正弦定理和余弦定理详细讲解.docx
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正弦定理和余弦定理详细讲解
正弦定理.余弦定理农其应用
【高考风向】1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;
3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查.
【学习要领】1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合.
基础知识梳理
sinAsinB启=2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以
变形:
(1)a:
b:
c=sin_A:
sin_B:
sin_C;
(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
[难点正本疑点清源]
1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,
即在△ABC中,A>B?
a>b?
sinA>sinB;tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;在锐角三角形中,cosA 2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角; (2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 例1.已知在ABC中,c10,A45o,C30o,解三角形 B180°(AC)105°, 总结升华: 1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题; 2.数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式. 举一反三: 【变式1】在ABC中,已知A32.00,B81.8°,a42.9cm,解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理, C180°(AB)180°(32.0°81.8°)66.2°; 【答案】根据正弦定理a——―—,得a: b: csinA: sinB: sinC1: 2: 3. sinAsinBsinC 例2.在ABC中,b3,B60°,c1,求: a和A,C. 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角C, 然后用三角形内角和求出角 A,最后用正弦定理求出边a. 解析: 由正弦定理得: b c sinB sinC r尹a .小csinB1 ° sin60 1 .sinC b 迨 2 (方法一)•••0°C 180°, .C30°或C150°, 当C150°时,BC210°180°,(舍去); 当C30°时,A90°,.・.a,b2c22. (方法二)•••be,B60°,•••CB, •••C60°即C为锐角,•-C30°,A90° •a 总结升华: 1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题。 2.在利用正弦定理求角C时,因为sinCsin(180°C),所以要依据题意准确确定角C的范围,再求出角C. 3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍 类型二: 余弦定理的应用: 例3.已知ABC中,AB3、BC「37、AC4,求ABC中的最大角。 思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解 解析: •••三边中BC37最大,•BC其所对角A最大, 222222 ABACBC34(、37)1 根据余弦疋理: cosA-, ABgAC234 •/0°A180°,•A120° 故ABC中的最大角是A120°. 总结升华: 1.ABC中,若知道三边的长度或三边的关系式,求角的大小,一般用余弦定理; 2.用余弦定理时,要注意公式中的边角位置关系 举一反三: 【变式1】已知ABC中a3,b5,c7,求角C. 2b22_23272 【答案】根据余弦定理: c°sCabC53 2ab235 •/0°C180°,•C120° 【变式2】在ABC中,角代B,C所对的三边长分别为a,b,c,若 a: b: c6: 2: (31),求ABC的各角的大小. 【答案】设a,6k,b 2k,c.'31 根据余弦定理得: c°sB 2、3 1.6 45°; 同理可得A 60°; •C180° AB75° 【变式3】在 ABC中,若 a2b2 2 cbc,求角 A. 【答案】•-b2c2a2 bc, •cosA b2c2 a2 2bc •/0°A180°,•A 120° 类型三: 正、余弦定理的综合应用 求b及A. 例4.在ABC中,已知a2、3,c;6、2,B450, b,然后继续用 思路点拨: 画出示意图,由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边 余弦定理或正弦定理求角 解析: A. ⑴由余弦定理得: 2accosB =(23)2 (.62)2223C6.2)c°s450 =12('一62)243(-31) =8 •b22. ⑵求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: (法一: 余弦定理) (2•2)2C6、2)2(2-3)2 222bca •••c°sA bc 222(62) •A60°. (法二: 正弦定理) tsinA aS"B窮E0 又•••622.41.43.8, 2321.83.6 •••avc,即00vAv90°, •••A60°. 总结升华: 画出示意图,数形结合,正确选用正弦、余弦定理,可以使解答更快、更好. 举一反三: 【变式1】在ABC中,已知b3,c4,A135°.求B和C. 【答案】由余弦定理得: a23242234cos135o251^2, •a,251226.48 •C1800(AB)25053/. 【变式2】在ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若a2,b22, c.6、2,求角A和sinC 其他应用题详解 -、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) B.3akm D.2akm AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120=2a2-2a2X—1=3a2, •°AB=,3a. 答案B 2•张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东 A.22km C.33km BSab ZABS=180-75=105,所以/ASB=45°•由正弦定理知石^45,所以 有CE=25X2=50,CF=15X2=30,且ZECF=120; EF=CE2+CF2-2CECFcos120 =502+302-2X50X30cos120=70. 答案D 4. (2014济南调研)为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°测得塔基B的俯角为45°那么塔AB的高度是( B. 201+23m 解析如图所示,由已知可知,四边形CBMD为正方形,CB=20m,所以 BM=20m.又在Rt小MD中, DM=20m,ZADM=30°••AM=DMtan30. ••AB=AM+MB=203+20 =201+弘). 答案A 5. B姮 B.5 n5 D.5 (2013天津卷)在厶ABC中,/ABC=$AB^2,BC=3,贝Usin/BAC二() A迈 A.10 C3.10 C.10 解析由余弦定理AC2=AB2+BC2—2ABBCcosZABC=(: 2)2+32—2X〔;2 迈厂sinZABC3X2 x3X2=5,所以AC=*;5,再由正弦定理: sin/BAC=—acBC=—5—= 10. 答案C 6. 50km/h的速度由B向C行驶, (2014滁州调研)线段AB外有一点C,/ABC=60°AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以则运动开始多少h后,两车的距离最小() B. A69 A.43 D. C70 C.43 解析如图所示,设th后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则 AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200—80t,问题就是求DE最小时 t的值. 由余弦定理,得 222 DE2=BD2+BE2—2BDBEcos60 22 =(200—80t)2+2500t2—(200—80t)50t =12900t2—42000t+40000. 当t=70时,DE最小. 答案C 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得/ ABC=120°贝UA、C两地的距离为km. 100+400-2X10X20Xcos120=700, ••AC=107(km). 答案107 8.如下图,一艘船上午9: 30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10: 00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8(2nmile.此船的航速是nmile/h. 北 解析设航速为vnmile/h •'v=32(nmile/h). 答案32 的正东方向上,测得点A的仰角为60°再由点C沿北偏东15°方向走10米到位 置D,测得/BDC=45°则塔AB的高是. 解析在ABCD中,CD=10,/BDC=45°/BCD=15°+90°=105°/ —CDsin45°厂“BC_気厂_1^/2(米). _10;6(米). 答案10.6 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 10.(2014台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。 和30°,第一排和最后一排的距离为10;6米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗? 在RtAKBC中,AB=BCsin60=20^亨=30(米),所以升旗速度v=AB= 30… 50=0.6(米/秒)• 11. 如图,A、B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20
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