二阶微分方程解法之欧阳德创编.docx
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二阶微分方程解法之欧阳德创编
第六节二阶常系数齐次线性微分方程
时间:
2021.03.07
创作:
欧阳德
教学目的:
使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
教学重点:
二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程:
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程:
方程
y+py+qy=0
称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.
我们看看,能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程
y+py+qy=0
得
(r2+pr+q)erx=0.
由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.
特征方程:
方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式
求出.
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数
、
是方程的两个线性无关的解.
这是因为,
函数
、
是方程的解,又
不是常数.
因此方程的通解为
.
(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数
、
是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
这是因为,
是方程的解,又
所以
也是方程的解,且
不是常数.
因此方程的通解为
.
(3)特征方程有一对共轭复根r1,2=aib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(aib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数y1e(a+ib)x和y2e(aib)x都是方程的解而由欧拉公式得
y1e(a+ib)xex(cosxisinx)
y2e(aib)xex(cosxisinx)
y1y22excosx
y1y22iexsinx
故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.
可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解.
因此方程的通解为
y=eax(C1cosbx+C2sinbx).
求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解的步骤为:
第一步写出微分方程的特征方程
r2+pr+q=0
第二步求出特征方程的两个根r1、r2.
第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.
例1求微分方程y-2y-3y=0的通解.
解所给微分方程的特征方程为
r2-2r-3=0,即(r1)(r3)0
其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为
y=C1e-x+C2e3x.
例2求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.
解所给方程的特征方程为
r2+2r+1=0,即(r1)20
其根r1=r2=1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为
y=(C1+C2x)e-x.
将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而
y=(4+C2x)e-x.
将上式对x求导,得
y=(C2-4-C2x)e-x.
再把条件y|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为
x=(4+2x)e-x.
例3求微分方程y-2y+5y=0的通解.
解所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0
特征方程的根为r1=12ir2=12i是一对共轭复根
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
n阶常系数齐次线性微分方程:
方程
y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y+pny=0,
称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2,,pn-1,pn都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.
引入微分算子D及微分算子的n次多项式
L(D)=Dn+p1Dn-1+p2Dn-2++pn-1D+pn
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(Dn+p1Dn-1+p2Dn-2++pn-1D+pn)y=0或L(D)y0
注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(n)
分析令yerx则
L(D)yL(D)erx(rn+p1rn-1+p2rn-2++pn-1r+pn)erx=L(r)erx
因此如果r是多项式L(r)的根则yerx是微分方程L(D)y0的解
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
L(r)rn+p1rn-1+p2rn-2++pn-1r+pn0
称为微分方程L(D)y0的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应:
单实根r对应于一项:
Cerx;
一对单复根r1,2=aib对应于两项:
eax(C1cosbx+C2sinbx);
k重实根r对应于k项:
erx(C1+C2x++Ckxk-1);
一对k重复根r1,2=aib对应于2k项:
eax[(C1+C2x++Ckxk-1)cosbx+(D1+D2x++Dkxk-1)sinbx].
例4求方程y(4)-2y+5y=0的通解.
解这里的特征方程为
r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,
它的根是r1=r2=0和r3,4=12i.
因此所给微分方程的通解为
y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).
例5求方程y(4)+b4y=0的通解,其中b0.
解这里的特征方程为
r4+b4=0.
它的根为
.
因此所给微分方程的通解为
.
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程:
方程
y+py+qy=f(x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和:
y=Y(x)+y*(x).
当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:
一、f(x)=Pm(x)elx型
当f(x)=Pm(x)elx时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q(x)elx,将其代入方程,得等式
Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0的根,则l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:
Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,
通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解
y*=Qm(x)elx.
(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式
Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
成立,Q(x)应设为m+1次多项式:
Q(x)=xQm(x),
Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,
通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解
y*=xQm(x)elx.
(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式
Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
成立,Q(x)应设为m+2次多项式:
Q(x)=x2Qm(x),
Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,
通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解
y*=x2Qm(x)elx.
综上所述,我们有如下结论:
如果f(x)=Pm(x)elx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)有形如
y*=xkQm(x)elx
的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.
例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.
解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0).
与所给方程对应的齐次方程为
y-2y-3y=0,
它的特征方程为
r2-2r-3=0.
由于这里l=0不是特征方程的根,所以应设特解为
y*=b0x+b1.
把它代入所给方程,得
-3b0x-2b0-3b1=3x+1,
比较两端x同次幂的系数,得
-3b0=3,-2b0-3b1=1.
由此求得b0=-1,
.于是求得所给方程的一个特解为
.
例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x,l=2).
与所给方程对应的齐次方程为
y-5y+6y=0,
它的特征方程为
r2-5r+6=0.
特征方程有两个实根r1=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为
Y=C1e2x+C2e3x.
由于l=2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为
y*=x(b0x+b1)e2x.
把它代入所给方程,得
-2b0x+2b0-b1=x.
比较两端x同次幂的系数,得
-2b0=1,2b0-b1=0.
由此求得
b1=-1.于是求得所给方程的一个特解为
.
从而所给方程的通解为
.
提示
y*=x(b0x+b1)e2x(b0x2+b1x)e2x
[(b0x2+b1x)e2x][(2b0x+b1)(b0x2+b1x)×2]e2x
[(b0x2+b1x)e2x][2b02(2b0xb1)×2(b0x2+b1x)×22]e2x
y*5y*6y*[(b0x2+b1x)e2x]5[(b0x2+b1x)e2x]6[(b0x2+b1x)e2x]
[2b02(2b0xb1)×2(b0x2+b1x)×22]e2x5[(2b0x+b1)(b0x2+b1x)×2]e2x6(b0x2+b1x)e2x
[2b04(2b0xb1)5(2b0x+b1)]e2x[2b0x+2b0b1]e2x
方程y+py+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解形式
应用欧拉公式可得
elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
其中
.而m=max{l,n}.
设方程y+py+qy=P(x)e(l+iw)x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+iw)x,
则
必是方程
的特解,
其中k按liw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.
于是方程y+py+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解为
=xkelx[R
(1)m(x)coswx+R
(2)m(x)sinwx].
综上所述,我们有如下结论:
如果f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx],则二阶常系数非齐次线性微分方程
y+py+qy=f(x)
的特解可设为
y*=xkelx[R
(1)m(x)coswx+R
(2)m(x)sinwx],
其中R
(1)m(x)、R
(2)m(x)是m次多项式,m=max{l,n},而k按l+iw(或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
例3求微分方程y+y=xcos2x的一个特解.
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,
且f(x)属于elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型(其中l=0,w=2,Pl(x)=x,Pn(x)=0).
与所给方程对应的齐次方程为
y+y=0,
它的特征方程为
r2+1=0.
由于这里l+iw=2i不是特征方程的根,所以应设特解为
y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.
把它代入所给方程,得
(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.
比较两端同类项的系数,得
b=0,c=0,
.
于是求得一个特解为
.
提示
y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.
y*=acos2x2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x
(2cx+a2d)cos2x+(2ax2bc)sin2x
y*=2ccos2x2(2cx+a2d)sin2x2asin2x+2(2ax2bc)cos2x
(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x
y*y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x
由
得
b=0,c=0,
.
时间:
2021.03.07
创作:
欧阳德
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