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复合函数的单调性
复合函数的单调性
函数的值域与函数的单调性
我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容.
通过本专题的学习,同学们应掌握求函数值域的常用方法;掌握函数单调性的定义,能用定义判定函数的单调性;会判断复合函数的单调性;了解利用导数研究函数单调性的一般方法.
[知识要点]
一.函数的值域
求函数值域的方法主要有:
配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法,利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等.
二.函数的单调性
1.定义
如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1
注:
在定义域内的一点处,这个函数是增函数还是减函数呢?
函数的单调性是就区间而言,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题.
2.函数单调性的运算规律
在共同的定义域上,设“f型”是增函数,“g型”是减函数,则:
(1)f1(x)+f2(x)是增函数;
(2)g1(x)+g2(x)是减函数;
(3)f(x)-g(x)是增函数;
(4)g(x)-f(x)是减函数.
[典型例题]
一.函数值域的求法
(一)配方法
例1.
解:
例2求函数y=2x+2-3×4?
x(-1≤x≤0)
的值域
解y=2x+2-3·4x
=4·2x-3·22x
令2x=t
例3.
解:
∴函数定义域为[3,5]
例4.若实数x、y满足x2+4y2=4x,求S=x2+y2的值域
解:
∵4y2=4x-x2≥0
∴x2-4x≤0,即0≤x≤4
∴当x=4时,Smax=16
当x=0时,Smin=0
∴值域0≤S≤16
例5.已知函数y=f(x)=x2+ax+3在区间x∈[-1,1]时的最小值为-3,求实数a的值.
分析:
的位置取决于a,而函数的自变量x限定在[-1,1]内,因此,有三种可能性,应分别加以讨论.
解:
综合
(1)
(2)(3)可得:
a=±7
(二)判别式法
例6.
解由已知得(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0(*)
(2)若2y-1≠0,则∵x∈R
∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0
即(2y-1)(10y-3)≤0
例7.
解由已知得(y-1)x2+(y-4)x-(6y+3)=0(*)
①若y=1,代入(*)式-3x-9=0
∴x=-3,此时原函数分母x2+x-6的值为0
∴y≠1
②若y≠1,则∵x∈R
∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0
化简可得(5y-2)2≥0,则y∈R
说明:
m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式,再利用x∈R,由Δ≥0求出y的取值范围,但需注意两点:
(1)要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论,只有m(y)≠0时,才可利用判别式;
(2)在求出y的取值范围后,要注意“=”能否取到.
(三)换元法
例8.
解:
∴ymax=1,ymin=-23
∴原函数值域-23≤y≤1
例9.
解:
(四)利用函数的单调性
例10.
解:
例11.
解:
调递减
说明在利用函数的单调性求值域时,应注意如下结论:
在共同定义域上,设“f型”是增函数,“g型”是减函数,则
(1)f1(x)+f2(x)是增函数;
(2)g1(x)+g2(x)是减函数;(3)f(x)-g(x)是增函数;(4)g(x)-f(x)是减函数.但当两个单调函数之间的运算符号为“x”、“÷”时,则不具有这种规律.
(五)基本不等式法
这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域.
例12.
解:
例13.
解:
∵y≥0
例14.
解:
又y是x的连续函数
(六)利用原函数的反函数
如果一个函数的反函数存在,那么反函数的定义域就是原函数的值域.
例15.
解y·10x+y·10-x=10x-10-x
即y·102x+y=102x-1
∴1+y=(1-y)·102x
(七)利用已知函数的值域
例16.
解利用三角函数的值域来求值域,把函数式去分母变形得:
ycosx-sinx=1-3y
(八)图象法
例17.
解:
由图象知:
值域为y≥3
(九)利用导数求值域
此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述,这里就不再多说了.
二.函数的单调性
(一)函数单调性的判定
1.利用已知函数的单调性
例1若y=(2k+1)x+b是R上的减函数,则有()
解:
选D
说明:
函数y=kx+b,当k>0时是增函数;k=0时是常函数;k<0时是减函数.
例2.
减区间是__________________.
解:
减区间是(-∞,-1)和(-1,+∞).
说明:
函数的两个单调区间之间可以用“,”或“和”字连接,而不能用符号“∪”连
例3函数f(x)=4x2-mx+5,当x∈(-2,+∞)时是增函数,则m的取值范围是_________;当x∈(-2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,-2)时是减函数,则f
(1)=________________.
解:
∴m=-16
∴f
(1)=4+16+5=25
2.利用定义判定或证明函数的单调性
例4根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x3+1在R上是减函数.
证明在(-∞,+∞)上任取x1、x2,且x1 f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) ∵x1 当x1x2<0时,有x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>0 当x1x2≥0时,有x12+x1x2+x22>0 ∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0 即f(x2) 所以函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数 说明 -f(x1)的符号;同学们也不妨应用导数的知识来解决本题. (2)用定义证明或判断函数的单调性,要注意步骤清晰,讨论严密. 例5. 解 (1)i)设x1,x2∈(0,1],且x1 ∵x1-x2<0,0 ∴f(x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x2) ii)设x1,x2∈[1,+∞),且x1 ∴由 (1)中讨论可知y当x≥0时单调递增,当x=0时, ∴当x=0时,y有最小值 说明 (2)中函数最值不能用基本不等式求,因为不存在使 的x;同理可证: 3.利用图象讨论函数的单调性 例6作函数f(x)=|x2-1|+x的图象,并根据图象讨论函数的单调性. 解 由图象, (二)复合函数的单调性 例7. 解∵-x2-2x+3≥0 ∴x2+2x-3≤0 ∴(x-1)(x+3)≤0 ∴-3≤x≤1 则当x∈[-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增 当x∈[-1,1]时,u=-x2-2x+3单调递减 例8. 解: 例9已知f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),讨论g(x)的增减性. 解: g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)2=8+4-2x2-4+4x2-x4=-x4+2x2+8=-(x2-1)2+9 g’(x)=-4x3+4x=-4x(x+1)(x-1) 令g’(x)>0,得x≤-1? 或0≤x≤1 令g’(x)<0,得-1≤x≤0或x≥1 ∴g(x)的单调递增区间是(-∞,-1]和[0,1] g(x)的单调递减区间是[-1,0]和[1,+∞) (三)函数单调性的应用 例10. 的取值范围. 解:
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