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离散数学作业

第一章命题逻辑的基本概念

一、单项选择题

1．下列语句中不是命题的有（）.

A9+5

12B.1+3=5C.我用的电脑CPU主频是1G吗D.我要努力学习。

2.下列语句是真命题为（）．

A.1+2=5当且仅当2是偶数　　B.　如果1+2=3，则2是奇数　

C.如果1+2=5，则2是奇数　D.你上网了吗

3.设命题公式

则使公式取真值为1的p，q，r赋值分别是（）

4.命题公式

为（）

（A）矛盾式（B）仅可满足式（C）重言式（D）合取范式

5.设p:

我将去市里,q：

我有时间．

命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为为（）

6．设P：

我听课,Q：

我看小说.“我不能一边听课，一边看小说”的符号为（）

A.

；B.

；C.

；D.

二、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化

（1）中国有四大发明。

（2）2是有理数。

（3）“请进！

”

（4）刘红和魏新是同学。

（5）a+b

（6）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。

（8）侈而惰者贫，而力而俭者富。

（韩非：

《韩非子显学》）

（9）火星上有生命。

（10）这朵玫瑰花多美丽啊！

二、将下列命题符号化，其中p:

2<1,q:

3<2

（1）只要2<1，就有3<2。

（2）如果2<1，则32。

（3）只有2<1，才有32。

（4）除非2<1，才有32。

（5）除非2<1，否则32。

（6）2<1仅当3<2。

三、将下列命题符号化

（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。

（2）王栋生于1992年或1993年。

四、设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨（q∧r）

（2）（p↔r）∧（﹁q∨s）

（3）（

p∧

q∧r）↔（p∧q∧﹁r）

（4）（

r∧s）→（p∧

q）

五、用真值表判断下列公式的类型：

（1）p∧（p→q）∧（p→

q）

（2）（p∧r）

（

p∧

q）

（2）（（p→q）∧（q→r））→（p→r）

第二章命题逻辑等值演算

一、填空

（1）给定两个命题公式A，B，若，则称A和B时等值的，记作AB．

（2）德摩根律为：

。

（3）蕴涵等值式为。

（4）由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程称为。

二、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.

（1）

（p∧q→q）

（2）（p→（p∨q））∨（p→r）

（3）（p∨q）→（p∧r）

三、用等值演算法证明下面等值式

（1）（p→q）∧（p→r）

（p→（q∧r））

（2）（p∧

q）∨（

p∧q）

（p∨q）∧

（p∧q）

三、用等值演算求下列公式的析取范式与合取范式。

（1）（

p→q）→（

q∨p）

（2）

（p→q）∧q∧r

（3）（p∨（q∧r））→（p∨q∨r）

第三章命题逻辑的推理理论

一、填空

1.数理逻辑的的主要任务是。

推理是指，前提是，结论是。

2.推理正确是指：

3.命题公式A1，A,2，，A,k推B的推理正确当且仅当

二、先把下列命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构，然后用真值表法、等值演算法证明下列推理是正确的。

若今天是星期一，则明天是星期三。

明天不是星期三，所以今天不是星期一。

三、自然推理系统下用直接法或用附加前提法或用归谬法构造推理证明

（1）前提：

p

q,

（q

r）,r

结论：

p

（2）前提：

q

p,q

s,s

t,t

r

结论：

p

q

（3）前提：

p

（q

r）,s

p,q（4）前提：

p

q,

r

q,r

s

结论：

s

r结论：

p

四、在自然推理系统下构造下列推理的证明

1.如果我学习，那么我数学不会不及格。

如果不热衷于玩游戏，那么我将学习。

但我数学不及格。

因此我热衷于玩游戏。

2.只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。

A曾到过受害者房间。

如果A在11点以前离开，看门人就会看见他。

看门人没看见他。

所以A是谋杀嫌犯。

第四章第五章

一、1.设个体域D是正整数集合，确定下列命题为真的是（）

A．xy（xy=y）　　　　B.xy（x+y=y）　

C.xy（x+y=x）　　　D.xy（y=2x）　　

2.设谓词P（x）：

x是奇数，Q（x）：

x是偶数，谓词公式x（P（x）Q（x））在哪个个体域中为真（）

A.自然数　　B.实数　　C.复数　　D.

（1）--（3）均成立

3.令R（x）:

x是实数，Q（x）:

x是有理数。

则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为

二、在一阶逻辑中将下列命题符号化:

（1）没有不能表示成分数的有理数。

（2）在北京卖菜的人不全是外地人。

（3）乌鸦都是黑的。

（4）有的人天天锻炼身体。

三、设个体域D={a,b,c},消去下列各式的量词

（1）xy（F（x）∧G（y））

（2）xy（F（x）∨G（y））

（3）xF（x）→yG（y）

四、设个体域D={1,2,3,4}，F（x）:

x是2的倍数，G（x）:

x是奇数。

将命题x（F（x）→G（y））中的量词消去，并讨论命题的真值。

五、在自然推理系统用直接法或用附加前提法或用归谬法构造下列推理的证明

（1）前提：

x（F（x）→G（x））,xF（x）

结论：

xG（x）

（2）前提：

x（F（x）→G（x））

结论：

xF（x）→xG（x）

（3）前提：

x（F（x）∨G（x）），┐xG（x）

结论：

xF（x）

第六章集合论

一、单项选择题

1．若集合A={a，b}，B={a，b，{a，b}}，则（）．

A．AB，且ABB．AB，但AB

C．AB，但ABD．AB，且AB

2．若集合A＝{2，a，{a}，4}，则下列表述正确的是（）．

A．{a，{a}}AB．{a}A

C．{2}AD．

A

3．若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．

A．{a，{a}}AB．{2}A

C．{a}AD．A

4．若集合A={a，b，{1，2}}，B={1，2}，则（）．

A．BA，且BAB．BA，但BA

C．BA，但BAD．BA，且BA

5．设集合A={1,a}，则P（A）=（）．

A．{{1},{a}}B．{

{1},{a}}

C．{

{1},{a},{1,a}}D．{{1},{a},{1,a}}

6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．

A．1024B．10C．100D．1

二、1．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P（A）的元素个数为．

2．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是．

3.设A,B代表集合，命题AB的真值为．

4.设A,B为任意集合，命题AB的真值为．

5.设集合A={,{a}}，则A的幂集P（A）=

6.设集合A={{a,b},c},B={c,d},那么A－B＝

三、

（1）B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C是否成立并说明理由．

（2）B、C为任意的三个集合，如果A⊕B=A⊕C，判断结论B=C是否成立并说明理由．

四、1．设集合A＝{a,b,c}，B={b,d,e}，求

（1）BA；

（2）AB；（3）A－B；（4）BA．

2．设A={{a,b},1,2}，B={a,b,{1},1}，试计算

（1）（AB）

（2）（A∪B）（3）（A∪B）（A∩B）

五．证明集合等式：

AB=A∩~B

六、某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。

求不会打球的人数。

第七章二元关系

（1）

一、单项选择题

1．集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系R={|x+y=10且x,y

A}，则R的性质为（）．

A．自反的B．对称的

C．传递且对称的D．反自反且传递的

2．设集合A={1，2，3，4，5，6}上的二元关系R={

a,b

a,b

A,且a+b=8}，则R具有的性质为（）．

A．自反的B．对称的

C．对称和传递的　D．反自反和传递的

3．集合A＝{a,b,c}上二元关系R的关系矩阵MR＝

，R（），

（A）{,,,}（B）{,,,}

（C）{,,,}（D）{,,,}

4.设A={a，b，c}，R={，}，则R具有性质（）

（A）自反的（B）反自反的（C）反对称的（D）等价的

二、填空题

1．设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，

则R的有序对集合为　　　　　　　．

2．设集合A={0,1,2}，B={0,2,4},R是A到B的二元关系，

则R的关系矩阵MR＝

　　　　　　　　　　　　　　　　　．

3．设集合A={a,b,c}，A上的二元关系

R={,}，S={,,}

则（RS）－1=　　　　　　　　　　　．

4．设集合A=｛a,b,c｝，A上的二元关系R={,,,}，则二元关系R具有的性质是　　　　　　　　　．

三、设A={a，b}，构成集合ρ（A）×A。

四、

（1）列出集合A={2,3,4}上的恒等关系IA,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA.

（2）设A={a,b,c,d}，

，

为A上的关系，其中

=

求

。

五、设集合A＝{a,b,c,d}上的二元关系R的关系图

如图1所示．

（1）写出R的表达式；

（2）写出R的关系矩阵；

（3）求出R2．

六、设集合A={1，2，3，4}，R={|x,yA；|xy|=1或xy=0}，试

（1）写出R的集合表示；

（2）画出R的关系图；

（3）说明R满足自反性，不满足传递性．

第七章二元关系

（2）

一、选择题

1.设集合A={a,b}上的二元关系R={,}，则R（）．

A.是等价关系但不是偏序关系　　B　是偏序关系但不是等价关系

C.既是是等价关系又是偏序关系D.既不是等价关系又不是偏序关系

2.A={1、2、3}，则A上不同等价关系有（）

A.5C.15

3.设A为有限集，元素个数为n个，P（A）为A的幂集，则P（A）的元素个数及

的元素个数为（）

A．

　B．

及

　C．

及

　　D．以上全不对

4.设A是非空集合，则A上的空关系不具有（）

A．反自反性　　B．自反性C．对称性D．传递性

5．设

，R是A上相等关系“=”，由R产生等价类有（）

A．10个　B．50个　C．100个　D．1个

6.集合A的一个划分，确定A的元素间的关系为（）.

A．全序关系　　　B．等价关系　　C．偏序关系　　D．拟序关系

7．集合A={1，2，3}上的下列关系矩阵中符合等价关系条件的是（　　　）

A．

B．

C．

D．

8.给定A={1、2、3}上的关系R={<1,1>,<2,2>,<1,3>,<3,1>,<2,3>}则（）

AR是自反的且传递BR不反自反且不对称

CR是反对称且不对称DR不自反且传递

9.设A={

，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“

”哈斯图为（）

二、设A={1，2，3，4},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<2,3>,<3,2>}是A上的等价关系吗如果是,给出给出每个元素的等价类；如果不是,请说明理由。

三、设A={1，2，3，4}，S={{1}，{2，3}，{4}}为A的一个分划，求由S导出的等价关系.

四、设集合A={1，2，3，6，8，12，24，36}，R为A上整除关系，画出R的哈斯图，并指出B={2，6，8}的极大元，极小元、最大元，最小元、及上确界和下确界。

五、设A={1，2，3，4}，在A

A上定义二元关系R，

,

A

A，〈u,v>R

u+y=x+v.

（1）证明R是A

A上的等价关系.

（2）确定由R引起的对A

A的划分.

第八章函数

一、选择题

1．设A={a,b}，B={1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={,}，R2={,,}，R3={,}，则（）不是从A到B的函数．

A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R3

2.设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：

A→B，则不同的函数个数为（）

A．6C.9

3.下列函数中为双射的是（）.

A．

B．

C．

D．

4.设Z是整数集，E={…,-4,-2,0,2,4，…}，f：

Z→E，f（x）=2x，则f是（）

A．仅是满射B．仅是单射C．是双射D．无逆函数

二、判断下列函数中哪些是满射的哪些是单射的哪些是双射的

（1）f:

N

N,f（x）=x2+2

（2）f:

N

N,f（x）=（x）mod3,x除以3的余数

（3）f:

N

N,f（x）=

（4）f:

N

{0,1},f（x）=

（5）f:

N-{0}

R,f（x）=lgx

（6）f:

R

R,f（x）=x2-2x-15

三、设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判断以下命题的真假:

（1）f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数;

（2）f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的;

（3）f是从X到Y的满射,但不是单射;

（4）f是从X到Y的双射.

四、设A={1,2}，B={a,b,c},写出所有A到B的函数，并说明所具有的性质。

五、已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少A到B的函数数是多少

六、设N是自然数集合，定义N上的二元关系R：

R={（x,y）:

xN,yN,x+y是偶数}

（1）证明R是等价关系。

（2）求关系R的等价类。

第十四、十五章

一、单项选择题

1．一个无向图有4个结点，其中3个的度数为2，3，3，则第4个结点的度数不可能是（）

B.1C.2D.4

2．无向完全图

有 （   ）条边

A.n          B.n2   C.  n（n-1）      D.n（n-1）/2

3．整数列（1，3，3，5，4）（）

A．可以简单图化B.不可图化C.可图化，不可简单图化

4．若答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（）.

A.（1,2,2,3,4,5）B.（1,2,3,4,5,5）C.（1,1,1,2,3）D.（2,3,3,4,5,6）.

5．设简单图G所有结点的度之和为12，则G一定有（）.

A．3条边B．4条边C．5条边D．6条边

6．设无向图中有6条边，有一个3度顶点和一个5度顶点，其余顶点度为2，则该图的顶点数是（　　　）

A．3B．4C．5D．6

7．下列各图中既是欧拉图，又是汉密尔顿图的是（　　　）

A．B．C．D．

8.设G为完全二部图K2,3，下面命题中为真的是（）

为欧拉图为哈密尔顿图　为平面图为正则图

二、填空

1．简单无向图有21条边,3个4度结点,其余均为3度结点,则G有___个结点.

2．无向图G=,V={a,b,c,d},E={（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,c）},则它的邻接矩阵为，该图的补图有条边。

3.设K6是有6个点的完全图，则K6共有____________条边。

4..已知n阶无向简单图G有m条边，则G的补图G有__________条边。

5.若一条路中，所有边均不相同，则此路称作____________；若一条路中所有的结点均不相同，则称此路为____________。

6．设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有个顶点。

7．任一有向图中，度数为奇数的结点有（　　　）个。

8.无向连通图G含有欧拉回路的充分必要条件是

9.已知n阶无向图G中有m条边，各顶点的度数均为3。

又已知2n-3=m，则m=.

三、

（1）已知无向图G有12条边，1度顶点有2个，2度、3度、5度顶点各1个，其余顶点度数均为4，求4度顶点的个数。

（2）假设在图G（有向图或无向图）中，有10条边，4个3度的结点，其余结点的度数不大于2。

问G中至少有几个结点

四、判断下图是否欧拉图，若是，找出一个欧拉回路。

五．设简单无向图G有n个结点,n+1条边，证明G中至少有一上结点的度≥3。

六、画出彼德森图，K5，K3,3，并判断他们是否是欧拉图，是否是哈密顿图。

第十六、十七章

一、选择题

1．设G是有6个结点的无向完全图，从G中删去（）条边，则得到树．

（A）6（B）9（C）10（D）15

2．设G是连通平面图，G中有6个顶点8条边，则G的面的数目是（    ）

A．2B．3C．4D．5

3.下列编码是前缀码的是（   ）.

A.{1,11,101} B.{1,001,0011}C. {1,01,001,000}  D.{0,00,000}

4.下图所示的二叉树中序遍历的结果是（    ）

A．abcdeB．edcbaC．bdecaD．badce

5.若连通图G=,其中

=n，

=m则要删去G中（）条边,才能确定G的一棵生成树.

A.A.n－m－1B.n－m+1C.m－n+1D.m－n－1.

6.关于含有n片树叶的最优二叉树描述,不正确的是（）.

　A.含有n片树叶的最优二叉树每个分支点都有两个孩子；

B.含有n片树叶的最优二叉树分支点的个数是n-1；

C.　W（T）等于个分支点的权重（构造最优二叉树时产生）之和；

D.在权重一定的前提下，含有n片树叶的最优二叉树是惟一的。

7.若一棵完全二叉树有2n-1个顶点，则它（）片树叶。

A．n　　B.2n　D.2

二、1.一棵二叉树先序遍历得ABDECF，中序遍历得DBEACF,则后序遍历的结果是________________。

2.在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有个4度结点。

3.最优二叉树有n片树叶，则它有分支点。

4.设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在片树叶。

三、1.

（1）在一棵有2个2度顶点，4个3度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中应该有几片树叶

（2）画出两棵非同构的满足上述条件的无向树　。

2.画一棵带权为2，2，2，3，3，4，5，8的最优二叉树T，并计算它的权W（T）。

3.求下2图的最小生成树。

4.已知连通的平面图G的阶数n=6，边数m=8，面数r=4。

求G的对偶图G*的阶数n*，边数m*，面数r*。

四、证明若图G是自对偶的，则m=2n－2。

其中n为G的结点数，m为G的边数。