matlab74汉明码和74循环码的编程设计.docx
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matlab74汉明码和74循环码的编程设计
二、创新实验设计
创新实验一:
(7,4)汉明码的编码与译码实现
1、实验目的
实现(7,4)汉明码的编码与译码,通过这次实验不但加深了对汉明码编码和译码原理了解,而且对线性分组码有所了解。
2、实验原理
线性分组码的构造方法比较简单、理论较为成熟,应用比较广泛。
汉明码是一种能够纠正一个错码的效率比较高的线性分组码,下面以(7,4)码为例就汉明码的编码与译码分别进行介绍:
(1)编码原理
一般来说,若汉明码长为n,信息位数为k,则监督位数r=n-k。
若希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置,则要求
或
设汉明码(n,k)中k=4,为了纠正一位错码,由式
(1)可知,要求监督位数r≥3。
若取r=3,则n=k+r=7。
这样就构成了(7,4)码。
用
来表示这7个码元,用
的值表示3个监督关系式中的校正子,则
的值与错误码元位置的对应关系可以规定如表1所列。
表2.1校正子和错码位置的关系
错码位置
错码位置
001
101
010
110
100
111
011
000
无错码
则由表1可得监督关系式:
在发送端编码时,信息位
的值决定于输入信号,因此它们是随机的。
监督位
、
、
应根据信息位的取值按监督关系来确定,为使所编的码中无错码,则
等于0,即
方程组(5)可等效成如下矩阵形式
式(6)可简化为
,H为监督矩阵,则由式(6)可得到监督矩阵
因为生成矩阵
,所以由(7)得生成矩阵G如下:
然后利用信息位和生成矩阵G相乘产生整个码组,即有
其中A为整个码组矩阵,
是信息位。
根据上述原理可以得到(7,4)汉明码的整个码组。
(2)译码与检错、纠错原理
当数字信号编码成汉明码后,由于信道噪声的存在,使得经过信道后的汉明码会发生差错,使得接收端接收到错码,因此需要多错码进行纠正,以提高通信系统的抗干扰能力及可靠性。
下面分析纠错译码原理。
设B为接收码组,它是一行7列的矩阵,即
,B中可能含有错码,错误图样
,在E的表达式中,有
若
,表示该码元没错;若
,表示该码元为错码。
由
得
(9)表示接收码组和错误图样之和等于正确码组U,通过(9)式就可以实现纠错。
可以用标准阵来表示所有可能的
个n元码组的接收矢量,(n,k)码的标准阵形式如下:
应该注意到,码组
(全0码字)起两个作用:
既是其中一个正确码组,也是错误图样
代表
所在行没有错误。
标准阵中的
是陪集首,陪集首的选择是有规定的,第j行的陪集首是在前j-1行中没有出现的最小码组,即错误图样E,如果不选错误图样作为陪集首,译码将会产生错误。
对于(7,4)汉明码,其最小码重是3,设码的纠错能力为t,根据公式
得该码的纠错能力为1,即能纠错一位错码。
由于根据完备码的定义有
将(7,4)码代入(12)可以得知,(7,4)汉明码为完备码组,只能纠错和检错一位错码。
对于正确码组A而言,有
当接收到错码变成码组B时,有
其中S为校正子所构成的校正矩阵,由于S和E如(11)所示的一一对应的关系,对于(7,4)码,错误图样与伴随式的对应关系如下
表2.2伴随式查询表
错误图样
伴随式
0000000
000
00000001
001
0000010
010
0000100
100
0001000
011
0010000
101
0100000
110
1000000
111
通过伴随式查询表,可以由伴随式得到错误图样,从而实现检错,进而实现纠错。
3、实验内容
由于编码涉及到矩阵的运算,而matlab在处理矩阵运算方面有独特优势,所以这次选择用matlab工具来实现(7,4)汉明码的编码和译码。
(7,4)码的编码比较简单,已知监督矩阵H,可以通过函数求生成矩阵G,然后信息位和生成矩阵G相乘就可得到所有的码组,(7,4)汉明码的编码程序如下:
%%%(7,4)汉明码编码——2012.11.10
clearall;
clc;
H=[1110100;
1101010;
1011001];%(7,4)码的监督矩阵
G=gen2par(H)%(7,4)码的生成矩阵
m=[0000;0001;0010;0011;0100;
0101;0110;0111;1000;1001;
1010;1011;1100;1101;1110;1111];%%所有的信息位
U=[rem(m*G,2)];
disp('(7,4)汉明码的编码结果:
');
disp(U);
由原理分析可知,要实现纠错和检错译码,关键在于伴随式查询表,因此如何实现伴随式查询表是编程的关键,(7,4)汉明码的译码程序如下:
%%%下面是(7,4)码译码
A=input('请输入接收码组:
');
[r,l]=size(A);
E=[0000000;0000001;0000010;0000100;0001000;0010000;0100000;1000000];
%%%%%求校正子,然后将其转化成十进制数
fori=1:
r
Sx=S(i,1)*4+S(i,2)*2+S(i,3);
end
%%%%下面是(7,4)码检错
fori=1:
r
switch(Sx)
case0
disp('此接收码字没错')
case1
disp('注意:
此接收码字的第一位有错,请纠正')
case2
disp('注意:
此接收码字的第二位有错,请纠正')
case4
disp('注意:
此接收码字的第三位有错,请纠正')
case3
disp('注意:
此接收码字的第四位有错,请纠正')
case5
disp('注意:
此接收码字的第五位有错,请纠正')
case6
disp('注意:
此接收码字的第六位有错,请纠正')
case7
disp('注意:
此接收码字的第七位有错,请纠正')
end
end
%%%下面为在知道哪位出错的情况下,进行纠正
fori=1:
r
switch(Sx)
case0
B(i,:
)=A(i,:
)+E(1,:
);
case1
B(i,:
)=A(i,:
)+E(2,:
);
case2
B(i,:
)=A(i,:
)+E(3,:
);
case4
B(i,:
)=A(i,:
)+E(4,:
);
case3
B(i,:
)=A(i,:
)+E(5,:
);
case5
B(i,:
)=A(i,:
)+E(6,:
);
case6
B(i,:
)=A(i,:
)+E(7,:
);
case7
B(i,:
)=A(i,:
)+E(8,:
);
end
end
B=rem(B,2);
disp('纠错后的码字');
disp(B);
由于可能在纠错过程中会产生错误,在此,我们设计了检错纠错是否产生错误的程序,程序如下:
%%%%下面为检查纠错是否产生错误
k=1;
fork=1:
16
if(U(k,:
)==B)
flag=1;
break
end
end
ifflag==1
disp('纠错无误');
else
disp('注意:
纠错有误,请检查')
End
由于译码的目的就是找出信息位c,所以,需要从纠错后的码组中提取出信息位,提取信息位的程序如下:
%%%下面为提取码的信息位
forj=1:
4
c(:
j)=B(:
j);
end
disp('信息位c如下:
')
disp(c)
4、实验结果分析
运行编码程序后,得到如下结果
通过理论计算,可以得出实验结果和理论编码结果吻合,可以发现,(7,4)码的最小码重是3。
当接收码组为[1101100]时,译码结果如下
运行程序后,可以看到:
当接收码组为[1101100]时,会出现“注意:
此接收码字的第六位有错,请纠正”的提示,在程序中,为防止纠错错误,我设置了纠错后的码和编码结果的比较,如果纠错后的码和编码结果当中的某个码组相同,说明纠错无误,否则纠错有误。
当接收码组为[1101100]时,经过纠错后出现纠错无误的结果,说明纠错后的码是正确码组。
然后提取纠错后的码组的信息位c,从运行结果可以看出,c=1001。
当接收码组为[0101101]时,运行结果如下:
此接收码组本来就是一个正确码组,所以通过运行程序后,会出现“此接收码字没错”的提示,纠错后的码字和接收的码组是相同的,检查到纠错无误,然后提取信息位c,信息位c=0101,整个译码完成。
5、改进建议
(7,4)汉明码的编码与译码相对比较简单,可以通过matlab编程实现对信道编码性能的分析,可以编程实现比较编码后的误码率和没编码的误码率,也可以编程实现在有噪声的情况下来进行译码。
创新实验二:
(7,4)循环码的编码与译码
1.实验编码原理:
根据循环码的代数性质建立系统编码的过程,可以把消息矢量用如下多项式表示:
要编码成系统循环码形式,把消息比特移入码字寄存器的最右边k位,而把监督比特加在最左边的n-k个中,则要用
乘以m(x)得到
m(x)=
m(x)=q(x)g(x)+p(x),其中p(x)可以表示为
p(x)=,则p(x)+
m(x)
=+
另U(x)=p(x)+
m(x),则U=(
,
,
,···,
,
,
,···,
)。
本实验根据以上原理,用matlab实现书上例6.8系统形式的循环码,生成多项式为g(x)=
2.实验译码原理:
译码的实验原理g(x)=,在(n,k)循环码中,由于g(x)能除尽,因此
可分解成g(x)和其他因式的乘积,记为
即可写成
即h(x)=
则
=,其中
式h(x)的逆多项式。
监督矩阵多项式可表示为
,
3.(7,4)循环码的编码(4位)的程序:
clear;
clc;
a=input('请输入消息矢量:
');
%高次项系数在前的生成多项式
Gx=[1011];
%将数组a的高位依次放在数组Data的低位
Data=zeros(1,7);
Data
(1)=a(4);
Data
(2)=a(3);
Data(3)=a
(2);
Data(4)=a
(1);
%Data除以Gx得到余数Rx
[Qx,Rx]=deconv(Data,Gx);
b=Rx+Data;
%将数组b的高位放在后面
c=b
(1);
b
(1)=b(7);
b(7)=c;
c=b
(2);
b
(2)=b(6);
b(6)=c;
c=b(3);
b(3)=b(5);
b(5)=c;
%将数组b校正
fori=1:
7
ifrem(abs(b(i)),2)==0
b(i)=0;end
end
fori=1:
7
ifrem(abs(b(i)),2)==1
b(i)=1;end
end
disp('输入序列:
');
a
disp('编码输出序列:
');
b
程序运行结果为:
改变输入序列
运行结果的编码如下:
序号
输入序列
输出序列
序号
输入序列
输出序列
1
0000
0000000
9
1000
1101000
2
0001
1010001
10
1001
0111001
3
0010
1110010
11
1010
0011010
4
0011
0100011
12
1011
1001011
5
0100
0110100
13
1100
1011100
6
0101
1100101
14
1101
0001101
7
0110
1000110
15
1110
0101110
8
0111
0010111
16
1111
1111111
4.相对应的译码和纠错(7位)程序:
clear;
clc;
r=[1001111];
h=[1,0,0;1,1,0;1,1,1;0,1,1;1,0,1;0,1,0;0,0,1];
b=flipud(h);
s=r*b;
fori=1:
3
ifrem(abs(s(i)),2)==0
s(i)=0;end
end
fori=1:
3
ifrem(abs(s(i)),2)==1
s(i)=1;end
end
ifs==[000]
e=[0000000];
elseifs==[100]
e=[0000001];
elseifs==[110]
e=[0000010];
elseifs==[111]
e=[0000100];
elseifs==[011]
e=[0001000];
elseifs==[101]
e=[0010000];
elseifs==[010]
e=[0100000];
elses==[001]
e=[1000000];
end
u=r+e;
fori=1:
7
ifrem(abs(u(i)),2)==0
u(i)=0;end
end
fori=1:
7
ifrem(abs(u(i)),2)==1
u(i)=1;end
end
Data=zeros(1,4);
Data
(1)=u(4);
Data
(2)=u(5);
Data(3)=u(6);
Data(4)=u(7);
ife==[0000000]
disp('没有错误:
')
k=0,else
disp('第几位错误:
')
k=find(e)
;end
disp('接收码字')
r
disp('译码输出序列:
')
Data
第几位错误:
k=5
接收码字
r=1001111
译码输出序列:
Data=1011
以上编码有个缺点,就是它只能对一个消息矢量(4位)进行编码,我又在这个基础上编写了一个可以同时对位数是4的倍数的消息矢量进行编码。
5.多位循环码(4的倍数)的编码程序如下:
clear;
clc;
a=[11001011];
[X,N]=size(a);
%将信息码分为M帧,1帧4个信息码
M=ceil(N/4);
d=zeros(1,4);
b=zeros(1,7*M);
Data=zeros(1,7);
fork=1:
M
forj=1:
4
d(j)=a(j+(k-1)*4);end
%生成多项式
Gx=[1011];
Data
(1)=d(4);
Data
(2)=d(3);
Data(3)=d
(2);
Data(4)=d
(1);
%Data除以Gx得到余数Rx
[Qx,Rx]=deconv(Data,Gx);
e=Rx+Data;
b(7*k-6:
7*k)=e(1:
7);
c=b(1+(k-1)*7);
b(1+(k-1)*7)=b(7+(k-1)*7);
b(7+(k-1)*7)=c;
c=b(2+(k-1)*7);
b(2+(k-1)*7)=b(6+(k-1)*7);
b(6+(k-1)*7)=c;
c=b(3+(k-1)*7);
b(3+(k-1)*7)=b(5+(k-1)*7);
b(5+(k-1)*7)=c;
end
fori=1:
M*7
ifrem(abs(b(i)),2)==0
b(i)=0;end
end
fori=1:
M*7
ifrem(abs(b(i)),2)==1
b(i)=1;end
end
disp('输入序列:
');
a
disp('编码输出序列:
');
b
程序运行结果如下:
输入序列:
a=
11001011
编码输出序列:
b=
Columns1through13
1011100100101
Column14
1
6.多位译码(7的倍数)纠错程序:
clear;
clc;
r=[10011001001001];
[X,N]=size(r);
%将接收到的码分为M帧,1帧7个信息位
M=ceil(N/7);
h=[1,0,0;1,1,0;1,1,1;0,1,1;1,0,1;0,1,0;0,0,1];
b=flipud(h);
d=zeros(1,7);
U=zeros(1,4*M);
Data1=zeros(1,7*M);
Data=zeros(1,7*M);
fori=1:
M
forj=1:
7
d(j)=r(j+(i-1)*7);end
s=d*b;
fork=1:
3
ifrem(abs(s(k)),2)==0
s(k)=0;end
end
fork=1:
3
ifrem(abs(s(k)),2)==1
s(k)=1;end
end
ifs==[000]
e=[0000000];
elseifs==[100]
e=[0000001];
elseifs==[110]
e=[0000010];
elseifs==[111]
e=[0000100];
elseifs==[011]
e=[0001000];
elseifs==[101]
e=[0010000];
elseifs==[010]
e=[0100000];
elses==[001]
e=[1000000];
end
u=d+e;
fork=1:
7
ifrem(abs(u(k)),2)==0
u(k)=0;end
end
fork=1:
7
ifrem(abs(u(k)),2)==1
u(k)=1;end
end
Data(1+7*(i-1))=e
(1);
Data(2+7*(i-1))=e
(2);
Data(3+7*(i-1))=e(3);
Data(4+7*(i-1))=e(4);
Data(5+7*(i-1))=e(5);
Data(6+7*(i-1))=e(6);
Data(7+7*(i-1))=e(7);
U(1+(i-1)*4)=u(4);
U(2+(i-1)*4)=u(5);
U(3+(i-1)*4)=u(6);
U(4+(i-1)*4)=u(7);
end
ifData==Data1
disp('没有错误:
')
m=0,else
disp('第几位错误:
')
m=find(Data)
;end
disp('接收到的码字:
');
r
disp('译码输出序列:
');
U
运行结果:
第几位错误:
m=313
接收到的码字:
r=Columns1through13
1001100100100
Column14
1
译码输出序列:
U=11001011
若把接受序列r改为r=[1011001],即1100的编码1011100的第5位和第7位同时该变,则运行结果为:
第几位错误:
m=4
接收到的码字:
r=
1011001
译码输出序列:
U=
0001
而0001的编码为1010001
分析总结:
这两组实验基本上完成了循环码的编码和译码,但是该实验的缺点就是不能同时对7位信息码进行两位的纠错,即只能完成一位信息码的纠错。
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