天津市青光中学学年高一下学期期中考试数学试题.docx
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天津市青光中学学年高一下学期期中考试数学试题
时间:
120分钟 分值:
150分
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.在△ABC中,a=1,b=
,B=120°,则A等于( )
A.30°B.45°
C.60°D.120°
2.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A.a=1,b=2,c=3
B.a=1,b=
,A=30°
C.a=1,b=2,A=100°
D.b=c=1,B=45°
3.在△ABC中,sinA:
sinB:
sinC=3:
2:
4,那么cosC=( )
A.
B.
C.-
D.-
4.已知等差数列{an}中,an=4n-3,则首项a1和公差d的值分别为( )
A.1,3B.-3,4
C.1,4D.1,2
5.已知等比数列{an}的各项均为正数,前n项之积为Tn,若T5=1,则必有( )
A.a1=1B.a3=1
C.a4=1D.a5=1
6.若△ABC中,a=2bcosC,则该三角形一定为( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
7.等比数列{an}的公比为
,前n项的和为Sn,n∈N*如S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,则其公比为( )
A.(
)2B.(
)6
C.
D.
8.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a2a9=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为( )
A.12B.10
C.8D.2+log35
9.递减的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5=S10,则欲使Sn取最大值,n的值为( )
A.10B.7
C.9D.7或8
10.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )
A.a<v<
B.v=
C.
<v<
D.v=
11.设a>0,b>0.若
是3a与3b的等比中项,则
+
的最小值为( )
A.8B.4
C.1D.
2
4
1
2
x
y
z
12.在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么x+y+z的值为( )
A.1B.2
C.3D.4
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.不等式
≤x的解集是________.
14.如果关于x的不等式2kx2+kx-
<0对一切实数x都成立,那么k的取值范围是________.
15.已知在△ABC中,A=60°,最大边和最小边的长是方程3x2-27x+32=0的两实根,那么边BC的长为________.
16.等差数列{an}中,Sn是它的前n项之和,且S6
其中正确的是________.(填入你认为正确的所有序号)
三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)
17.(10分)在△ABC中,a,b是方程x2-2
x+2=0的两根,且2cos(A+B)=1.
(1)求角C的度数;
(2)求c;(3)求△ABC的面积.
18.(12分)已知公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,且a1,a3,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
19.(12分)(2012·中山高二检测)如下图,从气球A测得正前方的河流上的桥梁两端B,C的俯角α,β,如果这时气球的高度是h,求桥梁BC的长度.
20.(12分)已知下列不等式①x2-4x+3<0;②x2-6x+8<0;③2x2-9x+a<0.要使①②成立的x也满足③,请你找一个这样的a值.
21.(12分)等差数列{an}中,a1=1,前n项和Sn满足条件
=4,n=1,2,…,
(1)求数列{an}的通项公式和Sn;
(2)记bn=an·2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
22.(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集,其中片集甲每片播放时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙每片播放时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万,广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间).
(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集,才能使收视观众最多;
(2)在获得最多收视观众的情况下,片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b(万元)的效益,若广告公司本周共获得1万元的效益,记S=
+
为效益调和指数,求效益调和指数的最小值.(取
=1.41)
天津市青光中学高一数学期中测试答案
(2)bn=2an=22n-1,
所以数列{bn}是以2为首项,4为公比的等比数列.
∴Sn=2+23+25+…+22n-1=
=
(4n-1).
19解:
过A作垂线AD交CB于D,则在Rt△ADB中,∠ABD=α,AB=
.
又在△ABC中,∠C=β,∠BAC=α-β,
由正弦定理,得
=
,
∴BC=
=
.
(2)由bn=an·2n-1,得bn=(2n-1)·2n-1.
所以Tn=1+3·21+5·22+…+(2n-1)·2n-1,①
2Tn=2+3·22+5·23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,②
①-②得
-Tn=1+2·2+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n
=2(1+2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n-1
=
-(2n-1)·2n-1.
所以Tn=(2n-1)·2n+1-(2n+1-2)
=(n-1)·2n+1-2n+3.
22解:
(1)设片集甲、乙分别播放x,y集,则有
要使收视观众最多,则只要z=60x+20y最大即可.
如图作出可行域,易知满足题意的最优解为(2,4),
zmax=60×2+20×4=200,故电视台每周片集甲播出2集,片集乙播出4集,其收视观众最多.
(2)由题意得:
2a+4b=1,
S=
+
=(
+
)(2a+4b)
=6+
+
≥6+4
=11.64(万元),当且仅当a=
,b=
时,取等号.
所以效益调和指数的最小值为11.64万元.
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