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lingo80完美教程
1
LINGO基础以及在建模中的应用
LINGO是一个利用线性规划和非线性规划来简洁地阐述、解决和分析复杂问题的简便工
具。
LINGO还是最优化问题得一种建模语言,包括许多常用的函数可供使用者建立模型时调用,
并提供与其他数据文件(如文本文件、EXCEL电子表格文件、数据库文件等)的接口,程序执
行速度快,易于输入、修改、求解和分析问题。
和另外一种常用的建模语言MATLAB相比,LINGO有自己的独特的地方。
在使用
MATLAB表述一个数学模型问题的时候,需要将模型中的约束条件进行分类(即线性等式约束、
线性不等式约束、非线性等式约束、非线性不等式约束)转化成相应的矩阵形式以及相应的M
文件,如果是一个大规模的问题,还需要建立较多的M文件,而且,当问题中的某些约束条件
有较小的改动的时候,会引起相应的M文件有较大的改动,这就使得MATLAB的灵活性较差。
而在使用LINGO表述相同模型问题时,则只需要简单的“翻译”成相应的LINGO程序即可。
同时LINGO是一个专业的求解规划问题的软件,在求解速度和求解精度上都要比MATLAB好。
但是MATLAB也有自己的特点,所以读者在建模时,最好根据实际问题,恰当得混合使用这两
种软件,才能达到较好的建模效果。
LINGO软件包有多种版本,但其软件内核和使用方法类似,本讲义以LINGO8.0进行简
单介绍。
学习本讲义,仅能够让读者能够运用LINGO8.0建模语言表述实际问题,正确理解求
解过程所显示的状态,解读输出结果。
作为一门建模语言,它非常灵活,不是本讲义所能完全
包含的,关于程序高级方面的设置和使用,可查看帮助文件和其他的相关资料。
一LINGO基础
§1LINGO快速入门
当你在windows下开始运行LINGO系统时,和其他的windows应用程序一样,会得到类似
下面的一个窗口:
外层是主框架窗口,包含了所有菜单命令和工具条,其它所有的窗口将被包含在主窗口之
下。
在主窗口内的标题为LINGOModel–LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口,建立的模
型都都要在该窗口内编码实现。
下面举两个例子。
2
例1.1如何在LINGO中求解如下的线性规划问题:
0
2600
100
350
..
min23
12
12
1
12
12
≥
+≤
≥
+≥
+
xx
xx
x
xx
st
xx
在模型窗口中输入如下代码:
min=2*x1+3*x2;
x1+x2>=350;
x1>=100;
2*x1+x2<=600;
保存后然后点击工具条上的按钮即可。
例1.2使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。
产销单位运价如下表。
单
位销地
运
价
产地
B1B2B3B4B5B6B7B8产量
A16267425960
A24953858255
A35219743351
A47673927143
A52395726541
A65522814352
销量3537223241324338
首先建立相应的数学模型:
设ijx为产地iA到销地jB的运量,ijc为单位运价,ia为产地iA的
产量,jb为销地jB的销量
数学模型:
min
68
11
ijij
ij
cx
==
©©
6
1
1,2...8ijj
i
xbj
=
©==,
8
1
1,2...6iji
j
xai
=
©≤=,0ijx≥
使用LINGO软件,编制程序如下:
model:
!
程序开始的标志符
!
集合的定义部分
1]sets:
2]AA/1..6/:
a;
3]BB/1..8/:
b;
4]Links(AA,BB):
c,x;
3
5]Endsets
!
数据的定义部分
6]data:
7]a=605551434152;
8]b=3537223241324338;
9]c=62674295
10]49538582
11]52197433
12]76739271
13]23957265
14]55228143;
15]enddata
!
目标函数;
16]min=@sum(links:
c*x);
!
需求约束;
17]@for(BB(j):
18]@sum(AA(i):
x(i,j))=b(j));
!
产量约束;
19]@for(AA(i):
20]@sum(BB(j):
x(i,j))<=a(i));
end!
程序结束的标志符
然后点击工具条上的按钮即可。
上例就是一个典型的LINGO程序,程序一般以标志符model:
开始,以end结束。
标准的LINGO
程序主体一般由四部分组成:
(1)集合块,如例中的第1-5行。
(2)数据快,如例中的第6-15
行。
(3)目标函数,如例中的第16行。
(4)约束条件,如例中的第17-20行。
这四个部分之间
并没有严格的顺序之分,调整它们之间的次序,并不影响程序的运行,但为了修改程序的方便,
还是建议采用这种顺序编写程序。
下面的学习,我们就对每一个组成部分进行简单的介绍。
4
§2LINGO中的集
2.1集的简介
集是LINGO建模语言的基础,是程序设计最强有力的基本构件。
借助于集,能够用一个
单一的、长的、简明的复合公式表示一系列相似的约束,从而可以快速方便地表达规模较大
的模型(如例1.2中程序的17-20行)。
集是一群相联系的对象,这些对象也称为集的成员。
一个集可能是一系列产品、卡车或
雇员。
每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特征,我们把这些特征称为属性。
属性值
可以预先给定,也可以是未知的,有待于LINGO求解。
但是在使用之前,必须先定义它。
LINGO有两种类型的集:
原始集(primitiveset)和派生集(derivedset)。
一个原始集是由一些最基本的对象组成的,可以称之为简单集合。
如A={1,2,3}就定义
了一个集合A.
一个派生集是用一个或多个其它集来定义的,也就是说,它的成员来自于其它已存在的
集,由已知集合派生得到的。
如A={1,2,3},B={a,b,c},C={(1,a),(2,b),(2,c),(3,c)},A,B就是
原始集,而C就是由A,B派生得到的。
2.2模型的集部分
集部分是LINGO模型的一个可选部分(如在例1.1的程序中就无此部分)。
在LINGO模
型中使用集之前,必须在集部分事先定义。
集部分以关键字“sets:
”开始,以“endsets”
结束。
一个模型可以没有集部分,或有一个简单的集部分,或有多个集部分。
一个集部分可
以放置于模型的任何地方,但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了它们。
2.2.1定义原始集
为了定义一个原始集,必须详细声明:
[1]集的名字[2]集的成员(可选)[3]集成员的属性(可选)
定义一个原始集,用下面的语法:
setname[/member_list/][:
attribute_list];
注意:
用“[]”表示该部分内容可选。
下同,不再赘述。
Setname是你选择的来标记集的名字,最好具有较强的可读性。
集名字必须严格符合标
准命名规则:
以拉丁字母或下划线(_)为首字符,其后由拉丁字母(A—Z)、下划线、阿拉
伯数字(0,1,…,9)组成的总长度不超过32个字符的字符串,且不区分大小写。
注意:
该命名规则同样适用于集成员名和属性名等的命名。
Member_list是集成员列表。
如果集成员放在集定义中,那么对它们可采取显式罗列和
隐式罗列两种方式。
如果集成员不放在集定义中,那么可以在随后的数据部分定义它们。
①当显式罗列成员时,必须为每个成员输入一个不同的名字,中间用空格或逗号搁开,
允许混合使用。
例2.1可以定义一个名为students的原始集,它具有成员John、Jill、Rose和Mike,
每个成员具有属性有sex和age:
sets:
students/JohnJill,RoseMike/:
sex,age;
endsets
②当隐式罗列成员时,不必罗列出每个集成员。
可采用如下语法:
setname/member1..memberN/[:
attribute_list];
这里的member1是集的第一个成员名,memberN是集的最末一个成员名。
LINGO将自动产生
中间的所有成员名。
LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名,用于创建一些特殊的集。
列表如下:
隐式成员列表格式示例所产生集成员
1..n1..51,2,3,4,5
StringM..StringNCar2..car14Car2,Car3,Car4,…,Car14
DayM..DayNMon..FriMon,Tue,Wed,Thu,Fri
5
③集成员不放在集定义中,而在随后的数据部分来定义。
例2.2
!
集部分;
sets:
students:
sex,age;!
注意无成员定义,仅由集的名称和成员的属性;
endsets
!
数据部分;
data:
students,sex,age=John116
Jill014
Rose017
Mike113;
enddata
注意:
开头用感叹号(!
),末尾用分号(;)表示注释,可跨多行。
在集部分只定义了一个集students,并未指定成员。
在数据部分罗列了集成员John、
Jill、Rose和Mike,并对属性sex和age分别给出了值。
2.2.2定义派生集
为了定义一个派生集,必须详细声明:
[1]集的名字[2]父集的名字[3]集的成员(可选)[4]集成员的属性(可选)
可用下面的语法定义一个派生集:
setname(parent_set_list)[/member_list/][:
attribute_list];
setname是集的名字。
parent_set_list是已定义的集的列表,多个时必须用逗号隔开。
如果没有指定成员列表,那么LINGO会自动创建父集成员的所有组合作为派生集的成员,相
当于由父集形成的完全集。
派生集的父集既可以是原始集,也可以是其它的派生集。
例2.3
sets:
product/AB/;
machine/MN/;
week/1..2/;!
此三个集合均没有定义属性;
allowed(product,machine,week):
x;
endsets
LINGO生成了三个父集的所有组合共八组作为allowed集的成员。
列表如下:
编号成员
1(A,M,1)
22(A,M,2)
33(A,N,1)
44(A,N,2)
55(B,M,1)
66(B,M,2)
77(B,N,1)
88(B,N,2)
成员列表被忽略时,派生集成员由父集成员所有的组合构成,这样的派生集成为稠密集。
如果限制派生集的成员,使它成为父集成员所有组合构成的集合的一个子集,这样的派生集
成为稀疏集。
同原始集一样,派生集成员的声明也可以放在数据部分。
一个派生集的成员列
表有两种方式生成:
①显式罗列;②设置成员资格过滤器。
当采用方式①时,必须显式罗列
出所有要包含在派生集中的成员,并且罗列的每个成员必须属于稠密集。
使用前面的例子,
显式罗列派生集的成员:
allowed(product,machine,week)/AM1,AN2,BN1/;
如果需要生成一个大的、稀疏的集,那么显式罗列就很讨厌。
幸运地是许多稀疏集的成员都
满足一些条件以和非成员相区分。
我们可以把这些逻辑条件看作过滤器,在LINGO生成派生
集的成员时把使逻辑条件为假的成员从稠密集中过滤掉。
例2.4
sets:
6
!
学生集:
性别属性sex,1表示男性,0表示女性;年龄属性age.;
students/John,Jill,Rose,Mike/:
sex,age;
!
男学生和女学生的联系集:
友好程度属性friend,[0,1]之间的数。
;
linkmf(students,students)|sex(&1)#eq#1#and#sex(&2)#eq#0:
friend;
!
男学生和女学生的友好程度大于0.5的集;
linkmf2(linkmf)|friend(&1,&2)#ge#0.5:
x;
endsets
data:
sex,age=116
014
017
013;
friend=0.30.50.6;
enddata
用竖线(|)来标记一个成员资格过滤器的开始。
#eq#是逻辑运算符,用来判断是否“相
等”,可参考§4.&1可看作派生集的第1个原始父集的索引,它取遍该原始父集的所有成
员;&2可看作派生集的第2个原始父集的索引,它取遍该原始父集的所有成员;&3,&4,……,
以此类推。
注意如果派生集B的父集是另外的派生集A,那么上面所说的原始父集是集A向
前回溯到最终的原始集,其顺序保持不变,并且派生集A的过滤器对派生集B仍然有效。
因
此,派生集的索引个数是最终原始父集的个数,索引的取值是从原始父集到当前派生集所作
限制的总和。
§3模型的数据部分
在处理模型的数据时,需要为集指派一些成员并且在LINGO求解模型之前为集的某些属
性指定值(如例1.2程序中的第6-15行)。
3.1数据部分入门
数据部分提供了模型相对静止部分和数据分离的可能性。
显然,这对模型的维护和维数
的缩放非常便利。
数据部分以关键字“data:
”开始,以关键字“enddata”结束。
在这里,可以指定集成
员、集的属性。
其语法如下:
object_list=value_list;
对象列(object_list)包含要指定值的属性名、要设置集成员的集名,用逗号或空格
隔开。
一个对象列中至多有一个集名,而属性名可以有任意多。
如果对象列中有多个属性名,
那么它们的类型必须一致。
如果对象列中有一个集名,那么对象列中所有的属性的类型就是
这个集。
数值列(value_list)包含要分配给对象列中的对象的值,用逗号或空格隔开。
注意属
性值的个数必须等于集成员的个数。
看下面的例子。
例3.1
sets:
set1/A,B,C/:
X,Y;
endsets
data:
X=1,2,3;
Y=4,5,6;
enddata
在集set1中定义了两个属性X和Y。
X的三个值是1、2和3,Y的三个值是4、5和6。
也可采用如下例子中的复合数据声明(datastatement)实现同样的功能。
例3.2
sets:
set1/A,B,C/:
X,Y;
endsets
data:
X,Y=14
25
36;
7
enddata
看到这个例子,可能会认为X被指定了1、4和2三个值,因为它们是数值列中前三个,
而正确的答案是1、2和3。
假设对象列有n个对象,LINGO在为对象指定值时,首先在n
个对象的第1个索引处依次分配数值列中的前n个对象,然后在n个对象的第2个索引处依
次分配数值列中紧接着的n个对象,……,以此类推。
模型的所有数据——属性值和集成员——被单独放在数据部分,这可能是最规范的数据
输入方式。
3.2参数
在数据部分也可以指定一些标量变量(scalarvariables)。
当一个标量变量在数据部
分确定时,称之为参数。
假设模型中用利率8.5%作为一个参数,就可以象下面一样输入一
个利率作为参数。
例3.3
data:
interest_rate=.085;
enddata
也可以同时指定多个参数。
例3.4
data:
interest_rate,inflation_rate=.085.03;
enddata
3.3实时数据处理
在某些情况,对于模型中的某些数据并不是定值。
譬如模型中有一个通货膨胀率的参数,
我们想在2%至6%范围内,对不同的值求解模型,来观察模型的结果对通货膨胀的依赖有多
么敏感。
我们把这种情况称为实时数据处理(whatifanalysis)。
LINGO有一个特征可方
便地做到这件事。
在本该放数的地方输入一个问号(?
)。
例3.5
data:
interest_rate,inflation_rate=.085?
;
enddata
每一次求解模型时,LINGO都会提示为参数inflation_rate输入一个值。
在WINDOWS操作
系统下,将会接收到一个类似下面的对话框:
直接输入一个值再点击OK按钮,LINGO就会把输入的值指定给inflation_rate,然后继续
求解模型。
除了参数之外,也可以实时输入集的属性值,但不允许实时输入集成员名。
3.4数据部分的未知数值
有时只想为一个集的部分成员的某个属性指定值,而让其余成员的该属性保持未知,以
便让LINGO去求出它们的最优值。
在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成
员的属性值未知。
两个逗号间可以有空格。
例3.8
sets:
years/1..5/:
capacity;
endsets
8
data:
capacity=,34,20,,;
enddata
属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20,其余的未知。
§4LINGO函数
在编写程序的时候,可能会碰到某些函数,在这对这些函数我们仅简单的介绍一下,以
便查询。
LINGO有9种类型的函数:
1.基本运算符:
包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符
2.数学函数:
三角函数和常规的数学函数
3.金融函数:
LINGO提供的两种金融函数
4.概率函数:
LINGO提供了大量概率相关的函数
5.变量界定函数:
这类函数用来定义变量的取值范围
6.集操作函数:
这类函数为对集的操作提供帮助
7.集循环函数:
遍历集的元素,执行一定的操作的函数
8.数据输入输出函数:
这类函数允许模型和外部数据源相联系,进行数据的输入输出
9.辅助函数:
各种杂类函数
4.1基本运算符
这些运算符是非常基本的,甚至可以不认为它们是一类函数。
事实上,在LINGO中它们
是非常重要的。
4.1.1算术运算符
算术运算符是针对数值进行操作的。
LINGO提供了5种二元运算符:
^乘方
﹡乘
/除
﹢加
﹣减
LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。
这些运算符的优先级由高到底为:
高﹣(取反)
^
﹡/
低﹢﹣
运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。
运算的次序可以用圆括号“()”来
改变。
例4.1算术运算符示例。
2﹣5/3,(2﹢4)/5等等。
4.1.2逻辑运算符
在LINGO中,逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中,来控制在函数中哪些集
成员被包含,哪些被排斥。
在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。
LINGO具有9种逻辑运算符:
#not#否定该操作数的逻辑值,#not#是一个一元运算符
#eq#若两个运算数相等,则为true;否则为flase
#ne#若两个运算符不相等,则为true;否则为flase
#gt#若左边的运算符严格大于右边的运算符,则为true;否则为flase
#ge#若左边的运算符大于或等于右边的运算符,则为true;否则为flase
#lt#若左边的运算符严格小于右边的运算符,则为true;否则为flase
#le#若左边的运算符小于或等于右边的运算符,则为true;否则为flase
#and#仅当两个参数都为true时,结果为true;否则为flase
#or#仅当两个参数都为false时,结果为false;否则为true
9
这些运算符的优先级由高到低为:
高#not#
#eq##ne##gt##ge##lt##le#
低#and##or#
例4.2逻辑运算符示例
2#gt#3#and#4#gt#2,其结果为假(0)。
4.1.3关系运算符
在LINGO中,关系运算符主要是被用在模型中,来指定一个表达式的左边是否等于、小
于等于、或者大于等于右边,形成模型的一个约束条件。
关系运算符与逻辑运算符#eq#、#le#、
#ge#截然不同,前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述,而后者仅仅判断一个该
关系是否被满足:
满足为真,不满足为假。
LINGO有三种关系运算符:
“=”、“<=”和“>=”。
LINGO中还能用“<”表示小于等
于关系,“>”表示大于等于关系。
LINGO并不支持严格小于和严格大于关系运算符。
然而,
如果需要严格小于和严格大于关系,比如让A严格小于B:
A
那么可以把它变成如下的小于等于表达式:
A+ε<=B,
这里ε是一个小的正数,它的值依赖于模型中A小于B多少才算不等。
下面给出以上三类操作符的优先级:
高#not#﹣(取反)
^
﹡/
﹢﹣
#eq##ne##gt##ge##lt##le#
#and##or#
低<==>=
4.2数学函数
LINGO提供了大量的标准数学函数:
@abs(x)返回x的绝对值
@sin(x)返回x的正弦值,x采用弧度制
@cos(x)返回x的余弦值
@tan(x)返回x的正切值
@exp(x)返回常数e的x次方
@log(x)返回x的自然对数
@lgm(x)返回x的gamma函数的自然对数
@sign(x)如果x<0返回-1;否则,返回1
@floor(x)返回x的整数部分。
当x>=0时,返回不超过x的最大整数;当x<0
时,返回不低于x的最大整数。
@smax(x1,x2,…,xn)返回x1,x2,…,xn中的最大值
@smin(x1,x2,…,xn)返回x1,x2,…,xn中的最小值
4.3金融函数(略)
4.4概率函数
虽然在LINGO里面也提供了较多的概率函数,但从建模使用来看,MATLAB系统里面
提供的概率函数更加丰富,而且也更方便,故在此也省略。
4.5变量界定函数
变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制,共4种:
@bin(x)限制x为0或1
@bnd(L,x,U)限制L≤x≤U
@free(x)取消对变量x的默认下界为0的限制,即x可以取任意实数
10
@gin(x)限制x为整数
在默认情况下,LINGO规定变量是非负的,也就是说下界为0,上界为+∞。
@free取消
了默认的下界为0的限制,使变量也可以取负值。
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