高三第一轮复习集合与常用逻辑用语练习题含答案.docx
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高三第一轮复习集合与常用逻辑用语练习题含答案
第一章集合与常用逻辑用语
第1讲集合的概念和运算
一、选择题
1.已知集合A={y|x2+y2=1}和集合B={y|y=x2},则A∩B等于( )
A.(0,1)B.[0,1]
C.(0,+∞)D.{(0,1),(1,0)}
解析∵A={y|x2+y2=1},∴A={y|-1≤y≤1}.
又∵B={y|y=x2},∴B={y|y≥0}.A∩B={y|0≤y≤1}.
答案B
2.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩∁UN={2,4},则N=( )
A.{1,2,3} B.{1,3,5}
C.{1,4,5}D.{2,3,4}
解析由M∩∁UN={2,4}可得集合N中不含有元素2,4,集合M中含有元素2,4,故N={1,3,5}.
答案B
3.设集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则∁UM=( ).
A.{1,4}B.{1,5}C.{2,3}D.{3,4}
解析 U={1,2,3,4},M={x|x2-5x+6=0}={2,3},
∴∁UM={1,4}.
答案 A
4.若A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数是( ).
A.2B.3C.4D.5
解析 B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n}={6,8,12}.
答案 B
5.设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析 若N⊆M,则需满足a2=1或a2=2,解得a=±1或a=±
.故“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件.
答案 A
6.设集合A=
,B={y|y=x2},则A∩B=( ).
A.[-2,2]B.[0,2]
C.[0,+∞)D.{(-1,1),(1,1)}
解析 A={x|-2≤x≤2},B={y|y≥0},∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0,2].
答案 B
二、填空题
7.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________.
解析 ∵3∈B,又a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=1.
答案 1
8.已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为________.
解析 若a=4,则a2=16∉(A∪B),所以a=4不符合要求,若a2=4,则a=±2,又-2∉(A∪B),∴a=2.
答案 2
9.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:
①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是________.
解析 ①中,-4+(-2)=-6∉A,所以不正确.
②中设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确.③令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},3∈A1,2∈A2,但是,3+2∉A1∪A2,则A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.
答案 ②
10.已知集合A=
,B={x|x2-2x-m<0},若A∩B={x|-1 解析 由 ≥1,得 ≤0, ∴-1 又∵B={x|x2-2x-m<0},A∩B={x|-1 ∴有42-2×4-m=0,解得m=8. 此时B={x|-2 答案 8 三、解答题 11.若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,求实数a,b. 解 ∵A=B,∴B={x|x2+ax+b=0}={-1,3}. ∴ ∴a=-2,b=-3. 12.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. 解 (1)∵9∈(A∩B),∴9∈A且9∈B, ∴2a-1=9或a2=9,∴a=5或a=-3或a=3, 经检验a=5或a=-3符合题意.∴a=5或a=-3. (2)∵{9}=A∩B,∴9∈A且9∈B, 由 (1)知a=5或a=-3. 当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, 此时A∩B={9}, 当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}, 此时A∩B={-4,9},不合题意.∴a=-3. 13.设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}. (1)若a= ,试判定集合A与B的关系; (2)若B⊆A,求实数a组成的集合C. 解 由x2-8x+15=0,得x=3或x=5.∴A={3,5}. (1)当a= 时,由 x-1=0,得x=5. ∴B={5},∴BA. (2)∵A={3,5}且B⊆A, ∴若B=∅,则方程ax-1=0无解,有a=0. 若B≠∅,则a≠0,由方程ax-1=0,得x= , ∴ =3或 =5,即a= 或a= , ∴C= . 14.设集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若A∩B={9},求A∪B. 解 由9∈A,可得x2=9或2x-1=9, 解得x=±3或x=5. 当x=3时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素重复,故舍去; 当x=-3时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,故A∪B={-7,-4,-8,4,9}; 当x=5时,A={25,9,-4},B={0,-4,9}, 此时A∩B={-4,9}与A∩B={9}矛盾,故舍去. 综上所述,A∪B={-8,-4,4,-7,9}. 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 一、选择题 1.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析若a=1,则有|a|=1是真命题,即a=1⇒|a|=1,由|a|=1可得a=±1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即|a|=1⇒a=1不成立,所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件. 答案A 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析原命题的逆命题是: 若一个数的平方是正数,则它是负数. 答案B 3.已知集合A={x∈R| <2x<8},B={x∈R|-1 A.m≥2B.m≤2 C.m>2D.-2 解析A={x∈R| <2x<8}={x|-1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A ∴AB ∴m+1>3,即m>2. 答案C 4.命题: “若x2<1,则-1 A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1 B.若-1 C.若x>1或x<-1,则x2>1 D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 解析x2<1的否定为: x2≥1;-1 若x≥1或x≤-1,则x2≥1. 答案D 5.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( ). A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 解析 否命题既否定题设又否定结论,故选B. 答案 B 6.方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( ). A.0 C.a≤1D.0 解析 法一 (直接法)当a=0时,x=- 符合题意. 当a≠0时,若方程两根一正一负(没有零根), 则 ⇔ ⇔a<0; 若方程两根均负,则 ⇔ ⇔0 综上所述,所求充要条件是a≤1. 法二 (排除法)当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B,所以选C. 答案 C 二、填空题 7.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题 p1: |a+b|>1⇔θ∈ p2: |a+b|>1⇔θ∈ p3: |a-b|>1⇔θ∈ p4: |a-b|>1⇔θ∈ 其中真命题的个数是____________. 解析 由|a+b|>1可得a2+2a·b+b2>1,因为|a|=1,|b|=1,所以a·b>- ,故θ∈ .当θ∈ 时,a·b>- ,|a+b|2=a2+2a·b+b2>1,即|a+b|>1,故p1正确.由|a-b|>1可得a2-2a·b+b2>1,因为|a|=1,|b|=1,所以a·b< ,故θ∈ ,反之也成立,p4正确. 答案 2 8.若“x2>1”是“x 解析由x2>1,得x<-1或x>1,又“x2>1”是“x1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1. 答案-1 9.已知集合A= ,B={x|-1 解析 A= ={x|-1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,∴AB, ∴m+1>3,即m>2. 答案 (2,+∞) 10.“m< ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件. 解析 x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,即m≤ . 答案 充分不必要 三、解答题 11.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 解 (1)逆命题: 已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题. (2)否命题: 已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2<4b,为真命题. (3)逆否命题: 已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,为真命题. 12.求方程ax2+2x+1=0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件. 解方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时,x=- 适合条件. 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根, 则Δ=4-4a≥0,∴a≤1, 当a=1时,方程有一负根x=-1. 当a<1时,若方程有且仅有一负根,则x1x2= <0, ∴a<0. 综上,方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a=1. 13.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)若ab=0,则a=0或b=0; (2)若x2+y2=0,则x,y全为零. 解 (1)逆命题: 若a=0或b=0,则ab=0,真命题. 否命题: 若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题. 逆否命题: 若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题. (2)逆命题: 若x,y全为零,则x2+y2=0,真命题. 否命题: 若x2+y2≠0,则x,y不全为零,真命题. 逆否命题: 若x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题. 14.已知p: x2-8x-20≤0,q: x2-2x+1-a2≤0(a>0).若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解 p: x2-8x-20≤0⇔-2≤x≤10, q: x2-2x+1-a2≤0⇔1-a≤x≤1+a. ∵p⇒q,q⇒/p, ∴{x|-2≤x≤10}{x|1-a≤x≤1+a}. 故有 且两个等号不同时成立,解得a≥9. 因此,所求实数a的取值范围是[9,+∞). 15.已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}. (1)求M∩P={x|5 (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5 解 (1)由M∩P={x|5 (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、选择题 1.已知命题p: 存在n∈N,2n>1000,则非p为( ) A.任意n∈N,2n≤1000B.任意n∈N,2n>1000 C.存在n∈N,2n≤1000D.存在n∈N,2n<1000 解析特称命题的否定是全称命题,即p: 存在x∈M,p(x),则非p: 任意x∈M,非p(x). 答案A 2.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是( ). A.0<a≤1B.a<1 C.a≤1D.0<a≤1或a<0 解析 (筛选法)当a=0时,原方程有一个负的实根,可以排除A、D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B,故选C. 答案 C 3.下列命题中的真命题是( ). A.∃x∈R,使得sinx+cosx= B.∀x∈(0,+∞),ex>x+1 C.∃x∈(-∞,0),2x<3x D.∀x∈(0,π),sinx>cosx 解析 因为sinx+cosx= sin ≤ < ,故A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;因为x∈ 时有sinx 答案 B 4.已知命题p: ∃a0∈R,曲线x2+ =1为双曲线;命题q: x2-7x+12<0的解集是{x|3<x<4}.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题.其中正确的是________. A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④ 解析 因为命题p和命题q都是真命题,所以命题“p∧q”是真命题,命题“p∧綈q”是假命题,命题“綈p∨q”是真命题,命题“綈p∨綈q”是假命题. 答案 D 5.已知命题p: ∃x0∈R,mx +1≤0,命题q: ∀x∈R,x2+mx+1>0.若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( ) A.m≥2 B.m≤-2 C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2 解析若p∨q为假命题,则p、q均为假命题,即綈p: ∀x∈R,mx2+1>0与綈q: ∃x0∈R,x +mx0+1≤0均为真命题.根据綈p: ∀x∈R,mx2+1>0为真命题可得m≥0,根据綈q: ∃x0∈R,x +mx0+1≤0为真命题可 得Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上,m≥2. 答案A 6.以下有关命题的说法错误的是( ) A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0” B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若p∧q为假命题,则p、q均为假命题 D.对于命题p: ∃x∈R,使得x2+x+1<0,则綈p: ∀x∈R,均有x2+x+1≥0 解析A、B、D正确;当p∧q为假命题时,p、q中至少有一个为假命题,故C错误. 答案C 二、填空题 7.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0成立”的否定是________. 答案 对任意x∈R,都有x2+2x+5≠0 8.存在实数x,使得x2-4bx+3b<0成立,则b的取值范围是________. 解析 要使x2-4bx+3b<0成立,只要方程x2-4bx+3b=0有两个不相等的实根,即判别式Δ=16b2-12b>0,解得b<0或b> . 答案 (-∞,0)∪ 9.若“∀x∈R,(a-2)x+1>0”是真命题,则实数a的取值集合是________. 解析“∀x∈R,(a-2)x+1>0”是真命题,等价于(a-2)x+1>0的解集为R,所以a-2=0,所以a=2. 答案{2} 10.已知命题p: “∃x∈R且x>0,x> ”,命题p的否定为命题q,则q是“____________”;q的真假为________.(选填“真”或“假”) 答案∀x∈R+,x≤ 假 11.命题“∃x0∈R,2x -3ax0+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为________. 解析题目中的命题为假命题, 则它的否定“∀x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题, 也就是常见的“恒成立”问题, 只需Δ=9a2-4×2×9≤0,[来源: 中_教_网z_z_s_tep] 即可解得- 2 ≤a≤2 . 答案[-2 ,2 ] 12.令p(x): ax2+2x+a>0,若对任意x∈R,p(x)是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析 ∵对任意x∈R,p(x)是真命题. ∴对任意x∈R,ax2+2x+a>0恒成立, 当a=0时,不等式为2x>0不恒成立, 当a≠0时,若不等式恒成立, 则 ∴a>1. 答案 a>1 13.若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析 当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,由题意知 得-8≤a<0.综上,-8≤a≤0. 答案 [-8,0] 三、解答题 14.写出下列命题的 否定,并判断真假. (1)q: x∈R,x不是5x-12=0的根; (2)r: 有些素数是奇数; (3)s: x0∈R,|x0|>0. 解 (1) q: x0∈R,x0是5x-12=0的根,真命题. (2) r: 每一个素数都不是奇数,假命题. (3) s: x∈R,|x|≤0,假命题. 15.已知c>0,设命题p: 函数y=cx为减函数.命题q: 当x∈ 时,函数f(x)=x+ > 恒成立.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求c的取值范围. 解 由命题p为真知,0 由命题q为真知,2≤x+ ≤ , 要使此式恒成立,需 <2,即c> , 若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则p、q中必有一真一假, 当p真q假时,c的取值范围是0 ; 当p假q真时,c的取值范围是c≥1. 综上可知,c的取值范围是 . 16.已知命题p: 方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q: 方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数m的取值范围. 解 若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,则 解得m>2,即命题p: m>2. 若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根, 则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 解得1<m<3,即q: 1<m<3. 因“p∨q”为真,所以p,q至少有一个为真, 又“p∧q”为假,所以命题p,q至少有一个为假, 因此,命题p,q应一真一假,即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真. ∴ 或 解得: m≥3或1<m≤2, 即实数m的取值范围为[3,+∞)∪(1,2].
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