信息经济学部分习题解答概要 (1).ppt
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信息经济学部分习题解答概要 (1).ppt
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博弈论与信息经济学GameTheoryandEconomicsofInformation练习Exercise,1完全信息静态博弈,2.在下表所示的战略式表述中,找出重复剔除的占优均衡。
4.一群赌徒围成一圈赌博,每个人将自己的钱放在身边的地上(每个人都知道自己有多少钱),突然一阵风吹来将所有的钱混在一起,使得他们无法分辨哪些钱属于自己的,他们为此而发生争执,最后请来一位律师。
律师宣布了这样的规则:
每一个人将自己的钱数写在纸条上,然后将纸条交给律师;如果所有人要求的加总不大于钱的总数,每个人得到自己要求的部分(如果有剩余的话,剩余的归律师);如果所有人要求的加总大于钱的总数,所有的钱都归律师所有。
写出这个博弈中每个参与人的战略空间和支付函数,并给出纳什均衡。
解:
设金钱总数为M。
对赌徒i,战略空间Si=0,M,siSi,支付函数ui为所有满足isiM的选择都是纳什均衡。
纳什均衡有无穷多个。
5.(库诺特博弈)假定有n个库诺特寡头企业,每个企业具有相同的不变单位成本c,市场逆需求函数是p=a-Q,其中p是市场价格,Q=jqj是总供给量,a是大于零的常数。
企业i的战略是选择产量qi最大化利润i=qi(a-Q-c),给定其他企业的产量q-i,求库诺特-纳什均衡。
解:
根据问题的假设可知各企业的利润函数为其中i=1,n。
将利润函数对qi求导并令其为0得:
解得各企业对其他企业产量的反应函数为:
根据n个企业之间的对称性,可知必然成立。
代入上述反应函数可解得:
因此该博弈的纳什均衡是所有n个企业都生产产量。
6.(伯川德博弈)假定两个寡头企业之间进行价格竞争(而不是产量竞争),两个企业生产的产品是完全替代的,并且单位生产成本相同且不变,企业1的价格为p1,企业2的价格为p2。
如果p1p2,企业1的需求函数为0,企业2的需求函数为q2=a-p2;如果p1=p2=p,市场需求在两个企业之间平分,即qi=(a-p)/2,什么是纳什均衡价格?
解:
假设单位成本为c。
企业i的需求函数为从上述需求函数可以看出,企业i绝不会将其价格定的高于企业j。
由于对称性,可知博弈的均衡结果必然是两企业的价格相同,即p1=p2。
如果pic,企业i的利润i=qi(pi-c)=(pi-c)(a-pi)/20。
因此,只要企业i将其价格略微降低一点点(0),则可获得整个市场的需求,利润为(pi-c)(a-pi)(pi-c)(a-pi)/2。
另一企业也会采取相同的战略,直到其利润为0。
此时均衡的结果为p1=p2=c。
7.(产品有差异时的价格竞争)现在假定两个企业的成本并不完全相同,企业1的需求函数为q1(p1,p2)=a-p1+p2,业2的需求函数是q2(p1,p2)=a-p2+p1。
求两个企业同时选择价格时的纳什均衡。
解:
两企业的利润函数分别为求各自价格的一阶偏导数,令其等于0,得:
分别得到两个企业的反应函数:
求解方程得:
9.(投票博弈)假定有三个参与人(1,2,3)要在三个项目(A,B,C)中投票选择一个。
三个参与人同时投票,不允许弃权,因此,战略空间为Si=A,B,C。
得票最多的项目被选中,如果没有任何其他项目得到多数票,项目A被选中。
参与人的支付函数如下:
u1(A)=u2(B)=u3(C)=2u1(B)=u2(C)=u3(A)=1u1(C)=u2(A)=u3(B)=0找出这个博弈的所有的纳什均衡。
解:
所有战略组合的支付函数如下,纳什均衡为(A,A,A)、(A,B,A)、(B,B,B)、(A,C,C)、(C,C,C),10.模型化下述划拳博弈:
两个老朋友在一起划拳喝酒,每个人有四个纯战略:
杆子、老虎、鸡、虫子。
输赢规则是:
杆子降老虎、老虎降鸡、鸡降虫子、虫子降杆子。
两个人同时出令、如果一个打败另一个,赢着的效用为1,输者的效用为-1;否则,效用都为0。
写出这个博弈的支付矩阵。
这个博弈有纯战略纳什均衡吗?
计算出混合战略纳什均衡。
解:
补充1:
求出下图中的博弈的混合战略纳什均衡解:
设参与人1采用战略T的概率为p;参与人2采用战略L的概率为q。
分别计算两个参与人采用各自两个纯战略的期望效用,并令它们相等得:
2q=q+3(1-q)p+2(1-p)=2p求解得:
p=2/3,q=3/4,p,1-p,q,1-q,2完全信息动态博弈,1.参与人1(丈夫)和参与人2(妻子)必须独立地决定出门时是否带伞。
他们知道下雨和不下雨的可能性相同(即50:
50)。
支付函数如下:
如果只有一人带伞,下雨时带伞者的效用为-2.5,不带伞者(搭便车者)的效用为-3;不下雨时带伞者的效用为-1,不带伞者的效用为0;如果两人都带伞,下雨时每人的效用为-2,不下雨时每人的效用为1;如果两人都不带伞,下雨时每人的效用为-5,不下雨时每人的效用为1。
给出以下两种情况下的扩展式表述(博弈树)和战略式表述:
(1)两人出门前都不知道是否会下雨,并且两人同时决定是否带伞(即每一方在决策时都不知道对方的决策);
(2)两人出门前都不知道是否会下雨,但丈夫先决策,妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定自己是否带伞;(3)丈夫出门前知道是否会下雨,妻子不知道,但丈夫先决策,妻子后决策;(4)同(3),但妻子先决策,丈夫后决策。
解:
扩展式表述:
假设用N代表自然,H代表丈夫,W代表妻子。
(1),
(2),(3),(4),战略式表述:
(麻烦,自己写),3.下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈,其中p是企业1的价格,q是企业2的价格。
企业1的利润函数是:
1=-(p-aq+c)2+q企业2的利润函数是:
2=-(q-b)2+p求解:
(1)两个企业同时决策时的(纯战略)纳什均衡
(2)企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡(3)企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡(4)是否存在某些参数值(a,b,c),使得每一个企业都希望自己先决策?
解:
(1)根据两个企业的利润函数,得各自的反应函数为:
求解得纳什均衡:
(2)企业1先决策根据逆推归纳法,先求企业2的反应函数代入企业1的利润函数,得再求企业1的反应函数,得,(3)企业2先决策根据逆推归纳法,先求企业1的反应函数代入企业2的利润函数,得再求企业2的反应函数,得再代入企业1的反应函数,得,(4)因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策,因此得两个企业都希望先决策的条件为,4.考虑如下的双寡头市场的战略性投资模型:
企业1和企业2目前情况下的单位生产成本是c=2。
企业1可以引进一项新技术使单位生产成本降低到c=1,该项技术需要的投资为f。
企业2可以观察到企业1的投资决策。
在企业1做出是否投资的决策之后,两个企业同时选择产量(库诺特博弈)。
因此,这是个两阶段博弈。
假定需求函数为p(q)=14-q,其中p是市场价格,q是两个企业的总产量。
问题:
当f取什么值时,企业1将投资引进新技术?
解:
分企业1第一阶段未引进和引进投资两种情况,每种情况都用逆推归纳法进行分析。
假设企业1第一阶段未投资引进新技术。
此时两个企业的边际成本都为2,利润函数为:
一阶最优条件为求解可得,假设企业1第一阶段投资引进新技术。
此时两个企业的边际成本下降到1,利润函数为:
一阶最优条件为求解可得故当时,引进新技术,8.下表所示博弈重复两次,第二次开始之前第一次的行动能被双方观察到。
假定参与人对未来收入不贴现。
问题:
支付向量(4,4)能否作为子博弈精炼均衡结果在第一阶段出现(假定参与人只选择纯战略)?
如果能,请给出支持这一结果的战略;如果不能,解释为什么。
解:
上述静态博弈有两个纯战略纳什均衡(T,L)和(M,C)。
由于战略组合(B,R)实现的收益(4,4)对参与人2来说已经是最理想的,所以参与人2不会有偏离动机,只有参与人1有偏离动机,因此可以设计如下制约参与人1行为的触发战略:
参与人1:
第一阶段选B;第二阶段选T参与人2:
第一阶段选R;第二阶段,如果第一阶段的结果是(B,R),则选L,否则选C。
补充1:
三寡头垄断市场有倒转的需求函数为p(Q)=a-Q,其中Q=q1+q2+q3,qi是厂商i的产量。
每一个厂商生产的边际成本为常数c,没有固定成本。
如果厂商1先选择q1,厂商2和3观察到q1后同时选择q2和q3,问它们各自的产量是多少?
解:
用逆推归纳法先分析第二阶段厂商2和厂商3的静态博弈,再讨论第一阶段厂商1的选择。
三个厂商的利润函数为:
先分析第二阶段厂商2和3的决策。
最优一阶条件为:
联立解得厂商2和3对厂商1产量的反应函数为:
再分析第一阶段的决策。
将反应函数代入厂商1的利润函数得:
最优一阶条件,补充2:
某人正在打一场官司,不请律师肯定会输,请律师后的结果与律师的努力程度有关。
假设当律师努力工作努力工作(100小时)时有50%的概率能赢,律师不努力工作(10小时)则只有15%的概率能赢。
如果诉讼获胜可得到250万元赔偿,失败则没有赔偿。
因为委托方无法监督律师的工作,因此双方约定根据结果付费,赢官司律师可获赔偿金额的10%,失败则律师一分钱也得不到。
律师的效用函数为m-0.05e,其中m是报酬,e是努力小时数,且律师有机会成本5万元。
求这个博弈的均衡。
解:
输(0.85),赢(0.15),输(0.5),赢(0.5),3不完全信息静态博弈,2.考虑如下贝叶斯博弈:
(1)自然决定支付矩阵如表a或b,概率分别为和1-;
(2)参与人1知道自然选择了a还是b,但参与人2不知道;(3)参与人1和参与人2同时行动(参与人1选择T或B,参与人2选择L或R)。
给出这个博弈的扩展式表述(博弈树)并求纯战略贝叶斯纳什均衡。
表a,表b,解:
在这个静态贝叶斯博弈中,参与人1的战略是私人信息类型的函数:
当自然选择表a时选择T,当自然选择表b时选择B。
参与人2的战略则根据期望利润最大化决定。
参与人2选择L的期望收益为0.51+0.50=0.5,选择R的期望收益为0.50+0.52=1,因此参与人选择R。
3.在3.2节的第2部分中,假定参与人1的成本也有两种可能,分别以相同的概率取c1=3/4和c1=5/4,求贝叶斯均衡产量。
4.两个企业同时决定是否进入一个市场。
企业i的进入成本i0,)是私人信息,来自独立的分布函数P(i)(密度函数p(.)严格大于0)。
如果只有一个企业进入,进入企业i的利润函数为m-i;如果两个企业都进入,企业i的利润函数为d-i;如果没有企业进入,利润为0。
假定m和d是共同知识,且md0。
问题:
(1)指出这个博弈与3.2节第二部分的相同之处和不同之处;
(2)计算贝叶斯均衡并证明均衡是唯一的。
解:
根据问题的假设,该博弈的得益矩阵为:
假设企业1采用如下的临界值战略:
当1w时,采用“进入”战略;当1w时,采用“不进入”战略。
假设企业2采用如下的临界值战略:
当2t时,采用“进入”战略;当2t时,采用“不进入”战略。
因此企业1采用进入战略的概率是p(w),不进入的概率是1-p(w);因此企业2采用进入战略的概率是p(t),不进入的概率是1-p(t);从企业1的角度来看,选择进入和不进入的期望收益分别为:
p(t)(d-1)+1-p(t)(m-1)=p(t)(d-m)+m-1p(t)0+1-p(t)0=0当进入的期望收益大于不进入的期望收益时企业1会采用进入。
所以企业1的进入条件是:
p(t)(d-m)+m-10或1p(t)(d-m)+m这样就得到企业1进入的临界值:
w=p(t)(d-m)+m,从企业2的角度来看,选择进入和不进入的期望收益分别为:
p(w)(d-2)+1-p(w)(m-2)=p(w)(d-m)+m-2p(w)0+1-p(w)0=0当进入的期望收益大于不进入的期望收益时企业2会采用进入。
所以企业2的进入条件是:
p(w)(d-m)+m-20或2p(w)(d-m)+m这样就得到企业2进入的临界值:
t=p(w)(d-m)+m在已知分布函数为P(i)的情况下,可从联立方程求得t和w,以这两个临界值构造的临界值战略,就是该博弈的贝叶斯均衡。
补充1:
用柠檬原理和逆向选择的思想解释老年人投保困难的原因。
解:
“柠檬原理”是在信息不完美且消费者缺乏识别能力的市场中
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