中考数学压轴专题最值问题系列.docx
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中考数学压轴专题最值问题系列
专题最值问题——1(几何模型)
一、归于几何模型,这种模型又分为以下情形:
1.归于“两点之间的连线中,线段最短”。
凡属于求“变更的两线段之和的最小值”时,多数应用这一模型。
2.归于“三角形两边之差小于第三边”。
凡属于求“变更的两线段之差的最大值”时,多数应用这一模型。
3.利用轴对称知识(结合平移)。
4.应用“点到直线的距离,垂线段最短。
”性质。
5.定圆中的所有弦中,直径最长;和直线与圆相切的临界位置等等。
二、基础知识模型
(一)“将军饮马”问题
1.如图1,将军骑马从A动身,先到河边a喝水,再回驻地B,问将军如何走路程最短?
2.如图,一名将军骑马从驻地M动身,先牵马去草地OA吃草,再牵马去河边OB喝水,最后回到驻地M,问:
这位将军如何走路程最短?
图1图2
3.如图,A为马厩,B为帐篷,将军某一天要从马厩牵马,先到草地一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮忙确信这一天的最短线路。
(二)“造桥选址”问题(选自人教版七年级下册)
1.如图1,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?
(假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直)
练习:
1.如图,在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,
连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).
1题图2题图
2.已知点A是半圆上的一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是半径ON上的动点,
若⊙O的半径长为1,则AP+BP的最小值为__________.
3.如图3,已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),请在x轴上找到一点P,使PA+PB最小,并求出现在P点的坐标和PA+PB的最小值。
变式1:
如图,已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),点C的坐标为(-2,0).把点A和点B向左平移
m个单位,取得点和点,使最短,求m的值.
变式2:
如图,已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),点C的坐标为(-2,0),点D的坐标为(-4,0).
把点A和点B向左或向右平移m个单位,取得点和点,使四边形CD的周长最短,求m的值.
1.
中考真题练习
2.如图
(1),抛物线和y轴的交点为A,M为OA的中点,如有一动点P,自M点处动身,沿直线运动到x轴上的某点(设为点E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F),最后又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐标,并求出那个最短路程的长。
3.
4.(广州201424题)已知平面直角坐标系中两定点A(﹣1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)过点A,B,极点为C,点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和极点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;
(3)若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位,点C、P平移后对应的点别离记为C′、P′,是不是存在t,使得首位依次连接A、B、P′、C′所组成的多边形的周长最短?
若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
(三)垂线段最短问题
1.如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为()
A.(0,0)B.(,)C.(,)D.(,)
变式
1.已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),在y轴上找一点M,使点M到点C(-2,0)的距离和到直线AB的距离之和最小,请求出最小值。
2.已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2)已知点的坐标为(2,0),在y轴上找一点N,使点N到点的距离和到直线AB的距离之和最小,请求出最小值.
中考真题训练
1.如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上,点C坐标为(-2,0).
(1) 求a的值;
(2) 在x轴上找一点Q,使得△QAB的周长最小,求出点Q的坐标;
(3)已知点D的坐标为(2,0),在y轴上找一点Q,使点Q到点D的距离和到直线AB的距离之和最小,请求出最小值.
2.关于平面直角坐标系x0y中的点平P(a,b),点的坐标为(其中k为常数,且k≠0),则称点为点P的“k属派生点”.
例如:
P(1,4)的“2属派生点”为(1+,2×1+4),即(3,6).
(1)①点P(-1,-2)的“2属派生点”的坐标为____________;
②若点P的“k属派生点”的坐标为(3,3),请写出一个符合条件的点P的坐标____________;
(2)若点P在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为点,且△OP为等腰直角三角形,则k的值为________;
(3)如图,点Q的坐标为(0,),点A在函数的图象上,且点A是点B的“属派生点”,当线段BQ最短时,求B点坐标.
(四)“三角形两边之差小于第三边”(线段差最大问题)
1.已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),
(1)如图
(1)请在x轴上找到一点P,使最大,并求出现在P点的坐标。
(2)如图
(2)请在y轴上找到一点P,使最大,并求出现在P点的坐标。
中考真题练习
1.(2014年广东深圳)如图,在平面直角坐标系中,⊙M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3),点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.
(1)求⊙M的半径;
(2)证明:
BD为⊙M的切线;
(3)在直线MC上找一点P,使|DP﹣AP|最大.
(五)与圆有关的最值问题
(1)利用“相切”解决最值问题
(2)利用“直径是最长的弦”求最值
(3)利用“对角互补存隐圆”、“定弦定角存隐圆”、“定点定长存隐圆”求最值
1.(2013•枣庄)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )
A.90°B.60°C.45°D.30°
1题图2题图3题图
2.(2016广州天河一模)如图,AB为⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M,N别离是AB,BC的中点,则线段MN长的最大值是.
3.(2014•武汉模拟)如图,P为⊙O内的一个定点,A为⊙O上的一个动点,射线AP、AO别离与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径长为3,OP=,则弦BC的最大值为( )
A.2B.3C.D.3
4.(2014春•兴化市月考)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C为第一象限内一点,且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的取值范围是( )
A.m≥0B.C.D.
4题图5题图6题图
5.(2015花都一模)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,知足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .
6.(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于
B、C两点,则弦BC的长的最小值为 .
7.(2015•泰兴市二模)如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,PM=l,则l的最大值是 .
7题图8题图9题图
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动进程中,线段CM长度的取值范围是.
9.正方形ABCD中,BC=4,E,F别离为射线BC,CD上两个动点,且知足BE=CF,设AE,BF交于G,则DG的最小值为.
10.如图,边长为3的等边△ABC,D、E别离为边BC、AC上的点,且BD=CE,AD、BE交于P点,则CP的最小值为.
10题图
11.(2015•安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
12.(2016合肥模拟)如图,直角△ABC内接于⊙O,∠C=90°,点P在弧AB上移动,P,C别离位于AB的异侧(P不与A,B重合),△PCD也为直角三角形,∠PCD=90°,且直角△PCD的斜边PD也通过点B,BA,PC相交于点E.
(1)当BA平分∠PBC时,求的值;
(2)已知:
AC=1,BC=2,求△PCD面积的最大值。
13.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F别离为OA,OB的中点.
若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE’D’F’,若直线AE’与直线BF’相交于点P.
(1)求∠PAO的最大值;
(2)点P运动的路径长.
巩固练习
1.如图1,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,现在,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面抵达P处捕捉老鼠,则小猫所通过的最短路程是 m.(结果不取近似值)
1题图2题图3题图
2.如图2,有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AA1、BB1为相对的两条母线。
在AA1上有一个蜘蛛Q,QA=3cm;在BB1上有一只苍蝇P,PB1=2cm。
蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇,最短的路径是 cm.
(结果用带π和根号的式子表示)
3.(深圳福田模拟)如图,∠MON=20°,A为射线OM上一点,OA=4,D为射线ON上一点,OD=8,C为射线AM上任意一点,B是线段OD上任意一点,那么折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值是______.
4.(2010•苏州)如图,已知A、B两点的坐标别离为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心坐标为(﹣1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是( )
A.2B.1C.D.
4题图5题图6题图
5.(2014春•兴化市校级月考)如图所示,已知A(1,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是 .
6.(2013•武汉模拟)如图∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为( )
A.3B.6C.D.
7.(2015年武汉中考)如图,△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是.
8.(2013•日照)问题背景:
如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最
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