导数定义及公式.docx
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导数定义及公式.docx
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导数定义及公式
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7.若f(x)=,则F(x)=
InX
&若f(x)=
,则F(x)=
10.=
12.=
13.y=fYuY,u=g(x)fJU!
|y=f(g(x));
sin2x=
##导数:
一般地,函数y=f(x)在x=x°处的瞬时变化率是
,称函数y=f(x)在x=Xq处的导数,记作:
f1(x)或y'|x=x0
o即f(xo)
##函数y=f(x)在点处的导数的7Z何戟,就是曲线y=f(x)在点P()处的切线斜率,也就是说曲线y=f(x)在点P()处的切
y-f(x0)=f1(x0)(x-x0)
##导函数:
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数彳(x)在开区间(a,b)内可导。
若函数f(x)在开区间
(a,b)内可导,则f(x)在(a,b)内每一点的导数构成一个新函数,把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数(简称导数)记作F(x)或y|或乂
即F(x)
一.函数的单调性
—般地,与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间(a,b),如果°(x),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果
F(x)
1.
如果F(x),则f(x)严格增函数;如果F(x)
,则f(X)严格减函数。
2.
如果在(a,b)内恒有F(x),那么f(x)在(a,b)内是常数。
3.
fl(x)是f(x)在此区间上为增函数的充分而不必要条件。
求函数单调区间的步骤:
1・确定y=f(x)的定义域;
2・求导数F(x),求出F(x)的根;
3・函数的无定义点和“(x)的根将f(x)的定义域分成若干区间,列表考查这若干区间内F(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间。
注意:
A・如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,哪个这些单调区间不能用"U"连接,只能用逗号或〃和"字隔开。
B・求函数单调区间时易忽视函数的定义域。
应优先考虑函数的定义域。
二.函数的极值:
1•定义,设函数f(X)在点X。
附近有定义,如果对X。
附近的所有点,都有f(x),则称fYX°Y是函数f(X)的一个极大值;如果对氐附近的所有点,都有f(X),则称fYX°Y是函数f(X)的一个极小值。
极大值点、极小值点统称极值点,极大值和极小值统称极值。
2•判断fYX°Y是极大值或极小值的方法:
第一步,确定函数的定义域,求导数尺(X);
第二步,求方程F(X)的根;
第三步,检查F(X)在F(X)的根左右两侧的值的符号;
1•如果〃左正右负",那么f(X)在这个根处取到极大值;
2•如果〃左负右正",那么f(x)在这个根处取到极小值;
3・如果左右不改变符号,即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值。
在此步聚中,最好利用方程F(X)的根,顺次将函数的定义区间分成若干个开区间,并列表,依表格内容得出结论。
※函数在极值点的导数为0■但导数为0的点不_定是极值点•如函数f(x)=0■点x=0就不是极值点,但厂(0);
※函数的极大值不一定大于极小值;
可能不存在极值点。
三函数的最值:
设函数y=f(X)是定义在区间[a,b]上的函数,尸f(x)在区间(a,b)内有导数,求y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,其步骤为:
先求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;再将函数y=f(x)的各极值与端点的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
女口果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则函数在[azb]上一定能够取得最大值和最小值z并且函数的最值必在极值点或端点处取得。
※提示:
1・若函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增,则f(a)为最小值,f(b)为最大值;若若函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递减,则f(a)为最大值,f(b)为最小值。
2.图象连续不断的函数在开区间(a,b)上不一定有最大(小)值,如果图象连续不断的函数在开区间(a,b)上只有一个极值,则该极值就是最值。
3•函数的极值不一定是最值,求函数的最值与函数的极值不同的是,在求可导函数的最值时,不需要对各导数为0的点讨论,其是极大值还是极小值,只需将导数为0的点的函数和端点函数值时行t匕较。
在解决实际生活中优化问题注意事项:
1必须考虑是否符合实际意义2只有一个点使“(x)的情形,如果在点有最大(小)值,不与端点比较也能知道是最大(小)值。
3不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来,而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。
四・定积分及应用
定积分定义:
若函数y=f(X)在区间[a,b]上连续用分点
a=b,将区间[a,b]等分成n个小区间,在每
个小区间[
(口,2,3,),作和式
》Fy£Ylx
=,当
n时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫函数y=f
(x)在区间[a,b]上定积分,记作。
即二
其中f(x)叫做被积函数,a做积分下限,b做积分上限。
定积分不是一个表达式,是一个常数。
定积分几何意义:
从几何上看,若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)i0,那么定积分表示直线x=a,x=b
(aib),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积;
定积分性质:
=k(k为常数)
以上是线性性质•下面是对区间可加性
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