高中数学教师实系数一元二次方程.docx
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高中数学教师实系数一元二次方程
高中数学备课组
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学生
日期
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学生情况:
主课题:
实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1.复数的平方根与立方根:
2
和实数一样,复数abi和cdia,b,c,dR,若满足abicdi,则称abi是
2
cdi的平方根。
因为abicdi,所以cdi的平方根是abi两个数。
(1)求法:
利用复数相等求复数的平方根
2)1的立方根:
1,13i,13i,
2222
13i1
的常用结论:
;1,120;2
2
思考:
当nZ时,n取何值?
2.实系数一元二次方程
ax2bxc
0a,b,cR且a0在复数集中恒有解.当判别式
2
b4ac0时,方程有两个实数解
x1,2
bb24ac2
时,方程有两个虚根,且互为共轭x1,2
b4acb2
i.
2a2a
(1)在复数集中,实系数一元二次方程的根的性质:
实系数一元二次方程在复数集中一定
有两个根,它们是两个实根或者是一对共轭虚根。
此性质可推广到实系数一元n次方程在复
数集中的情况也成立。
(2)实系数一元二次方程ax2bxc0a,b,cR且a0在复数范围内,韦达定理仍然
成立。
热身练习
1.、是一元二次方程x26x100的根,则()24
21111
2.在复数范围内分解因式4xx5_4(x79i)(x79i)
8888
3.已知复数、满足2且1,则2323__2i,2i
4.方程zz3z40的解集是_1
5.方程x2ixi10的两根为__1、1i
i(1i)5
6.已知a3是实系数方程x
(13i)3
1
pxq0的根,则pq_
2
7.复数34i的平方根是(2i)
8.下列命题在复数集中是否正确?
为什么?
1)若a,b,cR,a
22
0,且b4ac0,则方程ax
bxc0有两个实数根。
2)
若a,b,c
R,a0,且x1,x2是方程axbx
c0的两个根,
bcx1x2,x1x2;
aa
3)
若a,b,c
R,a0,且x1,x2是方程ax2
bxc0的两个根,
22
x1x2x1x2;
(4)若a,b,cR,a0,且是方程ax2bxc0的根,则也是方程的根。
答案:
(1)、
(2)(4)正确,(3)不正确
例1.关于x的方程3x2
精解名题
6(m1)xm210的两根的模的和为2,求实数m的值。
解:
解:
[6(m1)]243(m21)24(m23m1)
2
(1)当0,即m3m10时,x1、x2R
12
mR,且x1x2(m1)0
3
x1与x2同号
0m23m10
由得
x1x222(m1)2
m0
(2)当0,即m23m10时,x1与x2为一对共轭复数,得x1x2
又x1x22,x1x21,x1x2x1x21,x1x21
2
m3m10
12
(m1)1
综上所述,得m0或m2
5
2,求一个以z
例2.已知复数满足4(32)i(i为虚数单位),z5
为根的实系数一元二次方程。
解:
(12i)43i
43i
12i
5z
2i
2i
i3i
若实系数一元二次方程有虚根z3i,则必有共轭虚根z3izz6,zz10
2
x6x100
例3.设非零复数z1、z2满足100z12
2z2
z
kz1z2kR,并且是虚数。
z1
(1)求证:
z210z1
(2)若kN*,当k在其允许范围内变化时,求所有满足条件的虚数
z2
z1
解:
令
z2
z1
x,则原方程可化为x2kx
1000
(1)
12k2(400
k2)
10,即
z2
10,
z1
z2
10z1
(2)
kN*,k1,2,3,
19
k,故所求的和为
23
19
190
例4.求与自身的平方共轭的复数
解:
设zxyi,(x,yR),依题意有:
x
yi
yi,
x
解之得:
y
0
0,
1x
0,y
1
2
3,
2
1
2
3
2
所求复数为
0,1,
例5.已知复数
z是86i的平方根,求
16z
100
的值。
解:
设z
yi,(x,yR),Q
6i
yi
2
86i,即x
y22xyi
86i,
y2xy
8可得
16z
例6.设方程
100
z
3i时,为
60
22x
解:
Q
0,
得m
1
m
4
17
4
例7.已知
为实系数一元二次方程
求的值。
29x2x
8有x2
9,或x
1(舍),x
16z2
100
2
8164
m0的两根为
2
不一定成立,
共轭
0.
z3i
2
6i164
200
z
3i时,为6020i
0时,
ax2bx
0,0讨论。
c0的两个根,
3,求实数
m的值。
为虚数,
R,
2
Q
R,
Q1,
10,
例8.若关于x的方程2x23axa2
0至少有一个模为1的根,求实数
a的值。
解:
分两种情况讨论:
1)若模为
1的根是实数根,则实数根
x1,此时0即a0或a
将x
1代入方程中,得a2
2a2
0,此方程无实数解。
将x
1代入方程中,得a2
4a2
0,
a22,满足0
2)若模为
1的根是虚根,则此时
0,
8a0
所以设模为1的虚根为
则另一根为
2aa
又Q
2
1,
a2
a2
2或a
例9.,
是方程x2
2xa
0的两个根,其中
R,求
的值。
解:
当
0a
备选例题
1)0
a1,
2;
(2)
0,
44a
a1,
22
2a
1.对任意非零复数z,定义集合Mz
2n1
n
是方程
2x1
0的一个根,试用例举法表示集合
Ma
解:
是x2
2x1
2
12(1
i)或
(1
i)
2
i)时,
i,
2n1
1
(12)n
1n
i
1
1i
11
2
2(1
i),
2
2(1i),
2
2(1
2
i),2(1i)
(1
i)时,有M
M2
23
2.设复数zabi(a0,b0)是实系数方程xpxq0的根,又z为实数,求点
(p,q)的轨迹。
解:
zabi实系数方程的根,zabi也是此方程的根。
zzp
zzq
2ap
22
abq
333223
z(abi)a3ab(3abb)i为实数(b0)
3a2bb30,即3a2b2
得q4a2,p2q,
a0,所以p0
轨迹x2y
方法提炼
1.判别根的虚实,运用判别式,求根公式,这些方法要熟练
2.一元二次方程的系数含有虚数时,判别式失去了功能,运用韦达定理求解方法。
3.分类讨论是重要的思想方法。
复数里也会有这样的题目,虚根、实根不同情况下,解的
形式是不同的。
巩固练习
1.若1i是方程x2mxn0(m,nR)的一个解,那么mn(-4)
3
2.若虚数z满足z
8,则
z22z
3.在复数集内分解因式:
(1)
x26
_(x2)(x
2)(x3i)(x3i)
4.计算:
(1)
2
2)x2xcos
1_(xcosisin)(xcosisin)
1996
1i1
13i9982
6
13i15
13i
12
513
255i
5.求证:
在复数范围内,方程z(1i)z(1i)z(i为虚数单位)无解。
6.设,为方程x22xt0tR的两个根,ft,求
(1)ft的解析式;
(2)证明关于t的方程ftm,当m2时,恰有两个不等的根,且两根之和为定值。
2t,t0.
解:
(1)2,0t1
21t,t0
1
(2)证明:
函数yft的图像关于直线t对称,当t1,时,ft为增函数,且
2
ft2,,所以当m2时,
在区间,0上也有唯一解t2,则
ft2,;当t,0时,ft为减函数,
方程ftm在区间1,有唯一解t1,
1
t1t221
2
1n1*
7.已知z1,求zn,nN
2n3kkN*
=1n3k1kN*
1n3k2kN*
zz
1133
解:
由z1,得:
zi,得z1,原式
z22
179i
自我测试
8
2
2.已知a、bR,若方程2x3axb0的一个根为3i,则ab_80
2
3.已知一元二次方程x2(1i)xa2i0有实数根,则a6
4.满足方程zzi2009的复数z有0个
1.在复数范围内解方程4x2x50,解集是
2
5.已知满足等式
0.
解:
所以等式成立。
1)计算
2)
3)计算:
2)
41;
求证:
对任意复数u,有恒等式
30
3u3
3)2n
z1、
2n
40
50
1,n
3040
7.设等比数列
50
;
4
3u31
434
3u2
3u
3u
3u22
1)求a,b的值;
z2
31
3kk
N*
是关于x的一元二次方程
z1、z2的最大值与最小值
3k1k
3k2k
tan
sin
cot
0的两个根,且
z1,z2,z3,Lzn,L其中z11,z2a
bi,z3b
ai
a,b
R,a0
2)试求使z1z2z3Lzn0的最小自然数
解:
3)对于
(2)中的n,求z,z2,z3,Lzn的值。
2bi
bai解之得:
32,b
12,且公比q23
z1
z2
z3L
zn
3)z,z2,z3,L
zn
z1
n
31
i
22
31
2
qqL
23i
66q
,所以最小自然数为
12
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- 高中数学 教师 系数 一元 二次方程