高考复习立体几何考点常见题型.docx

高考复习立体几何考点常见题型.docx

《高考复习立体几何考点常见题型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考复习立体几何考点常见题型.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考复习立体几何考点常见题型

高考复习立体几何考点常见题型

立体几何常见题型

考点1点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

典型例题

例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点（2DABCABC,CC1111

A（?

）求证:

平面;AAB?

ABD111

（?

）求二面角的大小;AADB,,1

CC1D（?

）求点到平面的距离（CABD1

B考查目的:

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的B1大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维

能力和运算能力（

A解答过程:

取中点，连结（BCOAOA1

为正三角形，（?

ABC？

AOBC?

F正三棱柱中，平面平面，ABC?

BCCBABCABC,11111CCD1O平面（？

AO?

BCCB11BB1连结，在正方形中，分别为BOOD，BBCC111

的中点，，（？

BOBD?

？

ABBD?

BCCC，111

在正方形中，，平面（ABAB?

？

AB?

ABBAABD111111

（?

）设与交于点，在平面中，作于F，连结，由（?

）得AFGABGFAD?

ABABDAB?

11111平面（ABD1

，为二面角的平面角（？

?

AFGAADB,,？

AFAD?

11

45在中，由等面积法可求得，?

AADAF,15

1AG210又，（AGAB,,21？

,,sin?

AFG2AF445

5

10所以二面角的大小为（AADB,,arcsin14

（?

）中，，（S,1?

ABDBDADABS,,,？

5226，，?

BCD111?

ABD1

在正三棱柱中，到平面的距离为（3ABCCB111

设点到平面的距离为（dCABD1

11由，得，VV,SSd,3ABCDCABD,,?

?

BCDABD11133

3S2?

BCD（？

,dS2?

ABD1

2点到平面的距离为（？

CABD12

例2.（2006年湖南卷）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

（?

）证明PQ?

平面ABCD;

（?

）求异面直线AQ与PB所成的角;

（?

）求点P到平面QAD的距离.

命题目的:

本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基

本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引:

方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角;方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一P般方法.

解答过程:

DC方法一（?

）取AD的中点，连结PM，QM.OMB因为P,ABCD与Q,ABCD都是正四棱锥，A所以AD?

PM，AD?

QM.从而AD?

平面PQM.

又平面PQM，所以PQ?

AD.PQ,

同理PQ?

AB，所以PQ?

平面ABCD.Q（?

）连结AC、BD设，由PQ?

平面ABCDAC:

BD,O

及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连接PN.

PO1NONO1PONO,,,,,因为，所以，OQ2OAOC2OQOA

从而AQ?

PN，?

BPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.

2222222PBOBOP,，,，,（22）13PNONOP,，,，,

（2）13.因为，

2222BN,OBON,（22），

（2）,10

22293103PB，PN,BN，,cos所以.，BPN,,,29PB,PN233，，

3arccos从而异面直线AQ与PB所成的角是.9

11（?

）连结OM，则OMABOQ,,,2.22

所以?

MQP,45?

.

由（?

）知AD?

平面PMQ，所以平面PMQ?

平面QAD.过P作PH?

QM于H，PH?

平

面QAD.从而PH的长是点P到平面QAD的距离.

320PQPOQOPHPQ,，,？

,3,sin45.又.2

32即点P到平面QAD的距离是.2

.

考点2异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的

异面直线的距离.

典型例题

42例3已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底S,ABCSC面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.E、DBC、AB

思路启迪:

由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.

解答过程:

如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，

？

EF？

EF为的中位线，?

?

面,CD,？

CD,BCDSEF

到平面的距离即为两异面直线间的距离.？

CDSEF

又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面？

CDSEF

的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是BC,42

AB、BC、BD的中点，

1？

CD,26,EF,CD,6,DF,2,SC,22

111123？

,,,,,,,6,2,2,VEFDFSCS,CEF32323

22在Rt中，SE,SC，CE,23,SCE

22在Rt中，SF,SC，CF,4，24，2,30,SCF

又？

EF,6,？

S,3,SEF

112323,3,h,h,由于，即，解得V,V,,S,hC,SEFS,CEF,SEF3333

23故CD与SE间的距离为.3

小结:

通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.

考点3直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.典型例题

ACAAGBD例4（如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.1111思路启迪:

把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.

D1C1O1解答过程:

A1B1？

BDGBD解析一?

平面，11H

G？

BDGBD上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求11DC

OGBD点O平面的距离,11AB

？

BD,ACBD,AA？

BD,AACC，，平面,11111111111

？

BD,GBD又平面1111

AACC,GBDOG平面，两个平面的交线是,？

11111

OH,OGGBDGBD作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.OH,11111

11,OOG中，.在S,,OO,AO,,2,2,21,OOG1122

112632,S,,OH,OG,,,OH,？

OH,又.,OOG11223

26GBD即BD到平面的距离等于.113

？

BDGBD解析二?

平面，11

？

BDGBDGBD上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.1111

GBDB,GBD设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则1111

1V,V,由于S,，22，3,6，B,GBDD,GBB,GBD1111112

114426222,？

h,,,V,，，，，,D,GBB1132336

26GBD即BD到平面的距离等于.113

小结:

当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.

考点4异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.

典型例题

例5（2007年北京卷文）

πAB,4如图，在中，，斜边（可以通过Rt?

AOBRt?

AOC，,OAB6A

以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面AOBAOC,,Rt?

AOB

DAB角（是的中点（

（I）求证:

平面平面;DCOD,AOB

（II）求异面直线与所成角的大小（AOCD

思路启迪:

（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解答过程:

解法1:

（I）由题意，，，COAO,BOAO,EBO是二面角是直二面角，？

，BOCBAOC,,C，又，AOBOO,？

COBO

平面，？

COAOB

平面（又CO,CODz平面平面（？

COD,AOBAE（II）作，垂足为，连结（如图），则，DEOB,CEDEAO?

是异面直线与所成的角（AOCD？

，CDE

1在中，，，DRt?

COECOBO,,2OEBO,,12

22（？

，,CECOOE5

1又（DEAO,,3yO2B

xCCE515在中，（？

Rt?

CDEtanCDE,,,DE33

15异面直线与所成角的大小为（？

AOCDarctan3

例6（（2006年广东卷）如图所示，AF、DE分别是?

O、?

O的直径.AD与两圆所在的平1面均垂直，AD,8,BC是?

O的直径，AB,AC,6，OE//AD.（?

）求二面角B—AD—F的大小;

（?

）求直线BD与EF所成的角.

命题目的:

本题主要考查二面角以及异面直线所成的角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引:

关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角并掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.

解答过程:

（?

）?

AD与两圆所在的平面均垂直,?

AD?

AB,AD?

AF,故?

BAF是二面角B—AD—F的平面角.

，？

AF、BC是圆O的直径，？

ABFC是矩形

又？

AB,AC,6，？

ABFC是正方形

0由于ABFC是正方形，所以?

BAF,45.

0即二面角B—AD—F的大小为45;

（?

）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，,32，0），B（32，0，0）,D（0，,32，8），E（0，0，8），F（0，32，0）

所以，BD,（,32,,32,8）,FE,（0,,32,8）

BDFE,，，0186482cos,.,,,,,BDFE10||||BDFE10082，

设异面直线BD与EF所成角为，则,

82,,,,,coscos,.BDFE.10

82arccos故直线BD与EF所成的角为.10

考点5直线和平面所成的角

例7.（2007年全国卷?

理）

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面（已知，SABCD,?

ABC,45ABCDSBC,ABCD

AB,2，，（SASB,,3BC,22S（?

）证明;SABC,

C（?

）求直线与平面所成角的大小（SDSABB考查目的:

本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，DA二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力（

解答过程:

解法一:

（?

）作，垂足为，连结，由侧面底面，SOBC?

AOSBC?

ABCDO

得底面（SO?

ABCD

因为，所以，SASB,AOBO,

又，故为等腰直角三角形，，?

ABC,45?

AOBAOBO?

由三垂线定理，得（SABC?

（?

）由（?

）知，依题设，SABC?

ADBC?

S

SA,3故，由，，，得ADBC,,22AO,2SAAD?

，（SD,11SO,1OCB211,,2的面积（?

SABSABSAAB,,,21,,D22A,,

1DB连结，得的面积?

DABSABAD,,sin135222

DVV,设到平面的距离为，由于，得SABhDSABSABD,,

11，解得（h,2hSSOS,1233

h222设与平面所成角为，则（,SDSAB,,,,sinSD1111

22所以，直线与平面所成的我为（SDSBCarcsin11

考点6二面角

此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合

适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.

典型例题

例8（（2007年湖南卷文）

如图，已知直二面角，，，，，，,,,,PQAPQ,C,,，,BAP45B,,CACB,直线和平面,所成的角为（30CA

C,

APQ

B

;（I）证明BCPQ?

（II）求二面角的大小（BACP,,

命题目的:

本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思

维能力和运算能力.

过程指引:

（I）在平面内过点作COPQ?

于点，连结（,COOB

因为，，所以，,,?

,,PQCO?

C,又因为，所以（CACB,OAOB,H

AP而，所以，，，,BAO45，,ABO45，,AOB90QOB

从而，又，BOPQ?

COPQ?

所以平面（因为平面，故（PQBC?

PQ?

OBCBC,OBC

（II）解法一:

由（I）知，，又，，BOPQ?

,?

,,PQ

，所以（BO?

BO,,

BHH过点作于点，连结，由三垂线定理知，（OOHAC?

BHAC?

故是二面角的平面角（，BHOBACP,,

由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，,，,CAO30CO?

，CAOCA

3AO,3OHAO,,sin30不妨设，则，（AC,22

BOAO,,3在中，，所以，，,，,ABOBAO45Rt?

OAB

BO3tan2，,,,BHO于是在中，（Rt?

BOHOH3

2

故二面角的大小为（BACP,,arctan2

，例9（（2006年重庆卷）如图，在四棱锥P,ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖

CD，AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.

（?

）试证:

CD平面BEF;

（?

）设PA,k?

AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,30:

求k的取值范围.

解答过程:

，解法一:

（?

）证:

由已知DFAB且DAD为直角，//,

故ABFD是矩形，从而CDBF.

,又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知

CDPD.在?

PDC中，E、F分别

,PC、CD的中点，故EF?

PD,从而CDEF,由此得CD面BEF.

（?

）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在?

PAC中易知EG?

PA.又因

,PA底面ABCD,故EG底面ABCD.在底面ABCD中，

过G作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知

，EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在?

PAC中，有

11EG=PA=ka.22

以下计算GH，考察底面的平面图.连结GD.

11因S=BD?

GH=GB?

DF.?

GBD22

GB,DF故GH=.BD

5在?

ABD中，因为AB,a,AD=2a,得BD=a.

11而GB=FB=AD=a，DF=AB,从而得22

GB,ABa,a5a.GH==,5BD5a

1kaEG52因此tan?

EHG==,k.2GH5a5

由k,0知是锐角，故要使,，必须，EHG，EHG30:

53k,,tan=30:

32

215.解之得，k的取值范围为k,15