河南省专升本考试高等数学真题.docx
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河南省专升本考试高等数学真题
河南省专升本考试高等数学真题2016年
(总分:
150.00,做题时间:
90分钟)
一、单项选择题(总题数:
30,分数:
60.00)
1.函数的定义域是______
(分数:
2.00)
A.(-∞,-1]
B.(-∞,-1)
C.(-∞,1]
D.(-∞,1) √
解析:
[解析]要使函数有意义,则需1-x>0,即x<1,故应选D.
2.函数f(x)=x-2x3是______
(分数:
2.00)
A.奇函数 √
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.无法判断奇偶性
解析:
[解析]f(-x)=-x-2(-x)3=-x+2x3=-(x-2x3)=-f(x),故f(x)为奇函数,故应选A.
3.已知则f[f(x)]=______
A.x-1
B.
C.1-x
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]故应选D.
4.下列极限不存在的是______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]故应选D.
5.极限的值是______
(分数:
2.00)
A.0
B.1
C.-1 √
D.-2
解析:
[解析]故应选C.也可直接对分子分母的最高次项进行比较.
6.已知极限则a的值是______
A.1
B.-1
C.2
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]
7.已知当x→0时,2-2cosx~ax2,则a的值是______
A.1
B.2
C.
D.-1
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]
8.已知函数则在点x=1处,下列结论正确的是______
(分数:
2.00)
A.a=2时,f(x)必连续
B.a=2时,f(x)不连续 √
C.a=-1时,f(x)连续
D.a=1时,f(x)必连续
解析:
[解析]要使函数f(x)在x=1处连续,则有当a=2时,故当a=2时,f(x)不连续.故应选B.
9.已知函数φ(x)在点x=0处可导,函数f(x)=(x-1)φ(x-1),则f"
(1)=______
(分数:
2.00)
A.φ"(0)
B.φ"
(1)
C.φ(0) √
D.φ
(1)
解析:
[解析]由φ(x)在x=0处可导,可知φ(x)在x=0处连续,
故应选C.
10.函数f(x)=1-|x-1|在点x=1处______
(分数:
2.00)
A.不连续
B.连续且可导
C.既不连续也不可导
D.连续但不可导 √
解析:
[解析]显然f(x)在x=1处连续.而f"(1+)=-1,f"(1-)=1,故在x=1处不可导,故应选D.
11.若曲线f(x)=1-x3与曲线g(x)=lnx在自变量x=x0时的切线相互垂直,则x0应为______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]f"(x0)=(1-x3)|x=x0=-,由于切线相互垂直,则故应选C.
12.已知f(x)=1-x4在闭区间[-1,1]上满足罗尔中值定理,则在开区间(-1,1)内使f"(ξ)=0成立的ξ=______
(分数:
2.00)
A.0 √
B.1
C.-1
D.2
解析:
[解析]f"(x)=-4x3,f"(ξ)=-4ξ=0,则ξ=0,故应选A.
13.设函数f(x)在区间(-1,1)内连续,若x∈(-1,0)时,f"(x)<0;x∈(0,1)时,f"(x)>0,则在区间(-1,1)内______
(分数:
2.00)
A.f(0)是函数f(x)的极小值 √
B.f(0)是函数f(x)的极大值
C.f(0)不是函数f(x)的极值
D.f(0)不一定是函数f(x)的极值
解析:
[解析]由极值第一判定定理,可知f(0)应为函数f(x)的极小值,故应选A.
14.设函数y=f(x)在区间(0,2)内具有二阶导数,若x∈(0,1)时,f"(x)<0;x∈(1,2)时,f"(x)>0,则______
(分数:
2.00)
A.f
(1)是函数f(x)的极大值
B.点(1,f
(1))是曲线y=f(x)的拐点 √
C.f
(1)是函数f(x)的极小值
D.点(1,f
(1))不是曲线y=f(x)的拐点
解析:
[解析]函数f(x)在(0,1)上为凸,在(1,2)上为凹,故(1,f
(1))应为函数f(x)的拐点,故应选B.
15.已知曲线y=x4,则______
∙A.在(-∞,0)内y=x4单调递减且形状为凸
∙B.在(-∞,0)内y=x4单调递增且形状为凹
∙C.在(0,+∞)内y=x4单调递减且形状为凸
∙D.在(0,+∞)内y=x4单调递增且形状为凹
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]y"=4x3,当x>0时,y">0;当x<0时,y"<0;y"=12x2,在(-∞,+∞)上有y"≥0,根据选项,可知应选D.
16.已知F(x)是f(x)的一个原函数,则不定积分∫f(x-1)dx=______
(分数:
2.00)
A.F(x-1)+C √
B.F(x)+C
C.-F(x-1)+C
D.-F(x)+C
解析:
[解析]由题可知∫f(x)dx=F(x)+C,∫f(x-1)dx=∫f(x-1)d(x-1)=F(x-1)+C,故应选A.
17.设函数则f"(x)=______
A.
B.-e-x+2x
C.e-x+x2
D.e-x+2x
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]故应选C.
18.定积分
∙A.2ae-a2
∙B.ae-a2
∙C.0
∙D.2a
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]令f(x)=xe-x2,f(-x)=-xe-x2=-f(x),可知f(x)为奇函数,故
19.由曲线y=e-x与直线x=0,x=1,y=0所围成的平面图形的面积是______
∙A.e-1
∙B.1
∙C.1-e-1
∙D.1+e-1
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]由题可知所求面积故应选C.
20.设定积分则______
(分数:
2.00)
A.I1=I2
B.I1>I2 √
C.I1<I2
D.不能确定,I1与I2的大小
解析:
[解析]当x∈(1,2)时,x2>x.由定积分保序性可知即,I1>I2故应选B.
21.向量a=j+k的方向角是______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C.
D. √
解析:
[解析]向量a的坐标表示应为{0,1,1},故方向余弦为则α,β,γ应为故应选D.
22.已知e-x是微分方程y"+3ay"+2y=0的一个解,则常数a=______
A.1
B.-1
C.3
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]令y=e-x,y"=-e-x,y"=e-x,代入有e-x-3ae-x+2e-x=0,由e-x≠0,
则有1-3a+2=0,a=1.故应选A.
23.下列微分方程中可进行分离变量的是______
∙A.y"=(x+y)ex+y
∙B.y"=xyex+y
∙C.y"=ayexy
∙D.y"=(x+y)exy
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]对于B项,y"=xyex·ey,分离变量得故应选B.
24.设二元函数z=x3+xy2+y3,则
∙A.3y2
∙B.3x2
∙C.2y
∙D.2x
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]故应选C.
25.用钢板做成一个表面积为54m2的有盖长方体水箱,欲使水箱的容积最大,则水箱的最大容积为______
∙A.18m3
∙B.27m3
∙C.6m3
∙D.9m3
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]设水箱的长、宽、高分别为x,y,z,则有2xy+2yz+2xz=54,即xy+yz+xz=27,体积V=xyz,令F(x,y,z)=xyz+λ(xy+yz+xz-27),
解得x=3,y=3,z=3,
由于驻点(3,3,3)唯一,实际中确有最大值,故当x=3,y=3,z=3时长方体体积最大,最大值V=27.故应选B.
26.设D={(x,y)|1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0},则二重积分
(分数:
2.00)
A.16π
B.8π
C.4π
D.3π √
解析:
[解析]由二重积分的性质可知SD为D的面积.
27.已知则变换积分次序后
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]积分区域为D:
0≤x≤1,0≤y≤x,也可表示为:
0≤y≤1,y≤x≤1,故交换积分次序后
28.设L为连接点(0,0)与点(1,)的直线段,则曲线积分∫Ly2ds=______
A.1
B.2
C.3
D.
(分数:
2.00)
A.
B. √
C.
D.
解析:
[解析]L可表示为
29.下列级数发散的是______
A.
B.
C.
D.
(分数:
2.00)
A. √
B.
C.
D.
解析:
[解析]选项A为调和级数,可知其发散.
30.已知级数则下列结论正确的是______
A.
B.若部分和数列{Sn}有界,则收敛
C.
D.
(分数:
2.00)
A.
B.
C. √
D.
解析:
[解析]的必要条件,故应选C.选项B中,需要求为正项级数;选项D应改为若收敛,则收敛.
二、填空题(总题数:
10,分数:
20.00)
31.函数f(x)=x3的反函数是y=1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]令y=f(x)=x3,,故f(x)的反函数x∈R.
32.极限
(分数:
2.00)
解析:
[解析]
33.已知函数则点x=0是f(x)的1间断点.
(分数:
2.00)
解析:
可去[解析],f(0)=1,故x=0是f(x)的可去间断点.
34.函数f(x)=e1-x在点x=0.99处的近似值为1.
(分数:
2.00)
解析:
1.01[解析]取x0=1,Δx=-0.01,有f(x0+Δx)=f(0.99)≈f(x0)+f"(x0)Δx=1-1·(-0.01)=1.01.
35.不定积分∫sin(x+1)dx=1.
(分数:
2.00)
解析:
-cos(x+1)+C[解析]∫sin(x+1)dx=∫sin(x+1)d(x+1)=-cos(x+1)+C.
36.定积分
(分数:
2.00)
解析:
ln2[解析]
37.函数z=xy-x2-y2在点(0,1)处的全微分dz|(0,1)=1.
(分数:
2.00)
解析:
dx-2dy[解析]
38.与向量{2,1,2}同向平行的单位向量是1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]故与{2,1,2}同向平行的单位向量为
39.微分方程y+xy2=0的通解是1.
(分数:
2.00)
解析:
[解析]方程分离变量得两边积分得其中C为任意常数.当y=0时,可知也为方程的解.
40.幂级数的收敛半径为1.
(分数:
2.00)
解析:
3[解析]
三、计算题(总题数:
10,分数:
50.00)
41.计算极限
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]
42.求函数的导数.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]令u=2-cosx,
43.计算不定积分
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]
44.计算定积分
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]
45.设直线求过点A(0,1,2)且平行于直线l的直线方程.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]设已知直线l的方向向量为n,则
由于所求直线与l平行,故其方向向量可取{1,-2,1},又直线过点A(0,1,2),故所求直线方程为
46.已知函数z=f(x,y)由方程xz-yz-x+y=0所确定,求全微分dz.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]令F(x,y,z)=xz-yz-z+y,
则Fx=z-1,Fy=-z+1,Fz=x-y,
因此
47.已知D={(x,y)|0≤x2+y2≤4},计算二重积分
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]积分区域D可用极坐标表示为0≤r≤2,0≤θ≤2π,故
48.求微分方程xy"+y-x=0的通解.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]方程化简为为一阶线性微分方程,由通解公式得
其中C为任意常数.
49.求幂级数的收敛区间.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]令t=x-1.则级数为不缺项的幂级数.故收敛半径R=1,则-1<t<1.即-1<x-1<1,0<x<2,故收敛区间为(0,2).
50.求级数的和函数.
(分数:
5.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]收敛半径R=1,
令
四、应用题(总题数:
2,分数:
14.00)
51.求由直线x=1,x=e,y=0及曲线所围成平面图形的面积.
(分数:
7.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]如图所示,
即所求图形.则面积
52.某工厂生产计算器,若日产量为x台的成本函数为C(x)=7500+50x-0.02x2,收入函数为R(x)=80x-0.03x2,且产销平衡,试确定日生产多少台计算器时,工厂的利润最大?
(分数:
7.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[解析]利润=收入-成本,故利润L(x)=R(x)-C(x)=80x-0.03x2-7500-50x+0.02x2=30x-0.01x2-7500.
令L"(x)=30-0.02x=0,x得x=1500,
且L"(1500)=-0.02<0.
故x=1500为L(x)的极大值,又由实际问题,极值唯一,故x=1500为L(x)的最大值,即日生产1500台计算器时,工厂的利润最大.
五、证明题(总题数:
1,分数:
6.00)
53.已知方程4x+3x3-x5=0有一负根x=-2,证明方程4+9x2-5x4=0必有一个大于-2的负根.
(分数:
6.00)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
[证明]令f(x)=4x+3x3-x5,由题可知f(-2)=0,又有f(0)=0,f(x)在[-2,0]上连续,存(-2,0)上可导,故由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(-2,0),使得f"(ξ)=4+9ξ2-5ξ1=0,
即方程4+9x2-5x4=0必有一个大于-2的负根.
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- 河南省 考试 高等数学