图形能力提升.doc
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图形能力提升
讲义1.三角形的个数?
这样的图形怎样数三角形的个数?
如上右图:
在所有的4*4+3*3=25个交点中,每个三角形的直角顶点肯定在这25个点上,只要得到每个点作为直角三角形顶点的三角形有多少个就可以了,由于这个图具有对称性,所以不需要每个都去数。
然后把数出的相加:
4*12+5*4+8+9*4+3*4=124个三角形
讲义2.直角三角形的个数?
图中所有的点都可以分成如图中七个红点的七类点(以这个点为直角三角形顶点),以每个点为顶点的直角三角形的个数如图,除中间点有16个直角三角形外,其他每个点都有四个相同的点,所以共有(2+3+4+5+6+4)×4+16=112个直角三角形。
讲义3.如图,P是正方形ABCD外面一点,PB=12厘米,三角形APB的面积是90平方厘米,三角形CPB的面积是48平方厘米。
请问:
正方形ABCD的面积是多少平方厘米?
如图AE为PB边的高长度为90×2÷12=15厘米,FC也是PB边上的高,长度为
48×2÷12=8厘米。
旋转ABE构成弦图。
中间正方形面积为15-8=7,7×7=49,大正方形面积为49+15×8×2=289。
讲义4.,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,∠AEB=90°,AC、BD交于O。
已知AE、BE的长分别为3厘米、5厘米,求三角形OBE的面积。
解析:
如图:
在正方形内旋转ABE成弦图,则整个正方形面积为3×5×2+2×2=34。
阴影面积=(ABD-ABE-ADE)÷2(因为O点是BD的中点)。
而ADE=3/5ADF=3/5×3×5÷2=4.5,所以阴影=(34÷2-3×5÷2-4.5)÷2=2.5
讲义5.如图:
已知在梯形ABCD中,上底:
下底=2:
3,其中F是BC边上任意一点,三角形AME,三角形BMF,三角形NFC的面积分别是14,20,12。
求三角形NDE的面积。
解:
假设AB=2份,CD=3份,先求F比E到AB的高多多少。
ABF-ABE=BFM-AME=20-14=6。
所以F比E到AB的高多:
6×2÷2=6份。
由于AB到CD的距离相等,所以E比F到CD的高也多6份。
高多6份,面积就多6×3÷2=9,所以DEN面积是NFC+9=12+9=21。
讲义6.如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点,G是BF的中点,H是AG的中点,四边形HGFI比三角形EID大8,求正方形的面积?
把整个面积看作1,
1、因为AHB+HDC=1/2,ABH=3/32,所以DHC=13/32。
DHE=1/2AHD=1/4ADG。
ADG=1/2-BGC,BGC=1/2BFC,BFC=1/2-ADF=1/2-2EFD=1/4,所以ADG=1/2-1/8=3/8,DHE=1/4×3/8=3/32,所以HED:
HDC=3/32:
13/32=3:
13,即EI占EC的3/16,即IED=1/4×3/16=3/64。
2、HIGF=1-DIC-BFC-ABG-ADH=1-(1/4-3/64)-1/4-3/16-3/16=11/64。
3、大正方形面积8÷(11/64-3/64)=64
讲义7.如图,ABCD和CGEF是两个正方形,AG和CF相交于H,已知CH等于CF的三分之一,三角形CHG的面积等于6平方厘米,求五边形ABGEF的面积?
解析:
连接FG和AC,此两线平行,所以FGC=FAG,即HCG=AHF=6。
CH是CF的1/3,得出FCG=6×3=18,即大正方形面积=36,边长FC=6。
即FH=2/3×6=4,所以小正方形边长AD=6×2÷4=3厘米。
五边形ABGEF的面积=梯形ABCF+FCGE=(3+6)×3÷2+36=49.5平方厘米。
讲义8.正六边形的面积是2009平方厘米,中间分别是正六边形各边的中点,那么图中阴影部分的面积是多少?
思路:
空白部分是由六个类似A1OA2的三角形组成的,因此只要算出A1OA2的面积占整个六边形面积的几分之几问题就得到解决。
要求A1OA2的面积占整个六边形面积的几分之几,首先需算出它占三角形A1A2B6面积的几分之几,而要算出它占三角形A1A2B6面积的几分之几,只需要算出B6O与A2O的比,而要算出B6O与A2O的比只需要算出三角形A1B6B5与三角形A1A2B5的比。
A1B6B5占整个面积的1/24,A1A2B5占整个面积的1/2-1/6-1/12=1/4。
所以B6O:
OA2=A1B6B5:
A1A2B5=1/24:
1/4=1:
6,即A1OA2占整个面积的1/12×6/7=1/14,所以阴影占整个的1-6×1/14=4/7,阴影面积为2009×4/7=1148
讲义9.如图,面积为70的三角形ABC中,D,E,F,G,H,I分别是AB、BC、CA的三等分点。
(1)求阴影部分面积。
(2)求中心六边形面积。
思路:
先求出PSL的面积,然后加上三个类似于RSQ的三角形面积就是阴影面积,减去三个类似于RSQ的三角形面积就是里面的六边形面积。
1、先求PSL面积:
如图PLS面积为ABC-PBC-ALC-ASB。
连接GE,GEB:
GCB=1/3×1/3:
2/3=1:
6,即PE:
PC=1:
6,即PBC=6/7EBC=6/7×1/3=2/7,同理ALC=ASB=2/7,即PLS=1-2/7×3=1/7
2、再求SRQ面积。
SRQ=1-AQB-CSB-ARC。
连接GI得GIB:
ABG=2/3×1/3:
1/3=2:
3,即AQ=3/5AI,AQB=3/5×1/3=1/5。
连接GE得GDC:
CDB=1/3×2/3:
2/3=1:
3,即SB=3/4GB,CBS=3/4CBG=3/4×2/3=1/2
连接DI,同1得出ARC=2/7,所以SRQ面积=1-1/5-1/2-2/7=1/70
3、阴影面积=(1/7+1/70×3)×70=13
中心六边形面积=(1/7-1/70×3)×70=7
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