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基本逻辑电路的化简方法
基本逻辑电路的化简方法
第二章逻辑代数基础
2.1逻辑代数运算
提纲:
⏹逻辑变量与逻辑函数,
⏹逻辑代数运算,
⏹逻辑代数的公理和基本公式,
⏹逻辑代数的基本定理(三个),
⏹逻辑代数的常用公式。
2.1.1逻辑变量与逻辑函数
采用逻辑变量表示数字逻辑的状态,逻辑变量的输入输出之间构成函数关系。
逻辑常量:
逻辑变量只有两种可能的取值:
“真”或“假”,习惯上,把“真”记为“1”,“假”记为“0”,这里“1”和“0”不表示数量的大小,表示完全对立的两种状态。
2.1.2逻辑代数运算
基本逻辑运算——与、或、非;复合逻辑运算。
描述方法:
逻辑表达式、真值表、逻辑符号(电路图)。
定义:
真值表——描述各个变量取值组合和函数取值之间的对应关系。
逻辑电平——正逻辑与负逻辑。
2.1.3逻辑代数的公理和基本公式
2.1.3.1逻辑代数公理
有关逻辑常量的基本逻辑运算规则,以及逻辑变量的取值。
(1)常量的“非”逻辑运算
(2~4)常量的与、或逻辑运算
(5)逻辑状态只有”0”和”1”两种取值
2.1.3.2逻辑代数的基本公式(基本定律)
所谓“公式”,即“定律”,如表2.1:
表2.1逻辑代数的公式(基本公式部分)
组
名称
对偶的公式对
备注
1
01律
变量与常量
2
重叠律
同一个变量
3
互补律
原变量与反变量之间的关系
4
还原律
5
交换律
6
结合律
7
分配律
8
反演律
DeMorgan公式
2.1.3.3逻辑代数的三个基本定理
所谓“定理”,即代数运算规则。
基本的三个定理:
⏹代入定理——在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中,若以另外的逻辑式代入式中的所有A的位置,则等式依然成立。
,
⏹反演定理,
⏹对偶定理。
2.1.3.3.1反演定理
所谓“反演定理”,得到逻辑函数的“反”的定理。
定义(反演定理):
将函数Y式中的所有…
⏹(基本运算符号)“与”换成“或”,“或”换成“与”;
⏹(逻辑常量)“0”换成“1”,“1”换成“0”;
⏹原变量换成反变量,反变量换成原变量;
注意:
●变换时要保持原式中逻辑运算的优先顺序;
●不属于单个变量上的反号应保持不变;
则,所得到的表达式是
的表达式。
例2.1:
已知
,求。
解:
(利用反演定理)
例2.2:
已知
,求
。
解:
(利用反演定理)
例2.3:
(反演律和反演定理),已知Y=A(B+C)+CD,求
。
解:
(方法一、用反演定理)
解:
(方法二、反复用反演律)
注意:
对等式两端根据反演定理进行操作是整体性的“原子操作”,不允许在进行操作的同时,对局部的逻辑项进行所谓的“代入”、“反演律”等操作。
2.1.3.3.2对偶定理
定义(对偶定理):
若两个逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。
定义(对偶式):
将逻辑式中的…
⏹(基本运算符号)“与”换成“或”,“或”换成“与”;
⏹(逻辑常量)“0”换成“1”,“1”换成“0”;
⏹变量保持不变;
⏹注意:
原表达式中的运算优先顺序保持不变。
2.1.4逻辑代数常用公式
如表2.2:
表2.2逻辑代数的公式(常用公式部分)
组
杜撰的名称
对偶的公式对
备注和注记标记
9
吸收法
A+AB=A
两个乘积项相或,其中一项以另一项作为因子,则该项是多余的。
吸收冗余项
10
消元法
消除冗余因子
11
推广的消元/吸收法
反用消元法,再用吸收法
12
推广的消元/吸收法
13
另一种形式的吸收法
14
另一种形式的消元法
说明:
(常用公式的语言叙述)
⏹“吸收法”——两个与项(“乘积项”)相或(“加”),如果其中一项中以另一项为因子,则该项为冗余项;
⏹“消元(因子)法”——两个与项相或,如果其中一项取反后为另一项的因子,则该因子是多余的;
⏹推广的消元/吸收法——三个与项相或,其中两个乘积项分别包含原变量与反变量作为因子,并且它们的其余部分作为因子组成第三个乘积项(或作为第三个乘积项的部分因子),则第三个乘积项是多余的。
2.1.4.1案例研究——逻辑代数常用公式的证明
证明的手段:
⏹公理和运算法则,
⏹定理——代入、反演、对偶,
⏹基本公式和常用公式。
例如:
公式(9)“吸收法”
A+AB=A(1+B)=AB,分配律、01律
例如:
公式(10)证法一
采用:
反用或对与的分配律
例如:
公式(10)证法二
的对偶式←→
由:
,AB的对偶式A+B,则根据对偶定理:
成立。
例如:
公式(11)
--(代入定理意义下的吸收律)→=
2.1.5异或代数
⏹三种基本逻辑运算——“与”、“或”、“非”(复合使用)可以表示出任何逻辑问题;
⏹基本的复合逻辑——“与非”、“或非”、“与或非”,用其中的任何一种就能描述任何逻辑问题;
⏹异或代数——“异或”(exclusive-OR)和“同或”(coincidence-OR)逻辑,虽然仅用它们不能描述所有的逻辑问题,但是它们是两种重要的复合逻辑。
2.1.5.1“异或”和“同或”的性质
异或(同或)代数的基本公式:
(1)交换律
(2)结合律
(3)“分配律”
⏹“与”对“异或”的分配律:
⏹“或”对“同或”的分配律:
A+B⊙C=(A+B)⊙(B+C)
(4)反演律
⊙
=A⊙B
A⊙B–(取反)→=
=
(5)调换律(因果互换关系)
两个逻辑变量(可以推广到多个,并且可以是常量)异或(同或)运算得到的输出结果,以另一个逻辑变量表示(即:
“果”),构成逻辑等式,该逻辑变量与异或(同或)运算中的任意逻辑变量的位置相调换,得到的逻辑等式仍成立。
例如:
奇校验的编码端,校验比特为C,
C=bn-1
bn-2
…
b1
1
奇校验的校验端,如果校验成功,应有
1=bn-1
bn-2
…
b1
C
(6)移非律(特例:
“消非律”)
(7)换门律
=A⊙B
⊙B=
不用死记,异或(同或)运算的定义决定,也可使用01律证明。
(8)01律
0
A=A,1
A=
(模2加1相当于求反)
1⊙A=A,0⊙A=
(9)奇偶律
对于异或:
A
A=0
A
A
A=A
……
对于同或
A⊙A=1
A⊙A⊙A=A
……
(10)异或逻辑和同或逻辑的关系
多个逻辑变量进行异或(同或)运算的逻辑表达式,如果将异或(同或)运算符转换为同或(异或)运算符,则:
⏹奇数个逻辑变量,运算符
和⊙互换时,逻辑关系不变;
⏹偶数个逻辑变量,运算符
和⊙互换时,变换后的结果取反。
2.2逻辑函数的表示方法及其标准形式
2.2.1逻辑函数的表示方法
⏹逻辑表达式
⏹真值表
⏹卡诺图(邻接真值表)
⏹逻辑图
⏹波形图*
表示方法之间的转换(如:
图2.1)
图2.1逻辑函数表达方法之间的转换
2.2.2逻辑函数的两种标准形式
⏹标准“与或”表达式(最小项之和)
⏹标准“或与”表达式(最大项之积)
2.2.2.1最小项
定义(最小项):
在含有n个变量的逻辑函数中,
⏹包含全部n个变量的乘积项(与项),
⏹其中每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次。
最小项也被称为“标准乘积项”。
最小项的编码——使最小项为1的逻辑变量的取值,即:
将变量的由高到低排列,原变量对应“1”,反变量对应“0”,最小项以变量所对应的自然二进制数编码,记为:
“mi”。
最小项的性质:
⏹每个最小项与变量的一组取值相对应,只有该组取值才能使其为“1”;
⏹全体最小项之和恒为“1”;
⏹任意两个不同的最小项的乘积恒为“0”。
2.2.2.2标准与或表达式
定义(标准与或表达式):
每个与项都是最小项的与或表达式。
也被称为“最小项之和表达式”。
从真值表,以及一般与或表达式,转换成标准“与或”表达式的方法如图2.2。
图2.2从真值表和一般与或表达式转换为标准与或表达式
对于任意一个逻辑函数,它的标准与或表达式(不考虑与项的顺序)是唯一的。
说明:
熟练后,从一般“与或”表达式转换为标准“与或”表达式,可由最小项的编码规则得到。
例如:
2.2.2.3最大项
定义(最大项):
在一个有n个变量的逻辑函数中,
⏹包含全部n个变量的和项(或项),
⏹其中每个变量必须并且只能以原变量或反变量的形式出现一次。
最大项的编码与逻辑变量取值的对应关系——使最大项为0的逻辑变量的取值,即:
对于或项,原变量对应取值为“0”,反变量对应取值为“1”。
最大项的性质:
⏹每个最大项与变量的一组取值相对应,只有该组取值才能使其为“0”;
⏹全体最大项之积恒为“0”,即:
;
⏹任意两个不同的最大项之和恒为“1”,即:
,
;
⏹最大项和最小项之间的关系:
。
2.2.2.4标准或与表达式
定义(标准或与表达式):
每个或项都是最大项的“或与”表达式被称为标准“或与”表达式,也被称为最大项之积表达式。
2.2.2.4.1从真值表求标准或与表达式
步骤(求标准或与表达式):
1)在真值表中找出使逻辑函数Y为0的行,
2)对于Y=0的行,由变量的取值“0”、“1”对应最大项“原”、“反”变量的关系,写出逻辑变量表达得标准或与表达式,
3)确定最大项的编号——
⏹方法一、由最大项定义,根据最大项编号与变量取值的对应关系,
⏹方法二、真值表中Y=0的行对应的是
,利用
关系,对应得到最大项Mi的编号,。
说明:
真值表中变量取值组合隐含着与最小项的对应关系,得到最大项的编号只不过根据
的对应关系。
说明:
也可以先根据
的对应关系,确定所含最大项的编号,再根据最大项编号和变量取值的对应关系,写出以逻辑变量表达的最大项之积表达式。
2.2.2.4.2从一般逻辑表达式得到标准或与表达式
图2.3从一般逻辑表达式得到标准或与表达式
2.2.2.5标准与或表达式/标准或与表达式的转化
如果函数的标准与或表达式为:
,则函数的标准或与表达式则为:
。
推导:
,由最小项的性质
,则:
1=
由DeMorgan公式,
,可由标准与或表达式,求标准或与表达式。
2.3逻辑函数的化简
⏹逻辑函数的最简形式
⏹公式法化简逻辑函数
⏹卡诺图法化简逻辑函数
●卡诺图
●卡诺图化简法——化简为最简与或表达式
●用卡诺图化简法求最简或与表达式
●具有无关项的逻辑函数的化简
⏹逻辑函数形式的转换
2.3.1逻辑函数的最简形式
与或表达式是最常用的表达式,由它容易推导出其它表达形式。
判别条件——与或表达式为最简的条件:
⏹乘积项(与项)的数目最少,(首要条件)
⏹每个乘积项中的因子(逻辑变量)最少。
2.3.2公式法化简逻辑函数
化简为最简与或式。
公式法化简没有固定的方法,这些方法归纳起来大致可以包括“并项、吸收、消因子、消项、配项”(这些名称是杜撰的,切不可生搬硬套,掌握基本思想即可),化简的方法不是唯一的。
2.3.2.1并项法
利用互补律,将两项合为一项,合并时消去一个逻辑变量(一个原变量,一个反变量)
例如:
2.3.2.2吸收法
利用公式A+AB=A,吸收掉冗余的乘积项。
例如:
2.3.2.3消因子法
利用公式
,消去多余的因子。
例如:
2.3.2.4消项法
利用常用公式
和
,消去多余的乘积项
例如:
例如:
2.3.2.5配项法
根据基本公式A+A=A,在式中重复某项,再化简;或者根据基本公式
,在式中某项乘以
,再化简。
例如:
本例只是演示,实际上如果先对后两项并项,然后消因子,更加简单。
2.3.3卡诺图法化简逻辑函数
2.3.3.1卡诺图
卡诺图是由美国工程师维奇(Veitch)和卡诺(KarnaughM)于1953年分别从不同角度提出的。
定义(卡诺图,最小项卡诺图)将n个变量的所有最小项(miniterm)分别以一个个方格的形式表示,并使具有逻辑相邻性的最小项在几何上也“相邻”地排列,所得的图形被称为最小项卡诺图。
卡诺图也是一种特殊的真值表——邻接真值表:
⏹几何相邻(在几何位置上,应将卡诺图看成上下/左右、四角闭合的图形)的小方格具有逻辑相邻性。
(便于用互补律以作图的方式化简)
定义(最小项的逻辑相邻性)两个最小项只有一个逻辑变量的取值不同。
2.3.3.1.1卡诺图的构成与特点
例如:
(四变量卡诺图,如图2.4)
图2.4四变量卡诺图
例如:
(五变量卡诺图,如图2.5)
图2.5五变量卡诺图
此时,仅用几何图形在二维空间的相邻性来表达逻辑相邻性已经不够了,在五变量卡诺图中,(两个4×4卡诺图的)分界线为轴的轴对称的小方格也具有逻辑相邻性。
卡诺图的特点:
⏹卡诺图中的小方格数等于最小项总数,若逻辑变量的数目为n,则小方格数为2n个——
●纵横两侧标注是逻辑变量的取值组合,“0”和“1”表示使方格对应的最小项为1的变量取值;同时,
●取值组合“0”、“1”的自然二进制数值就是最小项的编号。
⏹任何一个n变量的逻辑函数均可以由n变量最小项卡诺图表示——
●逻辑函数等于卡诺图中填入“1”的小格(即:
“1格”)所对应的最小项之和。
⏹卡诺图是“邻接真值表”,
●变量的取值按照格雷循环码排列,因此
●卡诺图的逻辑相邻性与几何位置相邻性是一致的;
●注意,在几何位置上,应将卡诺图看成上下/左右,四角闭合的图形。
(五变量包括分界轴对称)
2.3.3.1.2根据逻辑函数填写卡诺图
⏹步骤一(得到标准与或表达式)、若已知逻辑函数的表达式,可首先把函数写成最小项之和的形式(标准与或表达式);然后,
⏹步骤二(填写卡诺图)、在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1,在其余位置上填入0,这样就可以得到该逻辑函数的卡诺图。
例2.5:
(根据逻辑函数填写卡诺图)
解:
(步骤1-1)反复使用反演律,脱去“非”号,直到最后只有单变量上有非号;
(步骤1-2)用乘对加的分配律,脱去括号,直到最后得到一个“与或”表达式;
(步骤1-3)在“与或”表达式中,若一个乘积项缺少某变量因子,则利用互补律配项,并用所配的项去乘该项;如缺少两个以上的项,则要反复用互补律配项,直到得到最小项之和的表达式(还要删除重复的最小项)。
(步骤2-1)逻辑变量按照位置计数法排列,以自然二进制数对应最小项的编号;
(步骤2-2)最小项为1的取值组合,会使逻辑函数为1,所以在存在的最小项的对应方格中标注“1”(其余方格填“0”)。
说明:
熟练后,可以根据与或表达式“看图说话”地直接填写卡诺图,不仅效率高,而且不容易出错。
例2.6:
(根据逻辑函数填写卡诺图)
解:
2.3.3.1.3由卡诺图得到标准或与表达式
根据卡诺图既可写出标准“与或”表达式,也可写出标准“或与”表达式(参见§2.3.3)。
2.3.3.2卡诺图化简法
卡诺图化简逻辑函数的依据:
由于卡诺图上几何位置的相邻性与逻辑相邻性是一致的,因而从卡诺图上能直观地找出具有相邻性的最小项,并根据互补律将其合并化简。
⏹几何相邻的两个方格(包括上下闭合、左右闭合、轴对称)所代表的最小项只有一个变量不同;
⏹根据互补律,当方格为1(“1”格),且两个“1”格相邻时,对应的最小项就可以加以合并,消去一对原变量与反变量,合并后只剩公共因子。
⏹多于多个相邻的方格,反复利用合并法则,保留相同变量,消除相反变量。
问题:
⏹如何“直观地”找到可以合并的最小项?
⏹如何选择可以合并的最小项,以达到最简?
2.3.3.2.1最小项卡诺图逻辑化简规则
问题1、如何“直观地”找到可以合并的最小项?
理论:
合并化简的理论支持(互补律)。
技巧:
圈定卡诺圈的技巧。
规则1:
卡诺图中两个相邻的“1格”的最小项可以合并成一个与项,并消去一个变量。
例如:
Y=
化简为:
化简为:
化简为:
规则2:
卡诺图中四个相邻“1格”的最小项可以合并成一个与项,并消去两个变量。
规则3:
卡诺图中八个相邻的“1”格的最小项可以合并成一个与项,并消去三个变量。
2.3.3.2.2用最小项卡诺图化简法求最简与或表达式
步骤:
(1)建立逻辑函数的卡诺图;
(2)合并最小项;→关键在于:
如何选择可合并的最小项,以达到最简(问题2)
(3)写出最简与或表达式
问题2:
如何选择可合并的最小项,以达到最简?
理论:
找到实质蕴涵项
技巧:
选择卡诺圈的技巧:
使得
⏹圈的个数尽可能少(首要目标),
⏹圈的面积尽可能大,
⏹每个圈中至少应包含一个新的“1格”(最小项卡诺图)。
例2.7:
(卡诺图化简求最简与或表达式)
Y(A,B,C,D)=Σm(1,2,4,9,10,11,13,15)
例2.8:
(例题并讲解,什么是本源蕴涵项,如何从本源蕴涵项中选择实质蕴涵项)
写出最简与或逻辑表达式
技巧:
圈的个数尽可能少(首要目标)
例2.9:
(例题并讲解:
本源蕴涵项)
技巧:
圈的面积尽可能大
例2.10:
(例题并讲解:
实质蕴涵项)
技巧:
每个圈至少应包含一个新的“1格”
卡诺图化简得到的最简式不一定是唯一的。
2.3.3.3用卡诺图化简法求最简或与表达式
方法:
⏹方法一、合并反函数的最小项,
⏹方法二、合并原函数的最大项(最大项卡诺图,由于最大项卡诺图的编码规则与习惯的正逻辑不同,故而容易出错,主要选用方法一)。
注意:
反函数可以用真值表或者卡诺图中Y=0对应的最小项之和表示。
方法一:
1)画出逻辑函数Y的卡诺图,
2)合并0方格(俗称“0格”),求得反函数的最简与或表达式,
3)对反函数的最简“与或”式进行反演变换(DeMorgan公式),得到函数的最简“或与”式。
例2.11:
(卡诺图化简求最简与或表达式)
Y(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,5,8,9,10)
2.3.3.4具有无关项逻辑函数的化简
无关项的概念——无关项包括约束项和任意项,
⏹约束项:
输入逻辑变量的某些取值组合禁止出现(由外部的机制约束,以保证一定不会出现);
⏹任意项:
一些取值组合出现时,输出逻辑值可以是任意的;
这些取值组合对应的最小项称为约束项或任意项,统称为“无关项”。
在卡诺图的方格中,常使用符号“×”(或“φ”)表示无关项。
无关项在化简逻辑函数中的应用:
⏹合理利用无关项,一般可以得到更加简单的化简结果,
⏹在卡诺图中,无关项“×”可以被作为“1”,也可以被作为“0”,
⏹目的:
加入的无关项应该与函数式尽可能多的最小项具有逻辑相邻性。
例2.10:
(例题并讲解:
具有无关项的逻辑函数化简)
Y(A,B,C,D)=Σm(1,3,7,11,15)+Σd(0,2,5)
Y=
问题:
利用卡诺图合并包含无关项的最小项,如何确定:
⏹卡诺圈包含无关项——将无关项“×”作为“1”,认为函数式包含此无关项;还是,
⏹卡诺圈不包含无关项——将无关项“×”作为“0”,认为函数式不包含此无关项?
卡诺圈包含无关项的原则:
应使——
⏹相邻最小项矩形组合(“卡诺圈”)的面积最大,并且,
⏹组合(“卡诺圈”)的数目最少。
2.3.4逻辑函数形式的转换
常用的复合逻辑:
与非、或非、与或非,其中任一种,都可以表示所有的逻辑问题。
最简与或表达式可用与门和或门实现,但在数字电路系统中,广泛使用的有与非门、或非门,以及与或非门。
问题:
如何求得“与非——与非”、“或非——或非”、“与或非”形式的最简逻辑表达式?
(如图2.6)
图2.6逻辑函数形式的转换
2.3.4.1“与或”到“与非——与非”的转换
将与或表达式二次求反,再使用一次DeMorgan公式,就可以得到“与非——与非”表达式。
例如:
2.3.4.2“与或”到“与或非”的转换
先求其反函数的最简与或表达式,然后再求反,就可以得到“与或非”表达式。
例如:
2.3.4.3“与或”到“或非——或非”的转换
需要先求得最简或与表达式,再求得“或非——或非”表达式。
步骤:
1)作出原函数的卡诺图,用合并“0格”的方法先求出其反函数的最简与或表达式;
2)对所得到的“与或”表达式求反,得到原函数的最简或与表达式;
3)二次求反,对于内层反号利用DeMorgan公式,可以得到原函数的“或非——或非”表达式。
例如:
或者:
对于步骤2)和3),可以改成:
2)与或形式的反函数表达式两端分别求反;
3)在对各个乘积项应用DeMorgan公式(反用)。
如上例:
则有——
例2.11:
已知
,且有(外部)约束条件
,请用最简的“或非”逻辑实现Y的逻辑函数。
2.3.5Q-M列表化简法
发明人QuineW.V.(奎恩)和McCluskeyE.J.(麦克拉斯基)
Q-M列表法的步骤和原理:
⏹第一次列表:
列表分次合并最小项,找到素项(本源蕴涵项);
⏹第二次列表:
列出“最小项——素项”交叉列表,选定实质蕴涵项。
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- 基本 逻辑电路 方法