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微积分知识点总结
第四节多元复合函数的求导法则
多元复合函数的链式求导法则为:
口诀:
分段用乘,分叉用加.
多元函数与多元函数复合的情景(将下面的链式法则补充完整)
zzuzv
xuxvx
z
z
u
z
v
口诀:
分段用乘,分叉用加.y
u
y
v
y
uffz
xxzx
u
f
f
z
口诀:
分段用乘,分叉用加.
y
y
z
y
1/10
w
f
u
f
v
x
u
x
v
x
w
f
u
f
v
口诀:
分段用乘,分叉用加.
y
u
y
v
y
w
f
u
f
v
z
u
z
v
z
z
f
u
f
v
x
u
x
v
x
z
f
u
f
v
口诀:
分段用乘,分叉用加.y
u
y
v
y
根据下列图示,写出复合函数的所有链式求导法则:
(做题时,一次可能只会用到一个---用到那个就写那个,不必全部写出了.)
zfufv
xuxvx
2/10
z
f
u
f
v
口诀:
分段用乘,分叉用加.y
u
y
v
y
f1'
f1'u
f1'
v
x
u
x
v
x
口诀:
分段用乘,分叉用加.
f1'
f1'
u
f1'
v
y
u
y
v
y
f2'
f2'
u
f2'
v
x
u
x
v
x
f2'
f2'
u
f2'
v
y
u
y
v
y
f
f
f
v
x
x
v
x
f
f
v
口诀:
分段用乘,分叉用加.y
v
y(简单!
)
(因为图中:
红色线段有3条;蓝色线段只有2条.
3/10
虽然只少了一条,但对做题过程的影响却非常大.从
最后一题的解题过程中就能看出来.)
f1'f1'f1'v
xxvx
f1'f1'v
口诀:
分段用乘,分叉用加.
yvy
f2'
f2'
f2'
v
x
x
v
x
口诀:
分段用乘,分叉用加.
f2'
f2'
v
y
v
y
三、1.(11-7)已知函数zf(x
y,xy),其中f具有二阶连续的偏导数,
2z
求xy.
4/10
解:
本题考查的知识点是:
多元复合函数的高阶偏导数
设uxy,vxy,(这两个属于具体函数)
则zfu,v⑴(这个属于抽象函数)
对⑴式,把y看作常数,由链式法则得(下一步:
遇到抽象函数,写
出它的“记号”即可;遇到具体函数,求出它的偏导数.最后一步:
在抽象函数的记号后面标出它的“自变量”---因为求二阶偏导数时,需要知道它的“自变量”
有几个,各是“啥”?
,这样,后面做题时,就会“一目了然”
.)
z
f
u
f
v
f
1
'1
f2'y
⑵
x
u
x
v
x
对⑵
式,把x看作常数,由链式法则和函数的和、积求导法则得:
2z
f
1
u
f
1
v
)f2
y(
f
2
u
f
2
v
xy
(
y
y
y
)
u
v
u
v
y
5/10
f111
f12x
f2
y(f21
1f22x)
f11
xf12
f2
yf21
xyf22
(
)
f11
(x
y)f12f2
xyf22
注:
f1
f1
u,v
fuu,v
z
(这些记号都是为抽象函数准备的!
)
u
f2
f2
u,v
fvu,v
z
v(具体函数不需要这些记号!
)
f1
f1
;
f1
f1
f2
f2
;f22
f2
u
2
v
1
u
v
1
fffv
xxvx
ffv
口诀:
分段用乘,分叉用加.yvy(简单)
三、1.(07-7)
设z
xfx,y
,其中f具有连续二阶偏导数,
x
2z2z
求yx和xy.
解:
本题考查的知识点是:
6/10
多元复合函数的高阶偏导数
y
设vx,(这个属于具体函数)
则zxfx,v
⑴(这里面既有具体函数又有抽象函数
---其
中,x为具体函数;f
x,v为抽象函数.)
f
f
v
y
v
y(下面用到的就是这一个)
2z
先求yx
对
⑴式,把x看作常数,由链式法则和函数的求导法则
⑵得:
z
f
v
xf2
1
⑵
y
x
y
f2f2x,v
v
x
7/10
f2
f2
f2
v
x
x
v
x(下面用到的就是这一个)
对⑵式,把y看作常数,由链式法则和函数的求导法则得:
2z
f2
f2
v
f21
f22
y
x2
f21
y2f22
yx
x
v
x
x
设v
y
x
,
(这个属于具体函数)
则zxfx,v⑴(这里面既有具体函数又有抽象函数)
2z
再求xy
f
f
f
v
x
x
v
x(下面用到的就是这一个)
对⑴式,把y看作常数,由链式法则和函数求导法则得:
z
f
f
v
fx,vxf1
f2
y
fx,v
x
v
x
x2
x
x
fx,vxfx,v
y
f
x,v
⑵
1
x
2
8/10
ffv
yvy(下面用到的就是这一个)
f1
f1
v
y
v
y(下面用到的就是这一个)
f2f2v
yvy(下面用到的就是这一个)
对⑵式,把x看作常数,由链式法则和函数的求导法则得:
2z
f
v
f1
v
1
f2
y
f2
v
xy
v
y
x
y
x
x,v
v
y
v
x
f2
1
xf12
1
1f2
yf22
1
x
x
x
x
x
1
f12
1
f2
y
f22
f2
x
x
2
x
f12
y2
f22
f21
y2
f22
2z
yx
x
x
2z
2z
2z
2z
比较y
x和
xy的求解过程,可以看出:
yx比
xy的求解过程要
9/10
简单得多.
这是因为在中,y的关系简单.
注:
二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无
关,所以就可以自由选择次序---优先选择关系少
的变量(在本题中,显然y的关系少,这样优先
选择y就会简单的多.)!
10/10
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