多边形及角平分线doc.docx
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多边形及角平分线doc
教师:
秦国荣
加油绽个性化辅导教案
时间:
2014年11月9日8:
00-10:
00
f定义:
由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形
分类1:
凹多边形
正多边形:
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2:
形''非正多边形:
r1、n边形的内角和等于180。
(n-2)o多边形的定岫2、任意凸形多边形的外角和等于360。
。
L3、n边形的对角线条数等于l/2・n(n-3)
r只用一种正多边形:
3、4、6/。
'
I镶嵌'〔拼成360度的角
I只用一种非正多边形(全等):
3、4。
(点一:
多边形及有关概念
1、多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
(1)多边形的一些要素:
边:
组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
顶点:
每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
内角:
多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n边形有n个内角。
外角:
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
(2)在定义中应注意:
%1一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数);
%1首尾顺次相连,二者缺一不可;
%1理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形,反之为凹多边形(见图1).本章所讲的多边形都是指凸
多边形.
凹多边形
图1
通常还以边数命名,多边形有〃条边就叫做〃边形.三角形、四边形都属于多边形,其中形是边数最少的多边形.
多边形
等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形
正六边形
正十二边形
可见多边形内角和与边数n有关,每增加
要点诠释:
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形
知识点三:
多边形的内角和公式
1.公式:
%边形的内角和为5-©1町32刃
要点诠释:
(1)注意:
以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。
(2)内角和定理的应用:
%1己知多边形的边数,求其内角和;
%1己知多边形内角和,求其边数。
知识点四:
多边形的外角和公式
1.公式:
多边形的外角和等于360°.
2.多边形外角和公式的证明:
多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角,所以边形的内角和加外角和为■皿,外角和等于,.皿-但注意:
n边形的外角和恒等于360。
,它与边数的多少无关。
要点诠释:
(1)外角和公式的应用:
%1己知外角度数,求正多边形边数;
%1己知正多边形边数,求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系:
%1n边形的内角和等于(n—2)・180°(nN3,n是正整数),1条边,内角和增加180°o
%1多边形的外角和等于360°,与边数的多少无关。
练习
1,一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,它是儿边形?
2,一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是().
A.6B.7C.8D.9
3,一个十二边形有儿条对角线。
4,如图所示,Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=.
5,如图所示,求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度数。
6,在四边形ABCD中,ZA=90°,ZB:
ZC:
匕D=1:
2:
3,
ZC=,ZD=
(二)角的平分线的性质
1.角平分线性质定理:
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如图:
AB是匕CAD的平分线,则有:
CB=BDo
B
2.角平分线判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
如图:
如果有CB=BD,则有AB是ZCAD的平分线。
3.三角形的三条角平分线交于三角形内一点,并且这个点到三角形三边的距离相等.
如图:
在三角形ABC中,AD是ZBAC,BE是NABC的角平分线,则有IH=IG=IFO
A
G
E
例1:
如图,已知:
NBAC=30,G为NBAC的平分线上的一点,若EG〃AC交AB于E,GD1AC于D,GD:
GE=()
E
A
【解析】作GF±AB于F(目的是为了用定理)
VAG平分ZBAC,GD1AC
・.・GF=GD(角平分线的性质定理)
•.・EG〃AC,ZBAC=30°
・.・ZFEG=30()
AFG:
EG=1:
2
・.・GD:
GE=1:
2
【答案】1:
2
例2:
在△ABC中,ZABC=100,NACB二20,CE平分匕ACB交AB于E,D在AC上,且ZCBD=20。
求NCED的度数。
E
C
【解析】此题是考查利用角平分线的性质求角的度数。
-
【答案】作EF_LAC,延长CB,作EG±CB
EH±BD
VCE平分ZACB,ZACB=20°,
.•.ZBCE=ZDCE=1O°,
•/ZCBD=20°
・・・ZBDA=400
•.・ZABC=100°,ZCBD=20°
・・・ZABG=8O°,ZABD=8O°
・.・ZABG=ZABD
・.・EH=EG
可证△BEHMABEG(AAS)
•「CE平分/ACB,
・・・EF=EG(角平分线性质定理)
・.・EF=EH
・.・DE平分ZBDA(角平分线的判定定理)
・・・ZEDA=20°
•.・ZEDA=ZECA+ZCED
/.ZCED=20°-10°=10°
练习1.如图,已知点。
是ZABC的平分线上一点,点P在上,PALAB,PC1.BC,垂足分别为A,C.下列结
论错误的是().
A.AD=CPB.△ABPg^CBP
C.£\ABD£4CBDD.ZADB=ZCDB.
2.如图所示,AD10B,BC1OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则匕1与匕2的大
小是()
3.AABC中,ZC=90°,AC=BC,AD是ZBAC的平分线,DE_LAB,垂足为E,若AB=12cm,则左DBE
的周长为()
A、12cmB、10cmC、14cmD^11cm
4.己知AD是AABC的角平分线,DE_LAB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是.
5.如图,已知D为AABC的BC边的中点,DE、DF分别平分匕ADB和ZADC,
求证:
BE+CF>EF.
课后作业
1.四边形ABCD中,如果ZA+ZC+ZD=280°,则匕B的度数是()
A.80°B.90°C.170°D.20°
2.一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形的边数是()
A.9B.8C.7D.6
3.内角和等于外角和2倍的多边形是()
A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形
4.六边形的内角和等于度.
5.正十边形的每一个内角的度数等于,每一个外角的度数等于
6.己知AD是AABC的角平分线,DEJ>AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是()
A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm
7.如图,已知CE、CF分别是AABC的内角和外角平分线,则图中与ZBCE互余的角有()
8.
9.如图,AB=AD,ZABC=ZADC=90°,则下列结论:
①Z3=Z4;②Z1=Z2;®Z5=Z6;④AC垂直且平分
BD,其中正确的有()
A.①②③④B.①②③C.①③D.①③④
10.如图,三条公路两两交于点A、B、C,现要修一个货物中转站,要求到三条公路距离相等,则可供选择的地址有
)
A.一处B.二处C.三处D.四处
A
11.AABC中,ZC=90°,AD平分ZBAC交BC于D,且BD:
CD=3:
2,BC=15cm,则点D到AB的距离是.
答案1,【解析】通过角平分线上的性质的运用推得△ABP^ACBP
△CBD,匕ADB=ZCDB三项成立,A项不成立,能推出AD二DC,也能推得AP二PC。
【答案】A
2,【解析】..・AD_LOB,BC_LOA,PA=PB,由角平分线的判定可知Z1=Z2.【答案】A
3,【解析】VAD是匕BAC的平分线,DE1AB,ZC=90°,易得△ACD^A
AED,ACD=DE,AE=AC,AADBE的周长=DE+EB+DE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=12cm.【答案】A
4,【解析】角平分线上的一点到角的两边距离相等即可得到D到AC的距离是
5.【答案】5
5,【解析】在DA上取一点M,使DM=DB=DC,连结EM、MF,实质上是将Z\DBE及Z\DFC分别沿DE、DF翻折180°得到ZkDEM及左MFD,从而使问题得到解决的.
【答案】在DA上取一点M,使DM=DB=DC,连结EM、MF,
BDC
VDE平分ZADB,ZBDE=ZEDM.
又DM=BD,DE=DE,:
.ABED^AMED.
同理可得△MFD^ACFD.
BE=EM,CF=MF.
•.*在AEMF中,EM+MF>EF.
BE+CF>EF.
1.A点拨:
ZB=360°-(ZA+ZC+ZD)=360°-280°=80。
.故选A.
2.B点拨:
设这个多边形的边数为n,则(n-2)•180=1080.解得n=8.故选B.
3.B点拨:
设这个多边形的边数为n,根据题意,得3-2)・180=2X360.解得n=6.故选B.
4.720
5.144°;36°
点拨:
正十边形每一个内角的度数为:
(10—2)x180。
二]44。
10
每一个外角的度数为:
180°-144°=36°.
6.B7.C8.D9.A10.6cm
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