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第6章方程与方程组的迭代解法§6.2不动点迭代法及其收敛定理
一、迭代法原理
将非线性方程/(X)=0化为一个同解方程
X=0(兀)
(2)
并且假设旗兀)为连续函数
任取一个初值兀。
,代入
(2)的右端,得
=0(兀0)
继续兀2=0(兀1)
X*=
⑶
称(3)式为求解非线性方程
(2)的简单迭代法
limx^=兀*
ks
称0(兀)为迭代函数,称叫为第&步迭代值如果存在一点兀*,使得迭代序列{乜}满足
(4)
则称迭代法⑶收敛,否则称为发散
例1•用迭代法求解方程2x3-x-l=O解:
(1)将原方程化为等价方程
x=2x3—1
如果取初值兀。
=0,由迭代法(3),得
显然迭代法发散
(2)如果将原方程化为等价方程
V妙
仍取初值兀0=。
書«0.7937
1'7^37Q0.9644
依此类推,得
x2=0.9644
x3=0.9940
x4=0.9990
x5=0.9998
x6=1.0000
x7=1.0000
同样的方程
不同的迭代格式
有不同的结果
迭代函数的构造有关
已经收敛,故原方程的解为
x—1.0000
什么形式的迭代法
能够收敛呢?
迭代过程的收敛性
定理1设迭代函数卩⑴在SQ上连续,且满足
(1)当兀〃耐,a<卩(兀)V";
(2)存在一正数L,满足Ovtvl,且有
I03EL(5)
则1。
・方程r=0(x)在也上呐有唯一解兀*
2。
.对于任意初值Toe[a,b],迭代法%1=卩(比)均收敛于**
设f(x)=x-^>(x),
则/(兀)在⑷勿上连续可导
由条件
(1)/(a)=a-0(Q)<0
/(Z?
)=b—(p(b)>0
由根的存在定理,
方程/(兀)=0在[°力]上至少有一个根
证:
由|0‘(x)\ f\x)^l-cp\x)>0 贝在[%]上单调递增, /(%)=0在[%]上仅有一个根 所以1°.方程%=(p{x)在[%]内有唯一解X* 2°.对于迭代法xk+1=(p(xk\ 由微分中值定理| xk+1—X*—0(耳)—0(h)=(p\^)(xk—x*) 兀上+1—X尸0(耳)—0(忑一1)=0(己)(耳—耳一1) 由于|0(兀)\ 耳+1—血I—4耳—耳一1 V丨妙 Xk+l~Xk3LXk—耳-1 -LXk+i_兀*一(忑+1— 3匸步1-对 由于乙<1,lim(忑-%*)=0 ks 因此对任意初值兀0/迭代法忑+1=0(耳)均收敛于兀* Z? 1-L1° 证毕. 定理1指出,只要构造的迭代函数满足 I0(%)乙v1 迭代法忑+产0(忑)就收敛 对于预先给定的误差卩匪即要求I忑- ,只要 L 1-L 因此,当丨忑—耳-迭代就可以终止,忑可以作为方程的近似解 定义1: 如果存在/的某个邻域R.x-x<,5使迭代过程 xk+l=(P(")对于任意初值X。 €人均收敛,则称迭代过程 忑+】=(pg)在根邻近具有局部收敛性。 定理2 若/是炉的不动点,0在F的某邻域上存在 且连续,并满足0£0(F)|<1,则迭代过程 林+i=0(无)在^的邻域是线性收敛的. 例2. 解: 用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位 ex+10x—2=0 由于>0, 贝IJ2-10%>0兀<0・2 x<0时, 0 因此[0,0.2]为有根区间 本题迭代函数有两种构造形式 x=02(%)=ln(2—10%) 2_ex x—©(兀)=-1。 X0.2 由于\(p[(x)\=^-V話V1 2-ex 因此采用迭代函数x=^(x)=—^- 取初值 xl=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.0905251 dl=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265-003d5=0.1390e-004d6=500-005d7=0.1000e-006 由于|d7|=0.1000e-006 因此原方程的解为xJ丈1=0.090525 迭代法收敛速度由定理I的⑺式出,乙或I0O)|在[%]上越小,迭代法收敛就越快 (9) 若存在实数^n1和c>0满足lim£^LL—Q 2°°課"i 则称迭代法P阶收敛,当p=1时称为线性收敛丿>1时 称为超线性收敛,p=2时称为平方收敛 显然'p越尢收敛速度也就越快 那么,如何确定P,从而确定收敛阶呢? 如果迭代函数0(工)在精确解X*处充分光滑,即处处可导 将0(对在兀*作Taylor^开,有 0(兀)=0(巧+0(巧(兀-x*)_巧2+... 如果0(兀*)=0'(疋)=…=^>(;? _1)(X*)=0而nxo 0(X)=0(才9+-—(x-x*)77+••• P! ,伙Too) 即迭代法无+1=0(无)的收敛阶是卩 定理3•如果迭代法迭代函数0⑴在根x*附近满足: (1)©⑴存在p阶导数切连续; (2)0(巧=0〃(巧=•••=037(屮)=0, 而(p{p\x^乂0 则迭代法忑+i=©(忑)的收敛阶是p 用迭代法求解方程2x3-x-l=0 解: 本题迭代函数有两种构造形式 ⑴x=2x3—l=(pY(x),迭代法发散. X=q兀;'=02(兀/可验调0‘2(X)|<1,Xe[0,1] 迭代法收敛. 1.Newton迭代公式建立 将f(x)在点Xn作Taylor展开: f"(X) /(x)=/(xJ+/7xJ(x-xJ+^^(x-xh)2+.. /(x)«/(XH)+/,(XM)(X-XH)——Taylor展开线性化fM=o近似于faj+fajgxAo (1) 从⑴解出X,记为Xn+1,贝! | (n=0,1,...) (2) 广(对显然是f(x)=O的同解方程,故其迭代函数为 cp(x)=X— 广(切 “)(广心0) 在躯尸)的根x*的某个邻域朋兀一⑷<(兀)在X才的邻域R内,对任意初值兀0,应用公式 (2)来解方程的方法就称为牛顿迭代法。 它是解代数方程和超越方程的有效方法之 2.Newton迭代法的几何意义 用于㈢在&处的切线 y=f(Xn)+f'(Xn)(X~Xn) 与X轴(y=0)的交点X,作为下一个迭代点召+1, Newton迭代法又称切线法. 4.Newton迭代法收敛定理 定理设后*)二0,/6*)工0,且在X的邻域 ±『存在,连续,则可得 (1)Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛; 证: 将/⑴在占处作2阶Taylor展开拼将解涉代入 Q=f(x^)=f(xn)+ff(xn)(兀*-旺巴"(兀*-兀畀)2 注意到J在占及兀*之间,及Hmxn=x^,故 11H—>00 注意到J在及疋之间,及lim^n,故 H—>00 畑-打 f"(^„) -> r(x) ,2一 2广(g 2广(门 =r>o(二阶收敛)若厂(兀升0 [=0(大于二阶收敛)若/"(X)=0 所以,Newton法至少二阶收敛.L—(^+1-/)_f"(x*) 例3.设兀*是方程/(兀)=0的加(>2)重根,证明迭代法 证明: 因为八是方程/(兀)=0的加重根,故 f(x)=(x-x*)wg(x)且g(〃)^0zm>2 所以广⑴=加(X7*)"jg(x)+(x-X*)"'g'(x) __fM_=x氏一x*)"g(xQ Xk+1~Xk广(耳)k加(耳7*)"5(耳)+(“7*)"'g'(“) =x(母一x*)g(®) k吨(“)+(“-Og'(“) 1 m>2时」>0"定乂1 m 该迭代法对m(>2)重根是线性收敛的 例4.设/⑷=0,且广(°)丰0,证明迭代法 嫌+17-召诧至少是平方收敛的 fM 注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别? 证明: 令 则0(兀)= '[广[广(0『 所以0⑷ 由定理2该迭代法至少是平方收敛的 1'【纠t皿迭代法前特征 •Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其迭代矩阵为: (p(x)=X- 广⑴ •Newton迭代是局部线性化方法,它在单根附近具有较高的收敛速度. •方法有效前提: /(忑)H° 5・Newton迭代法的应用开方公式 对于给定正数c应用牛顿迭代法解二次方程 兀2_c—0 可导出求开方值坨的计算公式 1(C) 忑+1=卞兀+— 设Xk是忑的某个近似值,则c/耳自然也是一个近似值,上式表明,它们两者的算术平均值将是更好的近似值。 定理开方公式对于任意给定的初值观>0均为平方收敛。 牛顿迭代法的优缺点 优点: 在单根附近,牛顿迭代法具有平方收敛的速度,所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精 确解。 计算函数值外还要计算微商值; 3•选定的初值要接近方程的解,否则有可能得 不到收敛的结果; 牛顿迭代法的改进 缺点克服: 1.局部线性收敛……改进公式或加速 或弦截法 3•初值近似问题——二分法求初值或”下山算法” 方法一•若已知重数m(m>1),则利用m构造新的迭代公式: 此时,©(%)=%—加诜寺0(%)=°,至少2阶收敛.不实用: m往往不确定. 方法二取F(x)=,再对函数F(x)用Newton迭代/W FM=xMZfgFg—k[/(xj]2-/(xj/\xj 此时,X*为F(x)的单根,所以是2阶收敛.但要用到二阶导数. 6.Newton法的改进(II) 广(耳) Newton迭代法 需要求每个迭代点处的导数/也) 复杂! 用%。 近似替代广(忑)中的无,得 /(忑)广(兀。 ) 这种格式称为简化Newton迭代法 精度稍低 如果用数值导数代替/U) /(忑)—了(耳1) xk~xk-l 则Newton迭代法变为 fg fg—fgJ 这种格式称为弦截法 收敛阶约为1・61 例4用简化Newton法和弦截法解下面方程的根,并和 g迭代法比较亠3兀+1=0 Ml 蹑(k)=x3-3x+lf\x)=3x2-3 由简化Newton法 V_V—/(忑)_¥Xk-3忑+1k+1~k玩h 由弦截法x_x AZr+l—入k /(") 由Newton迭代法忑+i=忑—广(工) x: -3兀£+1 3x1-3 简化Newton法迭代11次 弦截法迭代5次 简化Newton法 Xq=0.5 Xj=0.3333333333x2=0.3497942387兀3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759心二0.3472964208x9=0.3472963440勺0=0.3472963572Xjj=0.3472963553 由弦截法 兀0=0.5;勺=0.4; 兀2=0.3430962343兀3=0.3473897274x4=0.3472965093兀5=0.3472963553兀°=0.3472963553 要达到精度 由Newton迭代法 x0=0.5; Xj=0.3333333333x2=0.3472222222£=0.3472963532与=0.3472963553 ,迭代法的局部收敛性 无论哪种迭代法: Newton迭代法简化Newton法弦截法 是否收敛均与初值的位置有关. 例: f(x)=arctan(x)=0,精确解x*=0 用Newton迭代法求解: S+i=xk-arctan-(1+^) 6.Newton法的改进(III): 牛顿下山法 一般地说,牛顿法的收敛性依赖于初值入的选取,如果 * 兀0偏离兀较远,则牛顿法可能发散。 为了防止发散,通常对迭代过程再附加一项要求,即保证 函数值单调下降: |/(耳+1)|<|/(")| 满足这项要求的算法称为下山法。 牛顿下山法采用以下迭代公式: 其中0v251称为下山因子。 111 几的选取方式按A=的顺序 直到〃(檢+)<1/仇)i成立为止 牛顿下山法只有线性收敛. 例7・求解方程几兀)=二-兀=0,取初值兀o=-0.99丨£一®"$1°一5 解: 1•先用Newton迭代法广(兀)=x1-1 2•用Newton下山法,结果如下 k k=0 下山因子 Xk xO=-0.99 fM fxO=0.666567 k= 1 xl=32.505829 f(x)=11416.4 w=0.5 xl=15.757915 f(x)=1288.5 w=0.25 xl=7.383958 f(x)=126.8 w=0.125 xl=3.196979 f(x)=7.69 w=0.0625 xl=1.103489 f(x)=-0.655 k= 2 x2=4.115071 f(x)=19.1 w=0.5 x2=2.60928 f(x)=3.31 w=0.25 x2=1.85638 f(x)=0.27 k= 3 x3=1.74352 f(x)=0.023 k= 4 x4=1.73216 f(x)=0.00024 k= 5 x5=1.73205 f(x)=0.00000 k= 6 x6=1.73205 f(x)=0.000000 2・/(兀)=0在区间[%]有重根 /(x)=0在区间⑷b]有加重根>2 因此可令/(兀)=(兀一疋)"g(Q且g(x*)H0 故有/(X*)=广(於)=fg=(疋)=0 且/("')(h)H0 对于Newton迭代法斥+i=忑一;;;{趋于零 此时Newton迭代法可能不收敛 即使广(耳)h0,Newton迭代法也只是线性收敛 由,迭代法Xk+1 至少是二阶收敛 /(忑) /U) NumericalValueAnalysis 第6章方程与方程组的迭代解法 Steffensen方法 简单迭代公式的加速 一次得 设乂左是根乂的某个近似值,用迭代公式校正 假设0(瓦+1)=g,贝U有 迭代: 九+1=0(林) 改进: r-1y__r_7亠丄心_丫) Ak+l—: 和+11人k—和+1十: VA^+1入k丿 1-q1-q1-q 简单迭代法的加速方案: 九+1=0X) +吕一(£? +1一®)i_q 迭代次数大大减少,总的计算工作量减少,但涉及导数值的计算不便于实际应用。 简单迭代法加速方案的改进: 4〃辰卅加速方案: < Xk=Xk+2 (檢+2一忑+1尸耳+2-2耳+1+Xk(®+1一x$Xk+2-2忑+1+Xk 避免了导数值的计算,但需要用两次迭代值进行计算。 定理 设序列{耳}线性收敛于X*, \/k>0,ek=x-xkH0,且 lim=c(o<|(? |<1)ks乞 则{耳}的Aitken序列{耳}存在,且 即印比 *一 lim^_Z^L=0 ksX-Xk 快收敛于Xt Xk 证明: 首先 lim£^±2ks£* 其次 *— X—Xk -==c2 kSQQ 9+1匕k 兀+2—2兀+1+兀 =Ck—(勺+1一勺)2 kek+2一2乞+1+ek *_(加-1)2 所以 X—Xk二] X—Xkek+2_2ek+[_|_|ks Steffensen迭代 在Aitken加速法中,只要有三个相邻的点就可以进行家速,即对任意线性收敛序列{忑}构建的•现将其与不动点迭代无+i=申(林)方法结合起来: 迭代函数0(兀)迭代初始值兀°迭代序列{xk} 族=0(儿) Steffensen迭代< £=0丄•… 或写成不动点迭代形式无+严0(无),即 (0(耳)一耳)2 0[0(耳)]-20(耳)+耳 k二0丄•…
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