高考理科数学一轮总复习函数的单调性与最值.docx
- 文档编号:984092
- 上传时间:2022-10-14
- 格式:DOCX
- 页数:28
- 大小:250.21KB
高考理科数学一轮总复习函数的单调性与最值.docx
《高考理科数学一轮总复习函数的单调性与最值.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考理科数学一轮总复习函数的单调性与最值.docx(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考理科数学一轮总复习函数的单调性与最值
2020年高考理科数学一轮总复习:
函数的单调性与最值
第2讲 函数的单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1 当x1 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M (1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 导师提醒 1.掌握函数单调性的两种等价形式 设任意x1,x2∈[a,b]且x1≠x2, (1) >0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; <0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. (2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. 2.注意单调性的两个易错点 (1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示. (2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接. 3.记牢五条常用结论 (1)对勾函数y=x+ (a>0)的增区间为(-∞,- ]和[ ,+∞),减区间为[- ,0)和(0, ]. (2)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u),u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”. (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1) (2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞).( ) (3)函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( ) (4)所有的单调函数都有最值.( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( ) (6)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.( ) 答案: (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y=|x|B.y=3-x C.y= D.y=-x2+4 解析: 选A.y=3-x在R上递减,y= 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递减,故选A. 函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上( ) A.递减B.递增 C.先递减后递增D.先递增后递减 解析: 选C.因为函数y=x2-6x+10的图象为抛物线,且开口向上,对称轴为直线x=3,所以函数y=x2-6x+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数. 若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是________. 解析: 因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+1<0,即k<- . 答案: (-∞,- ) (教材习题改编)已知函数f(x)= ,x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为__________. 解析: 可判断函数f(x)= 在[2,6]上为减函数,所以f(x)max=f (2)=2,f(x)min=f(6)= . 答案: 2 确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 求函数的单调区间 (1)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是( ) A. B. 和[2,+∞) C.(-∞,1]和 D. 和[2,+∞) (2)函数y= 的单调递增区间为________,单调递减区间为________. 【解析】 (1)y=|x2-3x+2| = 如图所示,函数的单调递增区间是 和[2,+∞);单调递减区间是(-∞,1]和 .故选B. (2)令u=x2+x-6, 则y= 可以看作是由y= 与u=x2+x-6复合而成的函数. 令u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2. 易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y= 在[0,+∞)上是增函数, 所以y= 的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞). 【答案】 (1)B (2)[2,+∞) (-∞,-3] 角度二 含参函数的单调性 (一题多解)判断并证明函数f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. 【解】 法一: 设-1<x1<x2<1, f(x)=a =a , f(x1)-f(x2)=a -a = ,由于-1<x1<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增. 法二: f′(x)= = , 所以当a>0时,f′(x)<0,当a<0时,f′(x)>0, 即当a>0时,f(x)在(-1,1)上为单调减函数, 当a<0时,f(x)在(-1,1)上为单调增函数. 确定函数单调性的4种方法 (1)定义法.利用定义判断. (2)导数法.适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数. (3)图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点: 一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接. (4)性质法.利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性. [提醒] 求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. 1.函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是________. 解析: 由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次函数的图象如图, 由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞). 答案: [-1,0],[1,+∞) 2.判断并证明函数f(x)=ax2+ (其中1<a<3)在x∈[1,2]上的单调性. 解: 设1≤x1<x2≤2,则 f(x2)-f(x1)=ax + - =(x2-x1) , 由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4, 1<x1x2<4,-1<- <- . 又1<a<3, 所以2<a(x1+x2)<12, 得a(x1+x2)- >0,从而f(x2)-f(x1)>0, 即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小 已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f ,b=f (2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>bD.b>a>c 【解析】 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f =f .由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减. 因为1<2< <e,所以f (2)>f >f(e), 所以b>a>c. 【答案】 D 角度二 解函数不等式 定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且f(a2-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为( ) A.[-1,2)B.[0,2) C.[0,1)D.[-1,1) 【解析】 因为函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2, 所以函数在[-2,2]上单调递增, 所以-2≤2a-2<a2-a≤2,解得0≤a<1,故选C. 【答案】 C 角度三 根据函数的单调性求参数 (1)(2019·郑州模拟)函数y= 在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( ) A.a=-3B.a<3 C.a≤-3D.a≥-3 (2)设函数f(x)= 若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.[1,4] C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞) 【解析】 (1)y= =1+ =1+ , 由题意知 得a≤-3. 所以a的取值范围是a≤-3. (2)作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4,故选D. 【答案】 (1)C (2)D 函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. [提醒] ①若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 1.已知函数f(x)= 若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2) D.(-2,1) 解析: 选D.因为当x=0时,两个表达式对应的函数值都为零,所以函数的图象是一条连续的曲线. 因为当x≤0时,函数f(x)=x3为增函数, 当x>0时,f(x)=ln(x+1)也是增函数, 所以函数f(x)是定义在R上的增函数. 因此,不等式f(2-x2)>f(x)等价于2-x2>x, 即x2+x-2<0,解得-2 2.(2019·武汉模拟)若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(1,+∞) C.(-∞,1)D.(-∞,1] 解析: 选B.因为函数f(x)=2|x-a|+3= , 因为函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调, 所以a>1. 所以a的取值范围是(1,+∞). 故选B. 函数的最值问题(师生共研) (1)已知函数f(x)=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 理科 数学 一轮 复习 函数 调性
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)