。
2、我的地盘我做主。
自学课本18-20页
自主探究:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
如果其中一边所对的角是直角呢?
请证明你认为正确的结论。
结论:
直角三角形全等的判定定理:
①、如图已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ACB≌△BDA,还需要什么条件?
把它们分别写出来.
3、小试牛刀
1)、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是()
A、两条直角边对应相等的两个直角三角形。
B、两条锐角边对应相等的两个直角三角形。
C、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。
D、有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
2)、下列命题是真命题的有()
(1)一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。
(2)一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(3)两个锐角对应等的两个直角三角形全等。
(4)有两条边相等的两个直角三角形全等。
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(6)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。
A、6个B、5个C、4个D、3个
3)、下列说法中错误的是()
A、直角三角形中,任意直角边上的中线小于斜边。
B、等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半。
C、直角三角形中每条直角边都小于斜边。
D、等腰直角三角形一边长为1,则它的周长为3
4)、命题:
若A>B,则A2>B2的逆命题是__________________________。
4、逐步提高
1)、如图,PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一点。
求证:
∠BDP=∠CDP
2)、如图在△ABC中,∠C=90度,点D在BC上,DE垂直平分AB,且DE=DC求∠B的度数.
5、你本节课的收获、困惑是:
____________________________________________________
________________________________________________________________________________________
6、超越自我
1)、如图。
在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上的一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE、DE、DC。
(1)求证:
△ACE≌△CBD
(2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数
郑州市中牟外国语学校八年级数学导学案
课题:
第三节线段的垂直平分线课时:
1
序号:
52月27日
主备人:
金小永审批人:
金小永
1、学习目标:
1、经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理证明意识和能力.
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.
二、学习重难点:
.
重点:
能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.
难点:
能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理
三、学习方法:
自主探究,合作交流
四、学习过程:
1、知识储备库回顾:
1)点决定一条直线。
2)线段垂直平分线的定义:
2、我的地盘我做主。
(一)自学指导:
1、自学课本第22-23页;
2、完成下面
(二)--(四)中的内容。
2、线段垂直平分线定理:
____________________
符号语言:
∵_____________________________________
∴_____________________________________
这个定理作用是:
在分析题时,帮助我们证明________相等
(三)合作交流:
线段垂直平分线的判定
写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题:
.
它是真命题吗?
如果是,请证明。
.
画图
已知如图:
求证:
证明:
(四)自主探究二(达成目标三)
1、用尺规作出已知线段AB的垂直平分线CD
(不要求写作法保留做题痕迹)
定理:
符号语言:
∵____________________________________
∴____________________________________
3、小试牛刀
1、已知:
线段AB及一点P,PA=PB,则点P在上.
2、如图,△ABC中,AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB,
则△BCD的周长是.
3、如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点
E,若∠BEC=70°,则∠A=度.
4、如图,在Rt△ABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E,若BE=2cm,∠B=15°
则AC的长为________.
第四题
第三题
5、如图,A、B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等.码头应建造在什么位置?
B
A
4、逐步提高
1、在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线夹角为40°,则∠B=.
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.
求证:
CM=2BM.
3、已知:
如图,DE是△ABC的AB边的垂直平分线,分别交AB、BC于D、E,AE平分∠BAC,若∠B=300,求∠C的度数。
5、你本节课的收获、困惑是:
____________________________________________________
________________________________________________________________________________________
6、超越自我
1)、如图,P是∠AOB的平分线OM上任意一点,PE⊥CA于E,PF⊥OB于F,连接EF.求证:
OP垂直平分EF.
郑州市中牟外国语学校八年级数学导学案
课题:
第三节线段的垂直平分线课时:
2
序号:
6月日
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