全等三角形与等腰三角形的应用.docx
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全等三角形与等腰三角形的应用
全等三角形与等腰三角形的应用
一:
线段的相等
1:
若所证线段恰好是两个三角形的边,则证这两条线段所在的三角形全等。
?
2:
若所证线段是同一三角形的边,则证此三角形是等腰三角形;也可通过证中垂线得出结论。
3:
上面两种方法无法解决问题时,要用构造法来解题。
例1:
如图点A,B,C在一直线上,DC?
AC,AE∥CD,AD⊥BE,垂足为F,
AB=CD:
求证:
AE=AC
例2:
如图1,已知C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边△,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O;求证:
(1):
AE=BD
(2):
∠AOB=120°(3):
CM=CN。
引伸1:
若M,N分别是DB,AE中点,△MCN是等边三角形吗?
若是,请证明,若不是,请说明理由。
(图2)
引伸2:
若△ECB绕点C顺时针旋转α度,例2中的结论成立吗?
若成立,请给于证明;若不成立,请说明理由。
图1
D
图2
例3:
如图,已知在△ABC中,
D为AC上一点,且DC=(1/2)AD,∠ADB=60
∠C=45°,AE⊥BD于E,求证:
EA=EB=EC。
例4:
如图,已知AB=ADAC于F,且AF平分BD,
连接
CE;
,AC=AE,∠BAC=∠DAE,GE交AD于G。
求证:
CG=GE。
C
例5:
已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB
分别与线段CF,AF相交于P,M;
(1):
求证:
AB=CD;
(2):
若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由。
例6:
如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证CD=BE,△AMN是等边三角形;
(1):
当把△ADE绕A点旋转到图若不成立,请说明理由;?
(2):
当△ADE绕点A旋转到图3出证明,若不是,请说明理由。
2的位置时,
的位置时,△
CD=BE是否仍然成立?
若成立,请证明
AMN是否还是等边三角形?
?
若是,请给
图2
图1
例7:
以△ABC的边AB,等腰直角三角形ACF,使∠EAB=90AD⊥BC于点D,反向延长AD,交EF于点G;求证:
EG=FG。
AC向形外同侧作等腰直角三角形
°,∠FAC=90°,连接
图3
例8:
如图,D是正△ABC的边BC所在直线上任意一点,作∠ADG=60度,与∠ACB外角的平分线交于点G
(1):
求证:
AD=DG
(2):
若点D在BC的延长线,
(1)中的结论是否成立?
若成立,给于证明;若不成立,请说明理由。
(3):
若点D在CB的延长上,
(1)中的结论是否成立?
若成立,给于证明;若不成立,请说明理由。
例9:
△ABC中,AD是∠A的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠BAF=180°,DE与DF有什么关系?
证明你的结论。
例10:
如图,在△ABC中,D为BC中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E,EF⊥AB于F,EG⊥AC交AC的延长线于G,那么BF和CG相等吗?
证明你的结论。
例11:
已知,如图:
AB⊥BC,DC⊥BC,MA=MD,∠AMB=75
BM
∠DMC=45度,求证:
AB=BC
例12:
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点,且∠DAC=∠DCA=15°,
求证:
BD=BA。
A
:
角的相等
1:
若所证相等两角恰好是两个三角形的内角,则证这两角所在三角形全等。
2:
若两角所在三角形不全等,则变更命题后再利用全等三角形达到证题目的。
3:
若所证相等两角恰好是同一个三角形的内角,则利用等边对等角证相等。
4:
我们也可利用到角两边相等的点在这个角的平分线上证角的相等?
5:
有时,我们也用构造法达到证题目的。
例1:
如图,己知在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,EF⊥AD,
垂足是G,交BC的延长线于点F,求证:
∠CAF=∠B
例2:
如图,已知AD是△ABC的角平分线,E是AB上一点,且AE=AC,EF∥BC交AC于点F;求证:
EC平分∠DEF
例3:
如图,C为线段AE上一点,分别以AC,CE为边在AE的同侧作等边三
角形ABC和等边三角形CDE,连AD,BE交于F,
求证:
CF平分∠AFE
引伸1:
若△CDE绕点C旋转,其余条件不变,CF平分∠AFE吗?
引伸2:
若以△ABC的边AB,AC向形外作等腰直角△ABD与等腰Rt△ACE,连结DC,BE,DC,BE相交于点F,AF平分∠DFE吗?
若平分,请证明;若不平分,请说理由。
Rt垂直全等。
例4:
如图己知AB=AC,∠ABC=∠ACB=45是AC的中点,AD⊥BM,垂足为F,求证:
∠AMB=∠CMD:
三:
垂直
1:
垂直问题一般转化为证角相等。
2:
证两直线夹角为直角,往往证夹角所在三角形与已知3:
等腰三角形性质:
三线合一。
例1:
如图,己知BD,CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证:
AP⊥AQ
例2:
如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,D是AC的中点,连结BD,作∠ADF=∠CDB,连结CF交BD于E,求证:
BD⊥CF
例3:
如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,E是
AD上一点,且EA=EC,求证:
EB⊥AB
例4:
已知在△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC,求证:
△ABC是直角三角形。
例5:
如图,已知在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,E,F
分别是
AB,AC上的点,BD=CF,CD=BE,G为EF中点;求证:
DG⊥EF
例6:
如图,已知在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,延长CA到E,
使AE=AD;
求证:
ED⊥BC
例7:
以△ABC的边AB,AC为边向同侧作等腰Rt△ABE,等腰Rt△ACF,
G为EF中点,求证:
GA⊥BC。
四:
线段的倍,分
线段的倍,分我们常见的的是2倍或(1/2)关系,我们就重点研究它。
常见的方法是:
(1):
加倍法:
①:
倍长法。
中位线法。
2):
折半法:
①:
取中法。
③:
Rt△法。
由于有的知识点我们没有学到,有的方法我们还不会用,下面的例题我们只能根据现有的知识选取。
例1:
如图△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,过C向BD
的延长线作垂线,垂足为E,
求证:
BD=2CE
例2:
已知:
如图,△ABC中,E为BC边的中点,D为BC
延长线一点,且∠BAE=∠D,∠BAC=∠ACB,求证:
AD=2AE
例3:
如图,等腰△ABC中,AB=AC,D为AB中点,延长AB至E,使BE=AB
求证:
CE=2CD
例4:
已知,如图,△ABC中,AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE相交于P,BQ⊥AD于Q
求证:
BP=2PQ
例5:
已知如图:
在Rt△ABC中,∠B=90°,AD是∠BAC的角平分线,过点D作DE⊥AC,DE恰好是∠ADC的平分线,
1
求证:
BD=DC
2
五:
线段的和,差(a=b+c)1:
分解法:
将a分成两段,分别证这两段与b,c相等。
2:
截长法:
在a上截取m=b,证剩下的一段n=c。
3:
补短法:
延长b,使延长部分m=c,然后证a=b+m或延长b(延长部分为m),使a=b+m,
然后证c=m。
4:
面积法:
把a,b,c看作三角形的高或底,利用面积的和或差来证
(2):
如图2,过点A的直线与斜边BC相交时,其它条件不变,你能得出什么结论?
请给出证明。
例5:
如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60∠BCD=120°,
求证:
AC=BC+DC
例8:
如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD=AE,AF⊥BE交BC于F,过F作FG⊥CD交BE延长线于G,求证:
BG=AF+FG
例9:
等腰垂直ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于
F,CG⊥AB于G,猜想线段DE,DF,CG间的数量关系并证明你的猜想。
引伸1:
若点D是BC延长线上一点,例9中的结论成立吗?
若不成立,DE,DF,CG有怎样的数量关系?
证明你的猜想。
引伸2:
若点D是等边△ABC内一点,它到各边的距离为DE,DF,DG,则DE,DF,DG
七:
不等关系
1:
理论依据:
三角形中任两边之和大于第三边,任两边之差小于第三边。
2:
主要思路:
将分散的线段集中于同一三角形。
例1:
D为△ABC外一点,且∠DBC<∠ACB,∠DCB<∠ABC;求证:
AB+AC>DB+DC
引伸:
如图,若BDEC为折线,且∠DBC<∠ACB,
∠DCB<∠ABC,则AB+AC>BD+DE+EC
例3:
AE是△ABC的角平分线,AB>AC,D为AD上任一点,连结DB,DC;
求证:
AB-AC>DB-DC
例4:
AE是△ABC中∠A外角的平分线,意一点,连结DB,DC;求证B+DC>AB+AC
例5:
如图,已知△ABC;
(1):
请你在BC边上分别取两点D,E(BC的中点除外),连接AD,AE,写出此图中只
存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示面积相等的三角形;
(2):
请你根据
(1)成立的相应条件,证明:
AB+AC>AD+AE
八:
开放性问题
例1:
如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块直角三角板DEF的直角顶点D放到在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角
板DEF绕D点按逆时针方向旋转;
(1):
在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N:
①:
证明:
DM=DN②:
在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?
若发生变化,请说明是如何变化的,若不发生变化,求出其面积。
(2):
继续旋转至图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。
(3):
继续旋转如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?
请写出结论,不用证明。
例2:
已知:
△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F,
例3:
如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC且AC=BC,△EFD的边PF也在直线
l上,边EF与边AC重合,且EF=FP;
(1):
在图1中,请你通过观察,测量,猜想并写出AB与AP所满足的关系。
(2):
将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ,猜想并写出BQ与AP所满足的关系,并证明你的猜想。
(3):
将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ,你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的关系还成立吗?
若成立,给出证明,若不成立,请说明理由。
例4:
如图一,OP是∠MON的角平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴
的全等三角形,请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1):
如图二:
在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F,请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2):
如图三,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明,若不成立,请说明理由。
例5:
我们知道:
有两条边相等的三角形叫等腰三角形,类似地,我们定义:
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形;
(1):
请写一个你学过的特殊四边形中是等边四边形图形的名称;
(2):
如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,设CD,BE相交于点O,若∠A=60°,
1
∠DCB=∠EBC=∠A,请你写出图中一个与∠A相等的角,并猜想图中哪个四边形是等
2
对边四边形;
(3):
在△ABC中,如果∠A不是60度的锐角,点D,E分别在AB,AC上,设CD,BE相交于点O,若角DCB=∠EBC=(1/2)角A,探究:
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论。
例6:
在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G,一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直
线上,另一条直角边恰好经过点B;
(1):
在图1中请你通过规察,测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2):
当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在一条直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E,此时请你通过规察,测量DE,DF,与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3):
当三角尺在
(2)的基础上沿AC中方继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立?
(不用说明理由)
例7:
已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G;
1):
求证:
BF=AC;
1
2):
求证:
CE=BF;
2
3):
CE与BG的大小关系如何?
试证明你的结论。
例8:
将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开得到图①中的两张三角形胶片△ABC和
△DEF,将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时
AC与DF相交于点O;
(1):
当△DEF旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是;
(2):
当△DEF继续旋转至如图③时,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由;
(3)
:
在图③中,连接BO,AD,探索BO与AD之间有怎样的位置关系,并证明。
例9:
将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图1方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F;
(1):
求证:
AF+EF=DE;
(2):
若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其它条件不变,请在图2中画出变换后的图形,并直接写出
(1)中的结论是否仍然成立;
(3):
若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其它条件不变,如图3,你认为
(1)中的结论还成立吗?
若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF,BF与DE之间的关系,并说明理由。
例10:
平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN.过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.当点E与点A重合时(如图1),易证:
AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,上述结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明.
九:
最值与定值
例1:
牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC,BD,且AC=BD,若A到河岸CD中点的距离为500m,
(1):
牧童从A处牧牛到河边饮水后再回家,试问在何处饮水所走路程最短?
(2):
最短路程是多少?
CD
例2:
如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。
B
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