《合并同类项与移项》名师教案.docx
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《合并同类项与移项》名师教案
3.2解一元一次方程
(一)
――合并同类项和移项
第一课时(张永丽)
一、教学目标
(一)学习目标
1•会利用合并同类项解一元一次方程.
2•探究并掌握利用合并同类项解一元一次方程.
3•通过对实例的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用.
(二)学习重点
探究并掌握利用合并同类项解一元一次方程.
(三)学习难点
通过对实例的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用.
二、教学设计
(一)课前设计
1•预习任务
(1)解一元一次方程时,把含有未知数的项合并,把常数项也合并.
(2)解一元一次方程x・2x=251时,第一步:
合并同类项,得3x=11;第二步—系数化为1,得X』.
3
2.预习自测
(1)下列各组中,两项不能合并的是()
A.3b与-bB.-6y与3xC.-丄a与aD.-23与100
2
【知识点】同类项的概念.
【解题过程】解:
A.3b与-b所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的为同类项.所以可以合并;
B.-6y与3x所含字母不同,所以不是同类项,不能进行合并;
1
C.-丄a与a所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的为同类项.所以可以合并;
2
D.-23与100所有的常数项也叫同类项.所以可以合并;
因此选择B.
【思路点拨】所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项称为同类项,所有的常数项也叫同类项.
【答案】B.
(2)方程10x—2x=61两边合并后的结果是.
【知识点】合并同类项解一元一次方程.
【解题过程】解:
合并同类项,得:
8x=7;系数化为1,得:
x=~.
8
【思路点拨】解一元一次方程时,同类项有两类,即未知数的一次项和常数项,合并同类项是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近x二a的形式.
【答案】x=7.
8
(3)方程—x2x=210的解是()
2
A.x=20B.x=40C.x=60D.x=80
【考点】合并同类项解一元一次方程.
【解题过程】解:
合并同类项,得:
7x=210;
2
系数化为1,得:
x=60•所以选择C.
【思路点拨】解一元一次方程时,同类项有两类,即未知数的一次项和常数项,合并同类项是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近x二a的形式.
【答案】C.
(2)课堂设计
1.知识回顾
(1)同类项:
所含字母,并且的指数也分别相同的项叫做.
(2)合并同类项:
合并同类项时,只把相加减,字母与字母的指数•
2.问题探究
探究一
•舌动①回顾旧知,回忆同类项的概念
师问1:
同类项的判断依据是什么?
有哪几个方面?
学生举手抢答.
师问2.同类项与系数有关吗?
学生举手抢答.
师问3.同类项与它们所含字母的顺序有关吗?
学生举手抢答.
师冋4.你能准确判断下列各组中的两项是不是同类项?
(1)0.2x2y与2x2y;⑵4abc与4ac;(3)2m2n与2mn2;
(4)-125与12;(5)4xy与5yx.
学生举手抢答.
总结:
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.
【设计意图】有利于巩固知识,使学生牢固掌握同类项的知识,增强应用意识
•舌动②整合旧知,利用合并同类项法则进行简单的合并.
师问:
下列各题合并同类项的结果对不对?
若不对,请改正。
2242222
2x3x=5x3x2y=5xy7x-3x=49ab-9ba=0
(同类项,须判断,两相同,是条件;合并时,须计算,系数加,两不变.)
生答.
总结:
合并同类项时,只把系数相加减,字母与字母的指数不变.
【设计意图】回顾合并同类项的法则,为合并同类项解一元一次方程做好铺垫
探究二探究合并同类项解一元一次方程.▲
•舌动①探究新知识
问题1:
某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去
年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机?
师问1:
设前年购买计算机x台,去年购买数量是前年的2倍,那么去年购买的计算机有—台;
生答:
2x台.
师问2:
今年购买数量又是去年的2倍,那么今年购买的是前年的倍,用整式表示
为台;
生答:
4倍,4x台.
师问3:
问题中的等量关系是;
生答:
前年购买数量+去年购买数量+今年购买数量=140台.
师问:
④根据等量关系,列出方程:
.
生答:
x2x4x=140.
【设计意图】利用等量关系列方程解决问题,结合实际问题列出方程,探究解决这类方程.
•舌动②集思广益,寻找解一元一次方程的方法
列得方程:
x2x4x=140
师问:
如何解这个方程?
解方程的本质是什么?
生答:
7x=140,x=20
总结:
解一元一次方程时,同类项有两类,即未知数的一次项和常数项,合并同类项是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近x=a的形式.
【设计意图】结合生活中的实际问题引出用合并同类项解一元一次方程
探究三利用合并同类项解一元一次方程•★▲
•舌动①利用合并同类项解一元一次方程
师问:
用合并同类项解一元一次方程的基本步骤是什么?
学生举手抢答.
总结:
用合并同类项解一元一次方程的基本步骤是:
①合并同类项;②系数化为1.例1•解下列方程:
5
(1)2xx=6_8;
(2)7x-2.5x3x-1.5x--154-63.
2
【知识点】利用合并同类项解一元一次方程.
【解题过程】解:
(1)合并同类项,得:
-丄x=-2.
2
系数化为1,得:
x=4.
(2)合并同类项,得:
6^-78
系数化为1,得:
-13.
【思路点拨】利用合并同类项和系数化为1,将方程化为x二a的形式.
【答案】
(1)x=4;
(2)x=-13.
练习:
解下列方程:
11xx
(1);y-3-5y;
(2)5.
2423
【知识点】利用合并同类项解一元一次方程.
【解题过程】解:
913
(1)合并同类项,得-9厂一,
24
根据等式性质,得
13y.
18
⑵合并同类项,得;=5;
系数化为1,得x=30.
【思路点拨】利用合并同类项和系数化为1,将方程化为x二a的形式.
【答案】
(1)y=-13.
(2)^30.
18
•舌动2利用方程解决实际问题
例2.中草药是我国医学界在药物方面的重大成就•某种中草药含有甲、乙、丙、丁四种草药
成分,这种成分的质量之比是0.7:
1:
2:
4.7,现要配制这种中草药2100克,四种草药分别需要多少克?
【知识点】实际问题与一元一次方程,利用合并同类项解一元一次方程.
【解题过程】解:
设甲种草药0.7x克,则乙种草药为x克,丙种草药为2x克,丁种草药为4.7x
克,由题可得:
0.7x•x•2x・4.7x=2100
合并同类项,得:
8.4x=2100
系数化为1,得:
x=250
所以,甲种草药175克,乙种草药250克,丙种草药500克,丁种草药1175克.
答:
甲种草药175克,乙种草药250克,丙种草药500克,丁种草药1175克.
【思路点拨】根据实际问题列一元一次方程解决,利用合并同类项解决axbxc^d”的
方程.
【答案】甲种草药175克,乙种草药250克,丙种草药500克,丁种草药1175克.
练习:
三角形的周长是84,三边长的比为17:
13:
12,则这个三角形最短的一边长是.
【知识点】列方程解决应用题.
【解题过程】解:
设这个三角形最短的一边长是12x,则三边长分别为12x,13x,17x,得:
12x13x17x=84,
合并同类项,得:
42x=84
系数化为1,得:
x=2.
所以这个三角形最短的一边长为12&=24.
答:
这个三角形最短的一边长是24.
【思路点拨】根据题意找出等量关系,列方程解决问题.
【答案】24.
•舌动3
例3.当k取何值时,关于x的方程x—x1=1-—和8-k二5(x7)的解相同?
2345610
【知识点】利用合并同类项解一元一次方程.
【解题过程】解:
x1x11,合并同类项得:
11X=37,系数化为1,得:
x=-37.
23456660110
因为方程x1x~x=■11—,和8-k二5(x—)的解相同,所以方程可变形为
2345610
8-k=5竺工,解得:
k=聖.
V11010丿11
【思路点拨】利用方程的解和合并同类项解一元一次方程解决同解问题.
【答案】―31.
11
1
练习:
已知x6是方程1x—3二ax7a的解,则a=.
2
【知识点】方程的解,利用合并同类项解一元一次方程•
1
【解题过程】解:
因为x--6是方程-x_3二ax•7a的解,所以当x=-6时,
2
1
--6-3=-6a•7a•整理得,a二£,所以a=-6•
2
【思路点拨】利用方程的解和合并同类项解一元一次方程.
【答案】a=6
【设计意图】进一步巩固用合并同类项解一元一次方程•
3.课堂总结
知识梳理:
(1)同类项:
①所含字母相同;②相同字母的指数也相同•
(2)合并同类项法则:
①系数相加作为结果的系数;②字母与字母的指数不变•
(3)利用合并同类项解决axbxcx=d”方程的基本步骤:
①合并同类项;②系数化为1.
重难点归纳
(1)利用合并同类项解决axbxc^d”方程的基本步骤:
①合并同类项;②系数化为1.
(2)合并同类项在解一元一次方程中的作用:
合并同类项是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近x二a的形式.
(3)课后作业
基础型自主突破
1.对方程8x6x-10^6进行合并正确的是()
A.3x=6B.2x=6C.4x=6D.8x=6
【知识点】合并同类项.
【解题过程】解:
根据合并同类项的法则:
(8,6-10)x=6,即4x=6,故选C.
【思路点拨】根据合并同类项的法则合并即可
A.
【答案】C.
2•下面解方程的结果正确的是(
31
方程4=3x—4x的解为x=4;B.方程-x=-的解为x=2;
23
11
C.方程x7^32的解为x;D.方程1-4x的解为x-9
43
【知识点】解一元一次方程.
【解题过程】解:
A.方程4=3x-4x合并同类项,得:
-x=4,系数化为1,得:
x=「4.所
以此选项错误.
3122
B.方程3x=-,方程两边同时乘以—,得:
x=-,所以此选项错误.
2339
C.方程x・7x=32,合并同类项,得:
8x=32,系数化为1,得:
x=4.所以此选项错误.
11
D.方程1-4=-x,合并同类项,得:
-3,系数化为1,得:
x=-9.所以此选项正确.
33
故选D.
【思路点拨】根据合并同类项的法则及等式的性质变形即可.
【答案】D.
3.解下列方程
5
(1)x5x=3;
(2)16x-9x=-15-20.
2
【知识点】解一元一次方程.
5
【解题过程】解:
(1)合并同类项,得:
-^3
2
系数化为1,得:
x=6.
5
⑵合并同类项,得:
7x»35
系数化为1,得:
x--5.
【思路点拨】根据合并同类项的法则及等式的性质变形即可.
【答案】
(1)x=—;
(2)x=-5.
5
4.解下列方程
(1)0.2x-0.3x-0.4x=0.5;
(2)-2m3m-13m=36.
【知识点】解一元一次方程.
【解题过程】解:
(1)合并同类项,得:
-0.5x=0.5
系数化为1,得:
x--1.
⑵合并同类项,得:
-12m=36
系数化为1,得:
m--3.
【思路点拨】根据合并同类项的法则及等式的性质变形即可.
【答案】
(1)x=—1;
(2)m=O.
5.定义a“b二abab,若3“x=27,则x的值是()
A.3B.4C.6D.9
【知识点】解一元一次方程.
【解题过程】解:
根据运算规则可知:
3“x二27可化为3x27,
移项可得:
4x=24,即x=6.故选C.
【思路点拨】根据运算规则转化为一元一次方程,然后解即可.
【答案】C.
6.小明假期外出旅行一周,这一周各天的日期之和是84,小明回家的日期是()
A.9日B.14日C.15日D.16日
【知识点】结合实际问题,利用合并同类项解一元一次方程.
【解题过程】解:
设小明回家的日期是x,则这七天的日期为x、x-1、x-2、x-3、x-4、
x-5、x-6,由题可得:
xx-1x-2x-3x-4x-5x-6=84.
合并同类项,得:
7x=105
系数化为1,得:
x=15
所以小明回家的日期是15日.
【思路点拨】据实际问题列一元一次方程解决,利用合并同类项解决axbxc^d”的方
程.
【答案】C.
能力型师生共研
1.对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算:
自丹二如*,已知乃%18,则x=()
|cd|x1
A.-1B.2C.3D.4
【知识点】解一元一次方程.
【解题过程】解:
.••曰[二ad-bc,:
2x+4x=18,即:
x=3,故选C.
【思路点拨】根据新运算公式,得:
2x4^18,即x=3.
【答案】C.
2.若a、b互为相反数,则关于x的方程axF^O(a=0)的解是()
A.x=1B.x=TC.x=1或x=TD.不能确定
【知识点】解一兀一次方程.
【解题过程】解:
•••a、b互为相反数,二a^0,
在关于x的方程ax+b=O(a式0))中,当x=1时,ax+b=a+b=0,
则方程的解是:
x=1•故选A.
【思路点拨】a、b互为相反数,即a^0,然后根据方程的解的定义即可求解.
【答案】A.
探究型多维突破
1.在有理数范围内定义一种新运算“㊉”.其运算规则为:
a^b=-2a+3b,如
1二5=-2135=13,则方程x二4=0的解为
【知识点】解一元一次方程.
【解题过程】解:
因为a二b=-2a3b,所以-2x3^0,即:
x=6,故答案为x=6.
【思路点拨】根据新运算公式代入,解一元一次方程即可.
【答案】x=6.
2.仔细阅读下列材料.
分数均可化为有限小数或无限循环小数”.反之,有限小数或无限循环小数均可化为分数”
13381・
例如:
1十4=0.25,1—=1■0.6=1.6或185=1.6,13=0.3,
45553
反之,0.25251,1.6=10.6=1§13或1.6二§,
10041055
那么0.3怎么化为1呢?
3
解:
•••0.310=3.3=30.3
1-1
•••不妨设0.3=x,则上式变为10^3x,解得x=-即0.3=-
33
根据以上材料,回答下列问题.
(1)将分数化为小数”:
7=;-=.
411
LL
(2)将小数化为分数”:
0.4=;1.53=.
【知识点】根据题意列方程解决问题,解一元一次方程
74''
【解题过程】解:
(1)-=1.75,—=0.36;
411
••*
(2)因为100.4=4.4=40.4
44
设0.4=x则上式可变为10x=4x,解得:
x二一,即0.4.
99
因为1.53=1.50.03,又因为0.0310=0.33=0.30.03
11
30
设0.03=x则上式可变为10x=0.3・x,解得:
x即0.03二
30
所以1.53=1.^-46二23.
303015
【思路点拨】根据材料举一反三,设未知数建立方程求解.
423
⑵f.y
【答案】
(1)-=1.75,4=0.36.
411
自助餐
的解.
2.已知-7是方程2x-7二ax的解,则代数式
A.1
B.2
C.3
3
a——
a
D.4
的值是()
【答案】A.
【知识点】方程的解,解一元一次方程.
【解题过程】解:
:
-7是方程2x-7二ax的解,.••把-7代入该方程得,-14-7=-7a,
3
•••a=3,当a=3时,a-3=3-1=2,故选B.
a
【思路点拨】由于-7是方程2x-7=ax的解,所以将-7代入该方程得到一个以a为未知数的方程,解该方程求出a的值代入代数式求值即可.
【答案】B.
3.三个数的比是5:
12:
13,这三个数的和为180,则最大数比最小数大.
【知识点】列方程解应用题.
【解题过程】解:
设每一份为x,贝U三个数分别表示为5x、12x、13x,
依题意得:
5x12x13x-180,解得x=6,则5x=30,13x=78,78-30=48,则最大数比最小数大48.
【思路点拨】此题可设每一份为x,则三个数分别表示为5x、12x、13x,根据三个数的和为180,列方程求解即可.
【答案】最大数比最小数大48.
4.小华和小明每天坚持跑步,小明每秒跑6米,小华每秒跑4米,如果他们同时从相距200
米的两地相向起跑,那么几秒后两人相遇?
若设x秒后两人相遇,可列方程
【知识点】列方程解应用题•
【解题过程】解:
设x秒后两人相遇,则得出小明在x秒中所跑路程为6x米,小华所跑路程
为4x米,根据等量关系小明跑的路程+小华的路程=两地的距离,可以得出6x*x=200.
【思路点拨】设x秒两人相遇,
等量关系为小明跑的路程+小华的路程=两地的距离,找到各
自所跑路程的表达式即可.
【答案】6x4x二200.
5•解方程:
【知识点】解一兀一次方程.
5
【思路点拨】利用合并同类项法则和等式的性质解答即可
【答案】
(1)x=23;
(2)b=18.
45
6.解方程x--x1.
315352005汉2007
【知识点】解一元一次方程.
【解题过程】
提取公因式,
解:
——x1,
315352005x2007
1111
得x(---_-)=1,
315352005乂2007
将方程变形,
xH)—5)1(1*)川2(盘而)=1,
提取公因式,得
2卜33W册蛊-盘卜1,移项,合并同类项,得
x12007
(1)=1,系数化为1,得x二
220071003
【思路点拨】这是一个比较复杂的方程,解答此题的关键是将方程变形为
x;(1T2—5)2(5T川2(扁5-扁)「,然后提取公因式,移项,合并同
类项,系数化为1,即可求解.
【答案】x=2007.
1003
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