数列通项公式用求法及构造法.docx
- 文档编号:9832485
- 上传时间:2023-02-06
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:97.21KB
数列通项公式用求法及构造法.docx
《数列通项公式用求法及构造法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数列通项公式用求法及构造法.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数列通项公式用求法及构造法
数列通项公式的常用求法
构造法求数列通项公式
一、构造等差数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法,将递推
公式变形成为f(n7)-f(n)=A(其中A为常数)形式,根据等差数列的定义知f(n)是等差数列,根据等差数列的通项公式,先求出f(n)的通项公式,再根据f(n)与an,从而求出an的通项公式。
例1在数列{a.}中,ai=-,an*=^J(nN+),求数列©}通项公式.
2a.十3
3a.
解析:
由3门41=a.怡得,an+1Oi=3an+1-3&=0,两边同除以Eh+1&得,
丄一丄"
an1an3
设5=才,则bn+1-bn=1,根据等差数列的定义知,
数列{bn}是首项b1=2,公差dR的等差数列,
根据等差数列的通项公式得bn=2+i(n-1)=1n+首
•••数列通项公式为an=^5
2
例2在数列{和中,Sn是其前n项和,且SnM0,a1=1,an=f|^(n》2),
求Sn与an。
22
解析:
当n》2时,an=Sn-Sn-1代入衍=營^得,Sn-Sn-1=||n,变形整理
n_1n_L
得Sn-Sn-1=SnSn-1?
两边除以SnSn-1得,占-宀=2,二{占}是首相为1,公nn1n
差为2的等差数列
•十=1+2(n-1)=2n-1,•Sn=^h(n》2),n=1也适合,•Sn=^5(n》1)
当n》2时,an=Sn-Sn-1=2h-2h=-;^8市,n=1不满足此式,
1n=1
--31={2
4n2-§n3n-2
、构造等比数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法,将递推公式变形成为f(n+1)=Af(n)(其中A为非零常数)形式,根据等比数列的定义知f(n)是等比数列,根据等比数列的通项公式,先求出f(n)的通项公式,再根
据f(n)与an,从而求出an的通项公式。
例3在数列{an}中,ai=2,an=an-i2(n>2),求数列{an}通项公式。
解析:
•ai=2,an=an-i(n》2)>0,两边同时取对数得,lgan=2lgan-i
•••粘=2,根据等比数列的定义知,数列{lgan}是首相为lg2,公比为
2的等比数列,根据等比数列的通项公式得lgan=2n-ilg2=Ig22"
ni
•••数列通项公式为an=22-
评析:
本例通过两边取对数,变形成logan=2logan」形式,构造等比数列
"logan},先求出logan的通项公式,从而求出an的通项公式。
例4在数列{an}中,ai=i,an+i=4an+3n+i,求数列{an}通项公式。
解析:
设an+什A(n+i)+B=4(an+An+B),(AB为待定系数),展开得
3A=3A=i
cb+i=4an+3An+3B-A,与已知比较系数得{•{2
3B—A=iB=4
•&+i+(n+i)+|=4(an+n+f),根据等比数列的定义知,
数列{£h+n+舟}是首项为|,公比为q=3的等比数列,•an+n+舟=于X
n-i
•••数列通项公式为an=FX3n-i-n-1
例5在数列{an}中,ai=i,an+ian=4n,求数列{an}通项公式。
解析:
•••an+iai=4n•anan-i=4甘两式相除得护=4,
n丄
•a,a3,a与a2,a4,a6是首相分别为ai,a2,公比都是4
的等比数列,
又Tai=i,an+ian=4n,•a2=4
三、等差等比混合构造法
1
数列有形如f(an,an4,anan^1H0的关系,可在等式两边同乘以,先求出
anand
解:
原条件变形为andan-3anan.两边同乘以,得
an,an-^1
11
13.
anan1
3(丄])—-1-=3nJ
an2an12a.2
._2…an_23nd-1.
四、辅助数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式。
2
例7■在数列玄/中,印=1,a2=2,an2
丄1卡
~~an13an,求an0
33
2
1
解析:
在an2an彳an两边减去an1,
33
•••:
an1-anf是以a2-a1=1为首项,以
二an1-an=(-丄)2,由累加法得
3
an=(an—and)(an』—and…@2—aja1
=4[1十护】1
=(_])2.(_[)n)•…(―1)•11=
333
练习*
1、在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2n(n€N*),求数列{an}通项公式解:
由an+1=3an+2n(n€N*)得,an+1+2n+1=3(an+2n)(n€N*),
设bn=an+2n则bn+1=3bn,.°.备1=3,根据等比数列的定义知,
数列{bn}是首相b1=3,公比为q=3的等比数列,根据等比数列的通项公式得bn=3n,l卩an+2n=3n,
•••数列通项公式为an=3n-2n注意:
2n+1-2n=2n
2、在数列{aj中,ai=1,a.1二a*-2n•3,求数列{an}的通项公式
解:
、由an^=an-2n+3得,(a^+2^)-(a.+2n)=3,根据等差数列的
定义知,数列{an2n}是首项为3,公差为3的等差数列,所以
an■2n=3n,所以a*=3n-2n
3、已知数列‘Gn?
满足ai=2,an—an,求an
3n+1
解:
由条件知加—,分别令n=1,2,3,……,(n—1),代入上式得(n—1)个ann+1
等式累乘之,即
亚且•处.……•玉J23……□=勺二丄
a1a2a3and234najn
3n
1
4.数列{an}满足a1=1,an=-anJL+1(n》2),求数列{an}的通项公式。
11
解:
由an=—an」+1(n》2)得an—2=—(an』一2),而a1—2=1—2=—1,
22
1
•数列{an—2}是以-为公比,一1为首项的等比数列
2
n-4
5.数列a冲,a1=1,a2=2,3an2=2an「an,求数列玄』的通项公式
21、
解牛:
由3an-2_2an-1an彳寸an2~an-1an>^设an2_kan1_h(an_kan)
33
2111
比较系数得kh,-kh,解得k=1,h或k,h=1
3333
11
若取k=1,^--,则有an.2-an1=-3(an1-an)
33
1
•{an1-an}是以-丄为公比,以a2_印=2十1为首项的等比数列
3
n4
••an1-an-(-3)
由逐差法可得an=(an-anj)-(an」-anN)亠亠(a2-aj-a1
解:
22
an2an-4Sn=•Qn/'2an」二4Sn」,
--an_and2an_2and-4(Sn_SnJ4an
(ananj)(an_an-2)=0,-a*■an」=O,…an-anJ=2.即是以2为公差的等差数列,且aj■2a
•••an二22(n_1)=2n
7.设:
an[是首项为1的正项数列,且a:
—a:
」—nan—nan」=O,(n€N*),求数列的通项公式an.
解:
由题设得(an-an」)(an-and-n)=0.
•••an0,an」0,•an-an」0.
an〜(a「a1)(a宀厂(am23z罟
•a=…生a
••an1
an1an-2a1
1
…an1—(n1)(n2)
9.设正项数列d•满足a1=1,an=2ai?
4(n》2).求数列的通项公式.
解:
两边取对数得:
log;n=12log;n丄,log2n1=2(log;n「1),设bn=log;n1,则bn=204
■bn[是以2为公比的等比数列,b1=log;•1=1.
0=12n4=2n4,log;n1=2n',log;n=2心-1,
•-an=2宀
总结
而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
递推式一
般为:
an4=Pan'fn;an・1=pan'q
(1)通过分解常数,可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。
一般地,形如ani=p
an+q(pH1,pqM0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法:
设
ani+k=p(an+k)与原式比较系数可得pk—k=q,即k=—J,从而得等比数列p—1
{an+k}。
(2)通过分解系数,可转化为特殊数列{a.-an」}的形式求解。
这种方法适用于
an2=pan4qan型的递推式,通过对系数p的分解,可得等比数列{an-an」}:
设an2-kan4=h(an4-kan),比较系数得h•k=p,-hk=q,可解得h,k。
3、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,联想出一种适当的辅助模型,进行命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式•
(1)构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构
造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法•
(2)构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法
就可求得这一数列的通项公式.
(3)构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简
(4)构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决•
补充一般方法:
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应
于已知数列类型的题目.
例1.等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且ai,a3,a9成等比数列,2
S5二a5•求数列{an}的通项公式
解:
设数列{an}公差为d(d0)
2
•/ai,a3,a9成等比数列,.Ia3aia9,
22
即佝2d)=ai(ai8d),得d二
•/d式0,•.ai=d①
…S5=a5
5ai54d二⑻4d)2
2
3^3a<)=—d=—由①②得:
5,5
333
an(n—i)n
二、累加法
求形如an-an-i=f(n)
通项,可用累加法,即令
555
(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列n=2,3,…n—i得到n—i个式子累加求得通项。
1
an=an』*
例2.已知数列{an}中,ai=i,对任意自然数n都有n(n,求an.
1
an_anJ_~"
解:
由已知得n(n7),
1
anJ_a^2:
(n—i)n,
1a3—a2:
an-ai=23
3疋4,
三、累乘法
空=f(n)
对形如an的数列的通项,可用累乘法,即令n=2,3,…n—1得到
n—1个式子累乘求得通项。
例3.已知数列方n?
中,a1=3,前n项和Sn与an的关系是桑価-僞,求通项公式an.
解:
由Sn~n(2n_,1)an得Sn1-(n_1)(2n-3)an1
两式相减得:
(2n1)an二(2n-3)an」,
an2n-3
anj2n1
将上面n—1个等式相乘得:
an(2n_3)(2n_5)(2n_7)|||313
a1(2n1)(2n—1)(2n-3)|l|75一(2n1)(2n—1)
(2n1(2n-1)
四、公式法
若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列的通项an可用公式
Snn=〔
a2=2a •a=2n1ai-211(一1)才(一1「川2(-俨=2nj(-1)n[(-2)n‘(-2)n「(_2)] /“严1》2厂]弓才―(7n1]. Snn=1 a*=」 点评: 利用公式§n-Sn二…n^2求解时,要注意对n分类讨论,但 若能合写时一定要合并. 五、“归纳一猜想一证明”法 直接求解或变形都比较困难时,先求出数列的前面几项,猜测出通项,然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳一猜想一证明”法. 例5.若数列右」满足: ai=1,an^=2an+32-计算a2,a3,a4的值,由此归纳出an的公式,并证明你的结论. 解: Ta2=2ai+3X2°=2x1+3X2°, 121 a3=2(2X1+3X2°)+3X2'=22X1+2X3X21, 21232 a4=2(2X1+2X3X2)+3X2=2X1+3X3X2;猜想an=2nT+(n-1)X3X2n_2=2「2(3n-1); 用数学归纳法证明: 1°当n=1时,a1=^1X=1,结论正确; 2°假设n=k时,ak=2k-2(3k-1)正确,•••当n=k+1时, ak1.=2ak32心=2k」(3k-1)32kl =2kl(3k2^2(k"[3(k7)-1],结论正确; 由1°、2°知对n€N*有an=22(3n-1). 点评: 利用“归纳一猜想一证明”法时要小心猜测,切莫猜错,否则前功尽弃;用数学归纳法证明时要注意格式完整,一定要使用归纳假设.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数列 公式 求法 构造
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)