第1讲 全等三角形的性质和判定word版.docx
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第1讲全等三角形的性质和判定word版
第1讲全等三角形的性质与判定
【专题简介】
在我们的生活中,经常可以看到形状、大小完全图形,比如下面的两只大兔子图片,就给我们完全形象.这些图形在几何学中具有特殊的意义,是我们学习的一个重点内容,两个形状、大小完全相同的图形具有什么性质?
怎样判断两个图形的形状、大小完全相同?
我们以最简单的多边形——三角形为例研究开始这些问题.
【学习目标】
1.掌握全等三角形的定义和性质
2.掌握全等三角形的判定定理
3.利用全等三角形的性质和判定完成几何证明
模块一全等三角形的定义和性质
一、全等三角形的定义
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合,我们称能够完全重合的两个图形叫做全等图形;同样的,能够完全重合的两个三角形叫做.
一个图形经过平移、翻折、旋转,位置变化了,但是形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形是全等.
两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.如图,△ABC和△DEF全等,记为△ABC≌△DEF,其中,点A和点D,点B和点E,点C和点F是;AB和DE,BC和EF,AC和DF是;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是____________.
注意:
“全等”用“≌”符号表示,用它表示两个三角形全等时,对应顶点字母一定要写在对应的位置上
二、全等三角形的性质
全等三角形的性质有:
(1)全等三角形的对应边相等
(2)全等三角形的对应角相等
(3)全等三角形的周长相等
(4)全等三角形的面积相等
【例1】
(1)如图,△ABC≌△AEF,AB和AE,AC和AF是对应边,那么∠EAF=()
A.∠ACBB.∠BACC.∠FD.∠CAF
(2)下列语句:
①顶角、底角相等的两个等腰三角形一定全等;②两个等边三角形一定是全等图形;③如果两个三角形全等,它们的形状和大小一定都相同;④三个角一一对应相等的两个三角形全等。
其中错误的说法有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【练1】
(1)如图,已知△ABD≌△CDB,且∠ABD=40°,∠CBD=20°,则∠A的度数为
(2)如图所示,D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数是
模块二全等三角形的判定
我们知道如果△ABC≌△A’B’C’,那么它们的对应边相等,对应角相等,反过来,如果△ABC和△A’B’C满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A’B’,AC=A’C’,BC=B’C’,∠A=∠A’,∠B=∠B’,∠C=∠C’,这六个条件,就能保证△ABC≌△A’B’C’,但这6个条件毕竟太多,我们现在要思考的问题是,如果△ABC和△A’B’C’满足上述条件的一部分,那么能否保证△ABC和△A’B’C’全等?
探究1:
先任意画一个△ABC,再画一个△A’B’C’,使两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个,能保证△ABC和△A’B’C’一定全等吗?
探究2:
先任意画一个△ABC,再画一个△A’B’C’,使AB=A’B’,AC=A’C’,BC=B’C’,把画好的△A’B’C’剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
和△A’B’C’一定全等吗?
作法:
1.画线段BC=B’C’=BC,2.分别以B’、C’为圆心,AB、AC为半径画弧,两弧交于A’,连结A’B’,A’C’
由探究2我们可以得到:
三边对应相等的两个三角形全等(可简写为“边边边”或“SSS”)
【例2】如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架,求证:
△ABD≌△ACD
由前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法
【练2】已知∠AOB,求作∠A’O’B’=∠AOB
作法:
1.以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA、OB于点C、D;2.画一条射线O’A’,以O’为圆心,OC为半径画弧,交O’A’于C’,3.以点 C’为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧交于点D’,3.过D’画射线O’B’,则∠A’O’B’=∠AOB
像这样只用无刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图,想一想,为什么这样作出的∠A’O’B’和∠AOB相等
探究3:
先任意画一个△ABC,再画一个A’B’C’,使A’B’=AB,A’C’=AC,∠A
=∠A’,把画好的△A’B’C’剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
作法仿前
由探究3我们可以得到:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写为“边角边”或“SAS”)
【例3】如图,有一池塘,要测量池塘两端AB的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么DE的长就是A、B的距离,为什么?
【练3】我们知道,两边和它们的夹角相等的两个三角形全等。
那么由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能否判定两个三角形全等吗?
为什么
可以通过用尺规画出反例来否定这个结论
作法1作∠MAN,2.在AM上取点B,在AN上取点C,(注意使BC不与AN垂直),3.以B为圆心,BC为半径作圆,交AN于D,则BC=BD
探究4:
先任意画一个△ABC,再画一个A’B’C’,使A’B’=AB,∠B’=∠B,∠A=∠A’,(即使两角和它们的夹边对应相等),把画好的△A’B’C’剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
作法:
由探究4我们可以得到:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写为“角边角”或“ASA”)
探究5:
如图在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC和△DEF全等吗?
因为“三角形的内角行等于180°,”可以证明∠C=∠F,又已知BC=EF,∠B=∠E,所以△ABC≌△DEF
由探究5我们可以得到:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写为“角角边”或“AAS”)
探究6:
先任意画一个RT△ABC,再画一个RT△A’B’C’,使B’C’=BC,∠C’=∠C=90°,A’B’=AB,,把画好的RT△A’B’C’剪下,放到RT△ABC上,它们全等吗?
作法:
由探究6我们可以得到:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写为“斜边、直角边”或“HL”)
通过上面的探究,我们得到全等三角形有5大判定方法,根据边角的条件可以作出如下总结:
已知条件
是否全等
结论
三边
是
SSS
两边一角
两边及夹角
是
SAS
两边及对非直角
否
无
两边对直角
是
HL
两角一边
两角及夹边
是
ASA
两角及对边
是
AAS
三角
否
无
一次全等证明
【例4】如图,已知AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:
∠A=∠D
【练4】如图,C为BE上一点,点A、D分别在BE两侧,AB∥ED,AB=CE,BC=ED,求求证:
AC=CD
【例5】如图,AB∥CD,AF∥ED,BE=CF,求证:
AB=CD
【练5】如图,已知AB∥CD,∠A=∠C,求证:
AD=BC,AB=CD
强化挑战
二次全等证明
先证一次全等三角形,利用其相等的对应边或角证明下一对全等三角形
【例6】如图,已知AB=DC,AC=DB,求证:
OA=OD
【练6】在△ABC看,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=DF,求证:
AB=AC
【例7】如图,AD∥BC,∠B=∠C,求证:
AB=CD
【练7】如图,已知DE⊥AC,BF⊥AC,AD=BC,DE=BF,求证:
AB∥DC
【例8】如图,B是线段线段AE上一点,分别以AB、BE为边作正△ABC和正△BEF,边CE、AF交天G,AF交BC于P,CE交BF于Q,连PQ(正三角形即等边三角形,三边相等,三个角也相等)
(1)求证CE=AF
(2)∠AGC=600,(3)PQ∥AE
【练8】如图,在△ABC中,点D为BC的中点,点E为AB上一点,DF⊥DE交AC于F,延长ED到G,使ED=GD。
(1)求证:
BE=CG,
(2)BE+CF>EF
【例9】如图,书籍AD=AE,BD=CE,CD、BE交于点O,连OA,求证:
∠OAB=∠OAC,
【练9】如图所示,已知AB=DC,AE=DF,CE=BF,求证:
AF=DE
探究思考
思考:
全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的角平分线是否相等?
【例10】若两个三角形两边以及第三边上的中线分别对应相等,则两个三角形是否全等?
【练10】
(1)若两个三角形两边以及第三边上的高分别对应相等,则两个三角形是否全等?
(2)若两个三角形两边以及夹角的平分线分别对应相等,则两个三角形是否全等?
【习1】如果△ABC≌△A’B’C’,且∠BCA=300,则∠B’C’A’=___________.
【习2】已知△ABC≌△BAD,AB=7,BC=12,AC=9,则BD=__________.
【习3】如图,AB=CD,若根据SSS证得△ABC≌△CDA,需要添加一个条件是___________.
【习4】如图OA=OC,OB=OD,且OA⊥OB,OC⊥OD,下列结论:
①△AOD≌△COB,②CD=AB③∠CDA=∠ABC,其中正确的结论是___________.
【习5】在△ABC他△DEF中,下列各组条件中,不能判定两个三角形全等的是()
A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠FB.AB=EF,∠A=∠E,∠B=∠F
C.AC=DF,BC=DE,∠C=∠DD.∠A=∠F,∠B=∠E,AC=DE
【习6】如图,∠A=∠D=900,AC=DB,欲证OB=OC,先利用“HL”说明,得到AB=DC,再利用,证明△AOB≌,得到OB=OC
【习7】如图,E、F为线段AB上两点,且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证:
∠C=∠D
【习8】如图,AB=AC,BD=CD,求证:
∠1=∠2
【习9】如图,已知D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE,求证:
BC=AE
【习10】如图,∠B=∠E=900,AC=DF,FB=EC,求证:
AB=DE
【习11】如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD
(1)求证:
∠BAC=∠EAD,
(2)探究∠ACD、∠CAD、∠AED三者间的关系
【习12】如图,四边形ABCD中,∠ABD=∠ACD=900,BD=CD,求证:
AD⊥BC
【习13】如图,已知∠A=900,AB=BD,ED⊥BC于D,求证:
DE+CE=AC
【习14】如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,试证明:
CE=DF
【习15】如图,已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC,∠ACB=900,,AE⊥EF于E,BF⊥EF于F,求证:
EF=AE+BF
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