小升初专题比和比例.docx
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小升初专题比和比例
比和比例应用题
1、知识广角
在日常生活中,常遇到数量之间成比例关系的实际问题,解答此类问题的一般步骤:
1.认真审题,判断题中两个相关联的量是成正比例还是反比例。
2.设未知数
3.根据判断列出正比例或是反比例的关系式。
4.求出未知数的值
5.检验答案
解这类题应注意:
1.某种数量的数值直接告诉我们,可以直接求出它们的比。
然后根据数量关系,确定另一种数量两个对应数值的比。
2.某种数量的数值没有直接告诉我们,但知道它们的具体分率,可以根据分率求出他们的比,然后根据数量关系,确定另一种数量两个对应数值的比。
3.应用正反比例性质解答应用题特别注意题中的某一数量是否一定,然后确定是成正比例还剩反比例。
2、例题讲解
例1.甲乙两站间的铁路长360km,两列火车同时相对开出,2.4小时相遇,相遇时两车所行的路程比是8:
7。
两列火车各行多少千米?
举一反三
1.甲乙两个仓库共存粮4000吨,甲仓运入950吨,乙仓运出450吨,甲乙两仓存粮的吨数比是8:
7,甲乙两仓原来各存粮多少吨?
2.两筐苹果共130kg,如果将甲筐苹果1/8装入乙筐,甲乙两筐苹果的重量比是7:
6,甲乙两筐苹果共有多少千克?
例2.哥哥和弟弟原有钱数比是7:
5,如果哥哥给弟弟520元,则哥哥和弟弟的钱数比就变成了4:
3,现在哥哥有多少钱?
举一反三
1.一班和二班的人数比是5:
6,如果将二班的10名同学调到一班,则一班和二班的人数比是6:
5,求两个班原来的人数。
2.某工厂有甲乙两个车间,甲车间与乙车间的人数比是3:
5,如果从甲车间调150人到乙车间,则甲车间与乙车间的人数比是3:
7.求原来甲乙两个车间个有多少人?
例3.某学校四、五、六年级共有学生820人,已知六年级学生人数的1/2等于五年级学生人数的2/5,六年级学生人数的1/3等于四年级学生人数的2/7,那么四、五、六年级各有学生多少人?
根据“六年级学生人数的1/2等于五年级学生人数的2/5”可求出六年级学生人数:
五年级学生人数=2/5:
1/2=4:
5
六年级学生人数的1/3等于四年级学生人数的2/7,可求出六年级学生人数:
四年级学生人数=2/7:
1/3=6:
7,最后求出六年级学生人数:
五年级学生人数:
四年级学生人数
举一反三
1.甲、乙、丙三人分270只贝壳,甲每取走5只,乙就取走4只,乙每取走5只丙就取走6只。
那么最后三人各取走多少只?
2.制造一个零件,甲需6分钟,乙需5分钟,丙需4.5分钟,现在有1590个零件的任务分配给三人,要求在相同时间内完成,每人应分配到多少个零件?
例4.某班在一次数学考试中,平均成绩是88分,男生平均成绩85.5分,女生平均成绩91分,求这个班男生人数与女生人数的比?
男生人数×2.5=女生人数×3
举一反三
1.在献爱心捐款活动中,某班平均每人捐款5元,其中男生平均每人捐款4元,女生平均每人捐款5.8元。
求该班男生与女生的人数比?
2.在一次体检活动中,量得六年级某班男生平均身高1.57米,女生平均身高1.50米。
全班同学平均身高1.53米。
求该班男生与女生的人数比?
例5.一辆汽车在甲乙两地之间行驶,往返一次共用5小时,去时每小时行驶45千米,返回时每小时行驶30千米。
求甲乙两站之间的距离?
1、根据路程一定,速度和时间成反比例,往返的速度比是45:
30,往返的时间比是30:
45,可求出往返的时间。
2.去时行1千米用时间:
1/45小时,返回时行1千米用时间:
1/30小时,往返1千米用时间:
1/45+1/30小时,全程共有5÷(1/45+1/30)=90千米
举一反三
1.两只成分不同但长度相同的蜡烛,其中一只以均匀速度3小时烧完,另一只则可燃烧4小时,如果要求在下午5时整,两只蜡烛的长度比是1:
2,那么应该在什么时候点燃这两只蜡烛?
2.甲乙两个小组要包装同样多的糖果,甲组用手工包装,每小时包装5箱,乙组用机械包装,每小时包装15箱,已知甲组比乙组早3小时开工,晚3小时收工。
求甲乙共包装多少项糖果?
3、课后练习
1.
的分母减少7,要使分数的大小不变,分子应变成几?
2、小明读一本故事书,已读的页数和未读的页数的比是1:
5,如果再读30页,已读的页数和未读的页数的比是3:
5,这本书共有多少页?
3.一块长方体红砖,长与宽的比是2:
1,宽与高的比是2:
1,且棱长之和是112厘米,求这块砖的体积。
4.甲乙两包糖的重量比是4:
1,从甲包取出130克放入乙包,甲乙两包糖的重量比是7:
5,原来甲包有多少糖?
5.一次演出,唱歌和跳舞的人数比是3:
2,后来节目变动,7名唱歌的同学改为跳舞,现在唱歌的人数占跳舞的人数的1/3,唱歌和跳舞一共有多少人?
现在跳舞有多少人?
6.某小学参加科技小组,植物栽培小组,航模小组的人数比是3:
4:
7,已知参加植物栽培小组的有28人,参加科技小组航模小组的人数各多少人?
7、大、中、小三个圆的共同部分是大圆面积的1/10,是中圆面积的1/8,是小圆面积的1/2.大、中、小三个圆的面积比是多少?
8.师徒二人加工168个零件,师傅加工一个零件要5分钟,徒弟加工一个零件要9分钟,完成任务时两人各加工多少个?
9、有一堆围棋,黑子与白子的个数比是4:
3,从中取出91个棋子,且取出的黑子与白子的个数比是8:
5,而剩下的黑子与白子的个数比3:
4,这堆围棋共有多少棋子?
10.两块一样重的合金,一块合金中铜与金的比是2:
5,另一块合金中铜与金的比是1:
3,现在将两块合金合并成一块,求新的合金中铜与金的比。
11、甲乙两人步行的速度比是13:
11,如果两人分别由A、B两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇,如果两人同时出发同向而行,甲多少时间追上乙?
啃一啃
某工地用三种型号的卡车运送土方。
已知甲乙丙三种型号的卡车的载重量之比是10:
7:
6,速度比是6:
8:
9,运送土方的路程比是15:
14:
14,三种车的辆数之比是10:
5:
7,。
工程开始时,乙和丙两种车全部投入运输,甲车只投入一半使用,直到10天后,另一半才投入运输,一共干了25天完成任务。
那么甲种车完成的工作量与总工作量的比是多少?
比例应用
【知识点讲解】
(1)比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3正比例和反比例
(1)成正比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k(一定)
(2)成反比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
练习:
1、判断下面两种量成什么比例,并说明理由.
时间一定,每小时织布的米数和织布总米数.
平行四边形面积一定,它的底和高.
分子一定,分母和分数值.
报纸的单价一定,总价与订阅的份数.
正方形的周长和边长.
正方形的边长和面积.
路程一定,车轮的直径与车轮的转数.
被成数一定,成数与差.
三角形的高一定,底和面积.
甲、乙两数互为倒数,甲数和乙数☆数学医院:
2、解比例
25:
7=X:
35 23:
X=12:
14X:
15=13:
56
X:
1
=
:
1.5
:
=
:
X
=
=
5
:
0.4=2
:
X2.8:
=0.7:
X
比和比例应用题包括:
比例尺、按比例分配和正反比例应用题。
(1)在比例尺应用题中,图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式:
图上距离:
时间距离=比例尺。
三个相关的量中,知道任意两个量,就可根据关系式,求出另一个量。
在计算中,要注意各种量的单位在算式中必须统一。
(2)按比例分配的应用题:
是把一个数量按照一定的比分配成几部分。
按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上来解决的。
关键是要根据各部分之比,确定各部分量与总量之间的关系,即各部分占总量的几分之几。
然后按照“求一个数(这里指分配的量)的几分之几是多少”的问题来解答。
(3)正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系,关系式是:
yx=k(一定),反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系,关系式是:
x•y=k(一定)。
解答正、反比例应用题,基本步骤是:
①分析数量关系,依据相关联的量之间的数量关系式,判定它们成什么比例;
②根据关系式列出等量关系式;
③设未知数,根据等量关系式列方程;
④解方程;⑤检验并写出答案
【比例尺】
问题:
我们看看这个美丽的地球仪,为什么这么多、这么庞大的国家、海洋、森林可以画在这个小小的
地球仪上?
你知道答案吗?
实距×比例尺=图距 图距÷比例尺=实距
(1)比例尺与一般的尺不同,它是一个比,不应带有计量单位.
(2)求比例尺时,前、后项的长度单位一定要化成同级单位.
例1.北京离天津120千米,在一幅地图上量得它们之间的距离为2厘米,求这幅地图的比例尺。
例2.在比例尺是1∶2000的图纸上,量得一个正方形花坛的边长为4厘米,这个花坛实际面积是多少?
例3.一块长方形地,长60米,宽30米,若用1∶600的比例尺画在图纸上,求在图纸上的面积是多大?
例4.在一幅比例尺1∶2000的图上,量得一块长方形的土地,平面图的长是6厘米,宽是4厘米,求这块土地实际面积是多少?
【按比例分配应用题】
问题1:
你知道自己的体重?
你有办法知道你体内流淌着多少血液吗?
正常人血液与体重之比大约是1:
13,现在能知道了吗?
问题2:
学生的营养餐的食物中,除了主食(米饭)外,还包括瓜果蔬菜类、豆制品类、鱼肉禽蛋类,它们的比为13:
2:
5较为适宜。
像你们这种年龄所需要的营养中除了主食外,还需100克这样的食物。
现在请你算算,你们的营养餐中所需的瓜果蔬菜类、豆制品类、鱼肉禽蛋类各占多少克?
例1.胜利小学六年级有150人,其中男生人数与女生人数的比是3∶2。
求男生和女生各有多少人?
例2.把一种农药和水混合配制成药水,农药和水的比是1∶150,现有3千克农药,要和多少千克水混合?
要配制755千克药水,要加农药和水各多少千克?
例3.修一条水渠,全长2520千米,分配给三个工程队共同完成。
三个工程队修的长度比是2∶3∶4,问各修多少千米?
例4.学校把一批树苗按3∶4∶5分给四、五、六年级的同学栽。
已知六年级比四年级多栽20棵。
这三个年级各栽多少棵树?
例5.甲乙两人存款的比是3∶7,乙丙两人存款的比是4∶5,已知甲、乙、丙三人共存款150元,问每人各存款多少元?
例6.一段路程分上坡、平路、下坡三段,各段路程长的比依次是1∶2∶3,某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6,已知他上坡的速度是每小时3千米,这段路的全长是60千米,问此人走完全程用了多少时间?
【当堂练习】
1.百货商店上半年售出电视机525台,售出的彩色电视机和黑白电视机台数的比是5∶2,这个商店售出彩色电视机和黑白电视机各多少台?
2.红光小学五、六年级学生参加植树,共植树120棵,按1∶2进行分配,各学年植树多少棵?
3.有甲乙两个养鱼塘,面积的比为3∶4,现在要把840O尾鱼苗按照鱼塘面积的比放到鱼塘里,各应放入鱼苗多少尾?
【方程解比例分配问题】
这类问题的一般思路为:
设其中一份为x,利用已知的比,写出相应的代数式。
常用等量关系:
各部分之和=总量。
例1.甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4:
3;乙、丙之比为6:
5,又知甲与丙的和比乙的2倍多12件,求每个人每天生产多少件?
例2.有蔬菜地975公顷,种植青菜、西红柿和芹菜,其中青菜和西红柿的面积比是3︰2,种西红柿和芹菜的面积比是5:
7,三种蔬菜各种的面积是多少公顷?
例3.甲、乙、丙三村集资140万元办学,经协商甲、乙、丙三村的投资之比是5:
2:
3。
问他们应各投资多少万元?
例4.建筑工人在施工中,使用一中混凝土,是由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成的,这四种原料的重量的比是0.7:
1:
2:
4.7,搅拌这种混凝土2100千克,分别需要水、水泥、黄沙、碎石多少千克?
【正比例】
例1.一个工人6天生产零件240个,照这样计算,30天可以生产零件多少个?
例2.一艘轮船3小时航行80千米,照这样速度,航行200千米,需要多少小时?
例3.一个施工队安装一条水管,头6天装了224米,照这样的速度,又用了15天把水管全部装完,这条水管一共长多少米?
例4.某部战士行军,3小时走了36千米,离目的地还差30千米,按着这样的速度计算,行完全程要多少时间?
例5.新明乡由30人收割一块稻田,8小时可以割完。
但做了3小时后,由于天气突变,又增加了10人进行抢收。
如果每人的工作效率相同,还要几小时才能割完?
【当堂练习】
1、世界上最低的地方叫“死海”,海水的含盐量很高,最高达到100吨海水含盐25吨,求640000吨海水含盐的吨数。
2、解放军某部进行军事演习,6小时行了33.6千米,照这样的速度再行6小时,一共可以行多少千米?
【反比例】
——反比例应用题
3、淮光化肥厂要生产一批化肥,原计划每天生产432吨,25天完成;实际每天生产540吨,只要多少天就能完成?
例2.某工程大队计划30天挖水渠3750米,实际每天比原计划多挖25米,实际只用多少天完成?
例3.有一本书,每页16行,每行36个字,共有150页,现在要改为每页18行,每行24个字。
该书应有多少页?
【当堂练习】
1.一项工程,25人每天工作8小时,36天可以完成;现在增加5人,限40天完成.每天应工作几小时?
2.甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出,已知甲车每小时行驶50千米,乙车每小时行驶45千米。
甲、乙两车的速度比是多少?
3.一间教室用边长0.4米的正方形砖铺地,需要300块,如果改用边长为0.5米的正方形砖铺地,需要多少块?
【配套问题】
[解题指导]:
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
例1.某车间有工人85人,平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个,又知1个大齿轮和三个小齿轮配为一套,问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套?
例2.某队有55人,每人每天平均挖土2.5方或运土3方,为合理安排劳力,使挖出的土及时运走,应如何分配挖土和运土人数?
例3.某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个,一个螺栓要配两个螺母,应该分配多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产的产品刚好配套?
例4.现有190张铁皮,每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,那么用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?
【当堂练习】
1.服装厂生产某种型号的学生服,已知每3米长的布料可以做上衣2件或裤子3条,计划用600米长的布料生产,应分别用多少米的布料生产上衣和裤子才能恰好配套?
2.某木器厂有38名工人,2名工人每天可以加工3张课桌,3名工人每天可以加工10把椅子,如何调配工人才能使每天生产的桌椅配套?
3.某车间每个工人平均每天能生产螺栓12个或螺母18个,每个螺栓有两个螺母配套,现有工人28个,如何分配才使生产的螺栓和螺母刚好配套?
【课后思考题】
1.有三个人去住旅馆,住三间房,每一间房$10元,于是他们一共付给老板$30元,第二天,老板觉得三间房只需要$25元就够了,于是叫小弟退回$5元给三位客人,谁知小弟贪心,只退回每人$1元,自己偷偷拿了$2元,这样一来便等于那三位客人每人各花了九元,于是三个人一共花了$27元,再加上小弟独吞了$2元,总共是$29元。
可是当初他们三个人一共付出$30元那么还有$1元呢?
行程问题和比例
一、知识广角
1、行程问题是研究物体的速度、时间、路程三个量之间的关系。
按运动方向可分为:
同向、相向,背向三种情况。
相向属于相遇物体,同向属于追及问题。
主要的数量关系:
速度×时间=路程
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
2、两个相关联的量,如果他们的比值一定,我们说这两个量成正比例。
如果它们的积一定,我们说这两个量成正反例。
在行程问题中,路程一定,时间和速度成反比例,所以,行驶相同的路程,所用时间的比=速度比的反比。
时间一定,路程和速度成正比例。
即:
路程的比=速度的比;速度一定,时间和路程成正比例,即时间的比=路程的比。
3、相遇问题中:
速度和×相遇时间=路程和;追及问题中:
速度差×追及时间=路程差
二、方法探究
例1、一列客车和一列货车同时从甲乙两地相向而行,客车与货车的速度比是11:
8,甲乙两地相距380km,求相遇时客车比货车多行多少千米?
思路导航
同时出发到相遇,所用的时间相同。
也就是时间一定,他们的路程和速度成正比例,也就是路程比等于速度比。
思维链接
在速度、时间、路程三个量中,我们先确定哪一个量不变,然后判断另两个量成什么比例,进而利用正反比例的相关知识解题。
举一反三
1、小军和小明同时从甲乙两地相向而行,小军和小明的速度比是3:
2,甲乙两地相距600m,求相遇时小明行了多少米、?
2、小军和小明同时从甲乙两地相向而行,小军和小明的速度比是5:
3,相遇时小军比小明多行200米,求甲乙两地的距离?
3、聪聪和明明的速度比是6:
5,聪聪在明明后面20米,他们同时同向出发,聪聪要走多少米就能追上明明?
例2、一辆货车从甲城开往乙城,又立即按原路返回,一共用了9小时,去时每小时行40km,返回时每小时行50km,甲乙两城相距多少千米?
思路导航
往返的路程相同,则往返的速度和时间成反比例。
往返的速度比是40:
50=4:
5,那么往返的时间比是5:
4.然后把9小时按5:
4进行分配,就可以求出往、返的时间。
本题可以用方程解答,想想该怎么设未知数?
还可以把甲乙两地的距离看成单位1,则去的时间是
,返回的时间是
,甲乙两地的距离可以这样求:
9÷(
+
)=200(km)想想为什么?
举一反三
4、一架飞机最多能带飞行18小时的汽油,它去某地侦查,去时每小时飞行1500km,返回时逆风每小时飞行1200km,那么这架飞机最多能飞行多少千米?
5、小明周末去登山,上山每分钟走20米,下山每分钟走30米,他先从山脚走到山顶,然后远途返回,上山比下山多用30分钟,请问从山脚走到山顶有多少米?
6、一辆汽车从甲地开往乙地,如果把速度提高20%,可以比原来提前1小时,原来多少小时可以到达?
如果减速20%,比原来迟到多少小时?
例3、货车的速度是客车的
,两车分别从甲乙两地同时相向而行,在距两地中点3km处相遇,相遇后,
两车继续以原来的速度行驶,,到达甲乙两站。
问:
当客车到达甲站时,货车距乙站还有多少千米?
思路导航
两车相遇时时间一定,路程和速度成正比。
货车的速度是客车的
,就是货车的速度:
客车速度=9:
10
那么,货车行驶的路程:
客车行驶的路程=9:
10。
客车行驶了全程的
,货车行驶了全程的
。
在距两地中点3km处相遇,说明客车比货车少行驶6km.两地的距离是6÷(
-
)=114(km)
货车距乙站还有:
114×(1-
)=11.4(km)
举一反三
7、货车的速度是客车的
,两车分别从甲乙两地同时相向而行,在距两地中点20km处相遇,相遇后,
两车继续以原来的速度行驶,,到达甲乙两站。
问:
当客车到达甲站时,货车距乙站还有多少千米?
8、客车和货车同时从A、B两地相向而行,,客车每小时行60km,货车每小时行全程的
,相遇时,客车和货车所行的路程比是5:
4.问A、B两地的距离是多少千米?
9、甲船从东港到西港要用6小时,乙船从西港到东港要用4小时,现在两船同时从东西两港出发,结果在距中点18km的地方相遇。
相遇时甲船行了多少千米?
例4、明明和华华的速度比是6:
5,他们同时从甲乙两地相向而行,相遇后两人继续向前走,到达各自的目的地后返回,第二次相遇点距乙地350m.甲乙两地相距多少米?
思路导航
明明和华华的速度比是6:
5,他们第一次相遇时的路程比也是6:
5.全程共11份。
第二次相遇明明一共走的路程是第一次相遇所走路程的3倍。
即明明一共走了3×6=18(份)。
比全程多了7份。
每份是
350÷7=50(m),全程是50×11=550m.
思维链接
在直线型多次相遇问题中,第一次相遇两人合走一个全程。
第二次相遇两人合走三个全程。
第三次相遇两人合走五个全程。
第四次相遇两人合走七个全程……,第n次相遇两人合走2n-1个全程。
那么他们每个人第n次相遇所走的总路程是第一次相遇所走路程的2n-1倍。
举一反三
10、客车和货车同时从甲乙两地相向而行,,客车和货车的速度比是10:
9.它们往返于甲乙两地之间,已知第二次相遇地点距甲地400km,问甲乙两地的距离是多少千米?
11、小兔和小狗同时从甲乙两地相向而行,它们往返于甲乙两地之间,小兔和小狗的速度比是4:
5,它们第一次相遇点和第二次相遇点相距400米。
甲乙两地相距多少米?
12、小兔和小狗同时从甲乙两地相向而行,它们往返于甲乙两地之间。
小兔每分钟走70米,小狗每分钟走50米,它们第二次和第四次相遇点相距100米,甲乙两地相距多少米?
例5、小军和小明两人同时从甲地到乙地,他们各自的速度不变。
当小军走全程的20%时,小明距甲地还有1200米,当小明走完全程时,小军距甲地还有20%的路程,求甲乙两地的距离。
思路导航
根据他们说的话可以知道:
时间一定,路程和速度成正比例。
小明和小军的路程比是:
1:
(1-20%)=5:
4.那么他们的速度比也是5:
4,当小军走全程的20%时,小明和小军的路程比也是5:
4,这时小明走了
20%÷4×5=25%。
小明还有75%没有走。
不难求出全程就是1200÷75%=1600米。
举一反三
13、小华和小明两人同时看一本相同的书,他们各自的速度不变。
当小华看这本书的50%时,小明还有40%没有看,当小明看这本书的50%时,小华还有140页没有看,求这本书有多少页?
14.甲乙丙三人进行100米赛跑,甲说:
当我跑到终点时,乙还有20米,丙还有40米。
当乙跑到终点时,丙还有多少米?
15、小红和小华两人同时看一本相同的书,他们各自的速度不变。
小红说:
当我看这本书的
时,你还有300页没有看,小华说:
当你看这本书的50%时,我还有150页没有看,求这本书有多少页?
三、课后作业
1、甲乙两人分
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- 关 键 词:
- 小升初 专题 比例
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