全国I卷文科数学高考真题.docx
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全国I卷文科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓爼、考生号•等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡対应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分.共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设Z=±±,则Z=
l+2i
A.2B.√3C.迈D.1
2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则Bf}fvA=
A.{1,6}B.{h7}C.{6,7}D.{1,6,7}
3.已知a=log2θ.2,b=2°2,c=0.2°',则
A.a
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚胶至足底的长度之比是遁二U遁二1=0.618,
22
称为黄金分割比例),苦名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚
脐的氏度Z比也是逅二1・若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm.头顶至脖子下端的长
2
度为26cm∙则其身高可能是
A.165Cm
B.175Cm
C.185Cm
D.190Cm
Clnχ+χ
5∙函数心戶在[F町的图像大致为
COSX+Xe
6.某学校为了解IOoo名新生的身体素质•将这些学生编号为1∙2,1000,从这些新生中用系统抽样
A.8号学生
7.tan255°=
A.-2-√3
B.200号学生
C.616号学生
D.815号学生
B.-2+√3
C.2-√3
D.2+√3
方法等距抽取100名学生进行体质测验•若46号学生被抽到,则卜面4名学生中被抽到的是
8.己知非零向量宀〃满足∣α∣=2∣^∣1且5-b)丄仇则α与〃的夹角为
9.
2π
T
6
如图是求
A.
2÷ξ
的程序框图,
图中空口框中应填入
2÷A
1
1
E・A=2+-
C.A=
A
1+2A
A=]+
2A
10.双曲线C:
^τ--ζ-=l(a>0Λ>0)的一条渐近线的倾料角为130。
,则C的离心率为
a・Iy
α・α11
A.2sιn40oB.2cos40oC.D.
sin50ocos50o
11.AABC的内角A,BfC的对边分别为a∙b,c∙己知asmA-bsmB=4csιnC∙COS^--,则V=
4C
A.6B.5C.4D.3
12.己知椭圆C的焦点为F1(-1,O),F2(1,O),过F2的直线与C交于A,B两点•若IAF三∣=21F?
E|,
IAB冃BFj.则C的方程为
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线y=3(x2+x)e3ς在点(0,0)处的切线方程为.
14.记Sn为等比数列{aj的前d项和•若a1=LS3=-,则S4=.
4
15.函数f(X)=sin(2x÷—)-3COSX的最小值为・
2
16.己知ZACB=90',P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ZACB两边AC,BC的距离均为JJ,那么P
到平面ABC的距离为.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(-)必考题:
60分。
17.(12分)
某商场为提高服务质最,随机调査了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到卜-而列联表:
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率:
(2)能否仃95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价仃差异?
κ2n(ad-bc)
^(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6635
10.828
18.(12分)
记Sn为等差数列{aj的前11项和,己知S9=P5.
(1)若a3=4,求{aj的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥axι的11的取值范[韦I.
19.(12分)
如图,直四棱柱ABCD-AIBlClDI的底囱是菱形,AAl=4,AB=2,ZBAD=60o,E,M,N分别是BC,
BBi,A:
D的中点.
(2)是否存在定点P∙使得当A运动时,IMAl-IMPI为定值?
并说明理由•
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.
[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
X=在直角坐标系XOy中,曲线C的参数方程为<
y=
正半轴为极轴建立极坐标系,直线1的极坐标方程为2QCOS&+J亍QSino+11=0.
(1)求C和1的直角坐标方程:
(2)求C上的点到1距离的最小值.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
己知a,b.C为正数,且满足abc=l.证明:
小111/2仇2、
(1)-+-+-≤aβ+b+cβ∙
abc
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学•参考答案
一■选择题
1.C
2.
C
3.B
4・B
5.D
6.C
7.D
8.
B
9・A
10.D
11.A
12.B
二、填空题
13・y=3x
14.
5
15.一4
16.√2
三•解答题
17・解:
(1)由调查数据•男顾客中对该商场服务满意的比率为一=0.8,内此男顾客对该商场服务满意的概
50
率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为—=0.6,W此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.50
(2)K-业竺竺竺型7.762.
50×50×70×30
由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18.解:
(1)设{all}的公差为d・
rhS9=—3j得3∣+4d=0・
由a3=4得a1+2d=4.
于是a】=&d=-2.
因此{aj的通项公式为aιl=10-2n.
(2)由
(1)得a1=-4d,故aιl=(n—5)d,S11=_.
2
由a1>0⅛d<0,故So..an等价于ι√-Iln+10”0,解得ISnSI0.
所以n的取值范用是{n∣l爼h10,n∈N}.
19・解:
(1)连结Bιc,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME/7B1C,且ME=IBIC.又因为N为AD的中点,所以ND=-AiD.
2
由题设知AB1/DC,町得BlC必AD,故比细,因此四边形MNDE为平行四边形,MN〃ED.又MNCZ平面C1DE,所以MN〃平面C1DE.
(2)过C作ClE的垂线,垂足为H
由己知可得DE丄BC,DE丄CIC,所以DE丄平面ClCE,故DE丄CH
从而CH丄平面ClDE,故CH的长即为C到平≡C1DE的距离,
由己知可得CE=I,CιC=4,所以C1E=y∕17,故CH=士£7.从而点C到平面CIDE的距离为痙Σ.
17
20.解:
71
(1)设g(x)=F(x),贝IJg(X)=COSX+xsinx-l5g'(x)=xcosx.
当XW(O冷)时,gr(x)>0:
当XW&7T)时,g,(x)<0,所以g(x)在(0,弓)单调递增,在(*,π]单
调递减.
>0,g(π)=-2,故g(x)在(O,7Γ)存在唯一零点.
所以f'(x)在(Om)存在唯一零点.
(2)由题设ft]f(π)..aπ,f(π)=0,可得a<0.
由
(1)知,f'(x)在(0,Tr)只有一个零点,设为x0,且当X∈(O,xo)时,F(X)>0:
当Xw(x0,ji)时,
f'(x) 又f(0)=0,f(π)=0,所以,当x∈[0,π]时,f(x)..O. 又当a5,0,x∈[0,π]时.ax≤0.故f(x)..ax. 因此,a的取值范闱是(y∖0]. 21.解: (1)因为OMii点AB,所以圆心M在AB的垂直平分线上•由已知A在直线x+y=0上,且AE 关于坐标原点O对称,所以M在直线y=X上,故可设M(a,a). 因为口M与直线x+2=0相切,所以口M的半径为T=∣a+2∣. 由已知得IAoI=2∙又昴丄AO.故町得2a2+4=(a+2)<解得a=0或a=4. 故LIM的半径r=2或1=6 (2)存在定点Pao)•使得IMAl—IMPl为定值. 理由如卜•: 设M(X,y),由已知得LlM的半径为r=∣x+2∣,∣AO∣=2. 由于Mo丄AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x. 因为曲线C: y2=4x是以点P(LO)为焦点,以直线X=-I为准线的抛物线,所以IMPl=X+1 因IMAl-IMPI=r-∣MP∣=x+2-(x+l)=l,所以存在满足条件的定点P. i-t・ 22.解: (1)因为一IV——≤1, l+f 1的直角坐标方程为2x+√3y+ll=0. IX=CoSCt (2)由 (1)可设C的参数方程为«'(α为参数∙一7Γ<αvτO [y=2sinα 当α=-y时,4cos(α-^)+ll取得最小值7,故C上的点到1距离的最小值为0. 23. 解: (1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2>2bc,c2+a2≥2ac,又abc=l,故有 所以丄+-+-≤a2+b2+c2.abc (2)因为a.Uc为正数且abc=l∙故有 (a+b)3÷(b+c)3+(c÷a)3≥3#(a+b)3(b÷c)3(a÷c)3 =3(a+b)(b÷c)(a÷c) ≥3×(2√ab)×(2y∕bc)×(2>∕a7) 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. (2)(a+b)3+(b+c)3÷(c+a)3≥24・
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