行程问题综合.docx
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行程问题综合.docx
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行程问题综合
行程问题
1、行程问题三个基本量:
路程、时间、速度。
它们的基本关系如下:
路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度
2、在具体的相遇与追及问题中,关系式可描述为:
相遇的路程=速度和×相遇时间
追及的路程=速度差×追及时间
3、在流水问题中,顺水速度=船速+水流速度逆水速度=船速-水流速度
例1从A到B是1千米的下坡路,从B到C是3千米的平路,从C到D是2.5千米的上坡路,小张和小王步行,下坡路速度都是每小时6千米,平路速度都是每小时4千米,上坡路速度是每小时2千米。
小张和小王分别从A、D同时出发相向而行,经过多长时间相遇?
分析:
小张从A到B需要1÷6×60=10(分钟);小王从D到C也是下坡,需要2.5÷6×60=25(分钟);当小王到达C点时,小张已经在平路上走了25-10=15分(钟),走了4×15÷60=1(千米),因此在B与C之间平路上剩下3-1=2(千米),由小张和小王共同相向而行,直到相遇,所需的时间是2÷(4+4)×60=15(分钟)。
从出发到相遇时间是25+15=40(分钟)。
解:
1÷6×60=10(分钟)2.5÷6×60-10=15(分钟)
3-4×15÷60=2(千米)2÷(4+4)×60+25=40(分钟)
答:
经过40分钟两人相遇。
训练:
小轿车、面包车和大客车的速度分别是60千米/小时、48千米/小时和42千米/小时。
小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时出发相向而行,面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。
甲、乙两地相距多少千米?
例2一列快车从甲站到乙站要5小时,一列慢车从乙站到甲站要8小时,现快车出发2小时后慢车才出发,两车相遇点距甲、乙两站中点84千米,求甲、乙两站之间的距离。
分析:
此题可用转换法来解。
设甲、乙两站之间的距离为“1”,则快车的速度为1/5,慢车的速度为1/8,借助于相遇问题的关系式可得到两车相遇的时间(慢车行驶的时间)(1-1/5×2)÷(1/5+1/8)=24/13(小时)。
于是,慢车行驶的路程为1/8×24/13=3/13,由此可得84千米对应的分率为1/2-3/13=7/26(显然相遇点在中点偏乙站84千米)。
解84÷{1/2-1/8×[(1-1/5×2)÷(1/5+1/8)]}=312(千米)
答:
甲、乙两站之间相距312千米。
练习:
甲、乙两人同时从距离1000米的两地出发,相向而行,甲每分钟走120米,乙每分钟走80米,甲带着一只狗,狗每分钟走500米,这只狗与甲一道出发,碰到乙的时候,它又掉头往甲这边走,碰到甲的时候,又往乙这边走,直到两人相遇,这只狗走了多少米?
例3甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地。
乙比丙晚出发5分钟,出发后45分钟追上丙;甲比乙晚出发15分钟,出发后1小时追上丙。
甲出发几小时后追上乙?
分析:
本题只给出时间,而行程问题需要知道路程、速度与时间三个量中的两个量。
这里可设丙的速度为“1”。
则乙追丙的追及路程为1×5=5,甲追丙的追及路程为1×(5+15)=20.从而乙与丙的速度差为5÷45=1/9,甲与丙的速度差为20÷60=1/3,于是甲的速度为1+1/3,乙的速度为1+1/9,甲追乙的追及路程为(1+1/9)×15=50/3,这样一来,就可以得出答案了。
解:
设丙的速度为“1”,由解析可以得到:
50/3÷[(1+1/3)-(1+1/9)]=75(分钟)=1.25(小时)
答:
甲出发后1.25小时追上乙。
练习:
甲、乙二人由A地到B地,甲的速度是50米/分,乙的速度是45米/分,乙比甲早走4分钟,二人同时到达B地,A地到B地的距离是多少米?
例4一艘轮船顺流航行105千米,再逆流航行60千米,共用12小时;若顺流航行60千米,再逆流航行132千米,共用15小时。
如果先顺流航行120千米,再逆流航行120千米回到始点,共需多少时间?
分析:
这是流水问题,关键是求出船速与水速,或是求出顺水速度与逆水速度。
这里采用比较的方法,题设可化成等价的两个条件:
顺流航行35千米,逆流航行20千米用4小时;顺流航行20千米,逆流航行44千米用5小时。
比较可得,顺流航行35×5-20×4=95(千米)所用的时间等于逆流航行44×4-20×5=76(千米)所用的时间。
于是顺水速度:
逆水速度=95:
76=5:
4,由此可得,顺水速度=(35+20÷4×5)÷4=15(千米/时),逆水速度=(35÷5×4+20)÷4=12(千米/时)。
解:
由分析所得出的条件可知往返120千米所需时间为:
120÷15+120÷12=18(小时)
答:
共需18小时。
练习:
一只小船顺水每小时行7.8千米,逆水每小时行4.2千米,现有甲、乙两只同样的小船,同时同地反向而行,经过1小时同时返回出发点,那么,在1小时内,甲、乙两船同方向行驶多长时间?
例5一列火车车身长200米,用15秒开过每小时行4千米的同方向行走的步行人甲,而用12秒开过骑自行车的人乙,那么乙每小时行多少千米?
分析:
由于火车用15秒时间开过同向行走的步行人甲,用12秒时间开过骑自行车的人乙,所以乙的骑行方向与火车的前进方向相反,因为由常识知道,骑车的速度比步行的速度快。
因此,本题中给出火车尾与甲的追及问题以及火车尾与乙的相遇问题。
再利用追及与相遇问题的基本关系式不难解决。
解:
火车追甲的路程=火车车身长+甲在追及时间内走的路程,即200+4000×15/3600=650/3(米),那么火车的速度为:
650/3÷15=130/9(米/秒)。
火车尾与乙的相遇路程为200米,从而火车与乙的速度和为:
200÷12=50/3(米/秒),那么乙的速度为50/3-130/9=20/9(米/秒),而20/9(米/秒)=8(千米/时)
答乙每小时行8千米。
练习:
快慢两列火车的车身长分别是150米和200米,它们相向行驶在两条平行的轨道上。
若坐在慢车上的人看见快车驶过窗口的时间是6秒,则坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是多少秒?
能力加强
1、甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟55米、50米、60米,甲、乙从A地到B地,丙从B地到A地,三人同时出发,丙和甲相遇后6分钟又与乙相遇,A、B两地相距多少米?
2、小明和小风步行从学校到电影院,小明用15分钟,小风用12分钟。
已知学校和电影院相距900米,小明线除法2分钟后,小风去追小明,小风要走多少时间才能水上小明?
3、一个人沿着一条公路步行,每小时走5千米。
上、上午9时与一辆迎面而来的火车相遇,上午10时又与迎面而来的客车相遇,相遇后各自按自己的方向继续前进。
已知货车每小时行55千米,客车每小时行75千米,求客车追上货车时人车之间的距离。
4、一列货车每分钟行驶750米,一列客车每分钟行驶1000米,货车比客车的车身长135米,两车在平行的轨道上同向行驶,当客车从后面超过货车,它们交叉的时间是1分30秒,货车车身长多少米?
5、已知一艘轮船顺水行48千米需4小时,逆水行48千米需6小时。
现在轮船从上游A城驶往下游B城,已知两城的水路长72千米,开船时一旅客从窗口投出一块木板,船到B城时木板(在水中畅通)离B城还有多少千米?
6、甲、乙两列火车同时从A地向相反的方向B地和C地行驶。
已知A、B之间的路程是A、C之间路程的9/10.当甲车行驶60千米时,乙车行驶的路程与剩下路程的比是1:
3.这时两列火车离目的地的路程相等,A、C两地相距多少千米?
7、晚上8时刚过,小华开始做作业,一看钟表,时针与分针正好成一条直线,做完作业看钟表,还不到9时,且分针与时针恰好重合,小华做作业用了多长时间?
8甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍,且甲比乙快。
开始后1小时甲与乙在离山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲刚好下到半山腰,甲从出发到返回出发点共需多少小时?
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