线性代数重要公式.docx
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线性代数重要公式
线性代数重要公式
【线性代数重要公式】
展开后有/项,可分解为2”行列式;
1>行列式
1•〃行列式共有沪个元素,
2.代数余子式的性质:
1、如和厲的大小无关;
2、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
3、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|州;
3.代数余子式和余子式的关系:
Mti=(一1)®角令=(-l)J+^Vf..
4.设”行列式
将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为0,贝恂=(T)咛。
;将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为如则卩=(一1)咛D;将。
主对角线翻转后(转置),所得行列式为0,则0=0;
将。
主副角线翻转后,所得行列式为0,则—°;
5.行列式的重要公式:
1、主对角行列式:
主对角元素的乘积;
2、副对角行列式:
副对角元素的乘积X(-1)^;
3、上、下三角行列式(m=M):
主对角元素的乘积;
4、LI和|引:
副对角元素的乘积x(-i)^2:
5、拉普拉斯展开式:
就以冷小:
:
十严I咖
6、范德蒙行列式:
大指标减小指标的连乘积;
7、特征值;
6.对于“阶行列式国,恒有:
\ae-a\=An,其中乂为&阶主子式;
7.证明|A|=0的方法:
1、心同;
2、反证法;
3、构造齐次方程组Ar=0,证明其有非零解;
线性代数重要公式
4、利用秩,证明f(A) 5、证明0是其特征值; 2、矩阵 1.A是”阶可逆矩阵: o|a|hO(是非奇异矩阵); (是满秩矩阵) oA的行(列)向量组线性无关; O齐次方程组Ar=0有非零解; u>gRn9Ax=b总有唯一解; oA与E等价; oA可表示成若干个初等矩阵的乘积; 的特征值全不为0; o"A是正定矩阵; 04的行(列)向量组是川的一组基; oA是R”中某两组基的过渡矩阵; 2•对于“阶矩阵A: AA-=A'A=\A\E无条件恒成立; 3.(A-*)*=(AT*(A~')T=(At)-*(A*)r=(Ar)• (AB)t=BtAt(AB)'=B'A*(AB)-'=B'A' 4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、〃可逆: 若人=A-.,贝9: <儿丿 I、lAl=lAi||A2h-|A|; II、宀〕; A;1 t✓ 线性代数重要公式 2md;(主对角分块) 3、©: 即;(副对角分块) 4、C了鳥J;门;(拉普拉斯) (拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1.一个""矩阵心总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的: 弋刖; 等价类: 所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A、B,若心)=小)0A〜〃; 2.行最简形矩阵: 1、只能通过初等行变换获得; 2、每行首个非0元素必须为 3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; 3•初等行变换的应用: (初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) 1、若G4.E)[(E.X),贝A可逆,且X=Ax; 2、对矩阵(4⑵做初等行变化,当A变为E时,B就变成犷叭即: ③、求解线形方程组: 对于"个未知数"个方程Av",如果(A.b)〜(E,x)9则4可逆,且一旦; 4.初等矩阵和对角矩阵的概念: 1、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定: 左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; 线性代数重要公式 * 2、A=人.,左乘矩阵A,人乘4的各行元素;右乘,人乘A的 ■ 各列元素; (1Y'([} 3、对调两行或两列,符号E(i.j),且E(iJ)"=E(iJ),例如: 1=1; ④、倍乘某行或某列,符号E(i(k",且£(<(*))-*=E(i(l)),例如: 71 VZ ⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(u(k)y'=E(ij(-k)),如: k -1 <1 —k = 1 ]丿 1 1 ✓ 伙h0); 5. ①、 矩阵秩的基本性质: 0 ②、r(AT)=r(A); 3、若A-B,贝勺"4)=r(B); 4 、若尸、。 可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 5 、 ⑦、 8、如果A是必“矩阵,〃是“矩阵,且AB=O,贝U: (探) I、〃的列向量全部是齐次方程组忒“解(转置运算后的结论); 11、r(A)^r(B) ⑨、若A、〃均为”阶方阵,则r(AB)>r(A)+r(B)-n; 6.三种特殊矩阵的方幕: 线性代数重要公式 1、秩为1的矩阵: 一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式,再釆用结合律; __flac 2、型如0—的矩阵: 利用二项展开式; 〔001, 二项展开式: S+力r+…矿+…+C「'a'bZ=丈c: a唧卜川; IW-0 ③、A-=|A|A-*>|A*|=|A|h-* 8.关于A矩阵秩的描述: 1、心)=“小中有”阶子式不为0,心阶子式全部为0;(两句话) 2、心)<”,A中有“阶子式全部为0; 3、心)“,A中有〃阶子式不为0; 9.线性方程组tAx=b9其中A为〃"矩阵,则: 1、加与方程的个数相同,即方程组有加个方程; 2、"与方程组得未知数个数相同,方程组为〃元方程;10・线性方程组Ax=b的求解: 1、对增广矩阵〃进行初等行变换(只能使用初等行变换); 2、齐次解为对应齐次方程组的解; 3、特解: 自由变量赋初值后求得; 11.由〃个未知数加个方程的方程组构成”元线性方程: 线性代数重要公式 "11ai2・••a\H ②、 ai\a22'••am •••• x. ■ ■ = b、 ■ • • ■ OAx=b(向更方程,A为mxn矩阵,加个方程,n 6TIMi•••, uiim2mn bfn/' ①、 "|! 兀1+・=S 021"1+a21X2+••・^a2HXH=g %斗+%”2+・・+%斗=® 个未知数) 纠 (全部按列分块,其中"%); IJ (线性表出) ⑤、有解的充要条件: r(A)=r(A.fi) 4、向量组的线性相关性 1•加个n维列向更所组成的向車组4: 鸟心,…,%构成“X加矩阵4=(久逐,•••,%); 0: 加个“维行向量所组成的向量组B: 尿,码…,肉构成心矩阵B=0;; 0二含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 2.①、向量组的线性相关、无关OAx=0有、无非零解;(齐次线性方程组) 2、向量的线性表出<^>Ax=b是否有解;(线性方程组) 3、向量组的相互线性表示<^AX=B是否有解;(矩阵方程) 3.矩阵九.”与陥行向量组等价的充分必要条件是: 齐次方程组Ar=0和&=0同解;(S,列14) 4.r(ArA)=r(A);(P⑹例15) 5•“维向量线性相关的几何意义: 1、。 线性相关<=>a=0; 2、“线性相关。 心坐标成比例或共线(平行); 3、a.07线性相关oa.处共面; 6.线性相关与无关的两套定理: 线性代数重要公式 若8心,…,a,线性相关,则久逐,…心,a”〕必线性相关; 若久吆…心线性无关,则如冷“也必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若「维向量组4的每个向量上添上”个分量,构成〃维向量组〃: 若A线性无关,贝心也线性无关;反之若〃线性相关,贝心也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之: 无关组延长后仍无关,反之,不确定; 7.向量组A(个数为J能由向量组〃(个数为$)线性表示,且A线性 无关,则ys(二版沧定理7); 向量组A能由向量组B线性表示,则r(A) 向量组A能由向量组B线性表示 <=>AX=B有解; <=>r(A)=r(A.B)5定理2) 向量组A能由向量组B等价07•⑷=r(B)=r(A.B)(/>5定理2推论) &方阵A可逆。 存在有限个初等矩阵片£,.*,使A=g…巧; 1、矩阵行等价: A: BOPA=B(左乘,尸可逆)oAr=0与Bx=0同解 2、矩阵列等价: (右乘,。 可逆); 3、矩阵等价: 4~BOPAQ=BG、。 可逆); 9.对于矩阵仏与陥: 1、若A与〃行等价,贝叫与〃的行秩相等; 2、若A与B行等价,则Ax=0与Bx=0同解,且4与〃的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; 3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; 4、矩阵A的行秩等于列秩; 10-若则: 1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵; 2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,M为系数矩阵;(转置) 行・齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=Q的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; 线性代数重要公式 (3)、ABx=Q只有零解=>Bx=O只有零解; ②、灰=0有非零解=>ABx=0一定存在非零解; 12.设向量组Bn,r: bt厶,…,®可由向量组线性表示为: (昨。 题19 结论) (bl.b2,--.br)=(ai.a2,---,as)K(B=AK) 其中K为",且A线性无关,贝心组线性无关。 心)=「;(〃与K的列向量组具有相同线性相关性) (必要性: vr=r(B)=r(AK) 反证法) 注: 当一$时,K为方阵,可当作定理使用; 13・①、对矩阵仏"存在Q“,AQ=EmOr(A)=加、Q的列向量线性无关;5) ②、对矩阵仏",存在化询,PA=E„0/•⑷=”、P的行向量线性无关; 14・…q线性相关 o存在■^组不全为0的数k’k「…、ks,使得g+心冬+・+&<爼=0成立;(定义) 、 <=>(q.®,…,乞)7=°有非零解,即Ax=0有非零解; og./W,系数矩阵的秩小于未知数的个数; 15.设必“的矩阵4的秩为r,贝叽元齐次线性方程组Ar=0的解集S的秩为: r(S)=n-r; 16・若〃•为Ar"的一个解,.U为Ar=0的一个基础解系,则…,乩线性无关;(片口题33结论) 5、相似矩阵和二次型 1•正交矩阵0/4"或A-l=AT(定义),性质: ①、4的列向量都是单位向量,且两两正交,即 2、若A为正交矩阵,则屮也为正交阵,且|A|=±1; 3、若A、B正交阵,则AB也是正交阵; 注意: 求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2.施密特正交化: 0.“2,…®) 线性代数重要公式 br=巴凹1小一匕出丄“一…一”一"」吻,; \bM[优厶1・I^A.J 3•对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4•①、A与B等价OA经过初等变换得到B; <^PAQ=B,P、Q可逆;<^r(A)=r(B),AyB同型; 2、A与B合同OCUC=B,其中可逆; 。 *心与有相同的正、负惯性指数; 3、A与B相似OP-\4P=B; 5.相似一定合同、合同未必相似; 若C为正交矩阵,则CtAC=B=A〜B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6.A为对称阵,贝心为二次型矩阵; 7•〃元二次型”山为正定: OA的正惯性指数为〃; OA与E合同,即存在可逆矩阵C,使CtAC=E; OA的所有特征值均为正数; OA的各阶顺序主子式均大于0; *>0.|4|>0;(必要条件)
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