量子力学曾谨言习题解答第九章.docx

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量子力学曾谨言习题解答第九章

第九章：

定态微扰论

[1]设非简谐振子的哈密顿量为：

（

为常数）

取

，

，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。

（解）一级能量本征值修正量：

本题是一维、无简并的，按本章§9.1公式

，从§3.3知道一维谐振子波函数是：

，

但

（1）

（2）

但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而

必定是个偶函数。

（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：

一级波函数修正值：

据§9.1公式[12b]

（3）

微扰矩阵元

要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于

的一个递推公式（

，问题2）：

（4）

将此式遍乘

，再重复使用（4）

再将此式遍乘

，重复使用（4）式

=

（6）

利用公式（6）来计算微扰矩阵元

：

将（6）式中的

换成

代入前一式，并注意

是正交归一化的，即

是固定指标，故

只有当

取下述四值时不为零，即

但要注意，当

取用一个值时，就不能再取其他值，所以

取定后

的非零值是（7）式中某个

的系数。

（3）的求和是式只有四项。

有：

，

，

，

（9）

将（7）和（9）所决定的诸值代入（3）

二能级量本征值修正量：

按二级近似式是

（11）

其中

，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项：

[2]一维无限深势阱（

）中的粒子受到微扰：

的作用，求基态能量的一级修正。

图345

（解）本题是一维无简并问题，无微扰时的能量本征函数

（1）

能量本征值

（2）

对基态

，计算能量的一级修正量时，因微扰

是分段连续的，因而要求两个积分式的和

利用定积分公式：

（4）

代入（3）；得

附带地指出：

对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K个激发态的一级修正：

#

[3]设有一个三维转子处于基态，转动惯量I，它沿转轴方向有一个电偶极矩

现加上一个外电场

，可以视作微扰，试用微扰论求能量二级修正值。

图347

（解）三维转子可看作哑铃状或棒状体，回绕其中点0作三维的转动，位置由球极座标

决定。

由于点（棒一端）的矢径

是常量，哈密顿符是：

式中

是转子轴长度之半，I是转动惯量（关于与棒身垂直的转轴），

角动量平方算符，按

，公式（29）

（2）

因此无微扰时，势能为零，而能量本征方程式是：

（3）

它的解是球谐函数：

能量本征值是：

（4）

假定转子是电偶极子，电矩是D，则D=

（

电荷），同时加上沿

方向的电场

后，转子获得附加的偶矩电势能

，作为微扰看待：

（5）

本题限于基态能量，但最低的能级相当于

，当不存在微扰时，基态能量本征值

二能量修正值：

可以利用球谐函数的递推公式

在计算

时可在上式中令

得：

（9）

计算

时，可在（8）式中，令

得：

（11）

（球谐函数正交性）

同理可证

，

等都是零。

零阶能量

代入（7）式（仅有一项）：

本题中的球谐函数的递推公式（8）可参看课本附录四（

）公式（37）、（38）等。

#

[4]

平面内的转子，除了受到沿

方向的均匀电场的作用外，还受到沿

轴方向的均匀磁场

的作用，试用微扰理论计算转子的能量。

（解）平面转子可看作绕一固定点0转动的棒，可用棒与0

轴间夹角

定位，哈氏算符：

（1）

无微扰能量本征函数：

（2）

图350

转子是一偶极子，它具有电偶极矩D，因而在平行于0

轴的电场

作用下具有偶极势能：

转子又在平行于

轴的匀强磁场中运动，由于电荷的运动相当于园电流，而电流在磁场中具有磁势能，磁势能由磁距决定，磁距

又与角动量

成正比：

磁距

附加磁势能：

（4）

微扰算符

（5）

当微扰未加上时，转子的本征方程式如下：

（6）

从这里得到能量的本征函数：

（7）

本征值是：

（8）

由此可知不论磁量子数是何值，能量总是二度简并的，但能证明，在考虑能量一级修正量时，使用非简并微扰法和使用有简并微扰法二者的结果，对同一

值是相同的，用非简并微扰法，先求矩阵元：

这个式子可以用来计算一级和二级能量修正值。

对一级能量修正：

（10）

对二级能量修正值：

从（9）式知道，

只有二种值对于

有贡献，即

，

（讨论）本题按照原理应当作为有简并的微扰问题处理，从（7）式可知相应于同一能级

，对应于两个不同的本征函数：

因此在考虑微扰时，正确的零级波函数应表示作：

（11）

代入有微扰的能量本征方程式以后，知道

的非平凡解要求下述久期方程式成立：

从矩阵元计算式（9），将

代入，得

又将

代入，得

要求另两个矩阵元，可以计算第一指标为-m的矩阵元，它可以从（9）式推得：

此式中分别代入

，得

，

久期方程式是

其中与m对应的能量一级修正值是与非简并法结果相同的。

但是用非简并法未能得到与

－m对应的一级修正值。

#

[5]一维谐振子的哈密顿为

假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H’=1/2bx2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。

[解]用非简并微扰法，计算微扰矩阵元：

（质量记作μ）

已知

，能级

本题中

，

（1）

引用习题

（1）所用的谐振子递推公式：

（2）

代入

（1），再利用

正交归一性。

（3）

再计算能量二级修正量，为此要计算指标不同的矩阵元

，用

（2）式：

再利用谐振子零能级本征值公式

（但

）

（4）

因此用微扰法算得的，正确到二级修正值的能量是：

（5）

如果用严格的本征方程式求解，则本题中

和

的势能

为同类项可以合并，哈氏算符为

（6）

直接看出，它的严格的能级是：

（7）

与近似（5）比较，发现近似值的绝对误差是：

在基态的情形，可令

，

[6]设有自由粒子在长度为L的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件

波函数的形式可选作：

，

但

。

设粒子还受到一个陷阱作用，

，a<

试用简并理论计算能量一级修正。

（解）见附图，若取势场为中心对称的无限深势阱，则题给的周期性条件和能量本征函都能满足，原点0取在势阱中点，此点上微扰H’有最大值。

无微扰时，能量的本征值

（1）

但

由于同一能级（n一定）可以有两个不同的本征函数

因此对于k的任何值（n任何值）简并度都是2。

按照简并微扰论，要计算微扰矩阵元：

又

根据题意：

（2）

前式中的积分限（

，

）被扩充到（

，

）是因为在势阱外波函数为零，用定积分公式：

（3）

于是，得：

（4）

同理计算其它矩阵元：

积分中的被积函数是x的奇函数，又积分限又是等值异号的，所以有：

（5）

（6）

本题正确的零级波函数写作：

代入总的能量算符

的本征方程式，设

是本征方程值，则

满足久期方程式：

所求一阶能量修正值：

本题的波数k和量子数n的关系亦可作

（与课本一致）

[7]在一维无限深势阱

中运动的粒子，受到微扰

的作用

讨论粒子在空间几率分布的改变。

（解）一维无限深势阱的波函数的形式与所选择的参考系的原点有密切关系，若选取势阱一端作为原点则能量的本征函数可以是形式简单的，作如此选择时，若无微扰，则能量的本征函数：

（k=1,2,3,……）

（1）

能量的本征值：

（2）

本题主要计算本征函数的近似值，计算微扰距阵元：

（3）

最后一式的值与k,n的奇偶有关，但要注意到，k+n与k-n=（k+n）-2n的奇偶性是相同的，此外，若设p是个任意整数（奇偶不论），则有：

因此（3）式可归成二种情形

（1）若k+n=奇数，令k+n=2p+1，则有

因此

若k+n=奇数，有

（4）

若k+n=偶数，显然有

（5）

无简并的微扰中，波函数一级修正量是：

其中

（6）

考虑到（4）（5）的结果，连同（6）式代入

的公式，得最后结果为两个无穷级数如下：

k为奇数时

k为偶数时

[8]类氢离子中，电子与原子核的库仑作用为：

[Ze为核电荷]

当核电荷增加e[Z→Z+1]，互相作用能增加

，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。

[解]不论是基态还是激发态，曾在第六章习题九中证明过，在类氢原子的任何态中矢径倒数

的平均值是：

（a玻尔半径

）

（1）

若将

当作微扰而求能量一级修正，则

　　　　（２）

若求严格解，可以利用能级公式

（3）

将

（1）与（3）比较：

知道一级近似值的误差是

[9]一个粒子在二维无限深势阱

中运动，设加上微扰

求基态及第一激发态的能量修正。

[解]二维无限深势阱的定解与一维相类似，因为x,y方向运动是独立的，能量的零级本征函数是两个一维无限深势阱波函数乘积：

式中

是指波数，阱壁的约束条件即周期性边界条件是：

因而零级本征函数可用m,n表示：

（1）

粒子总能量

则可设

，

，

或

（2）

可见波函数是高度简并的（L.Pauling.E.BWilson;IntroductiontoQuantumMechanics1951.P98~P100）,本题不讨论其简并度的公式。

但基态（m=1，n=1能级最低的二维运动）是没有简并的。

（基态能量一级修正量）；

这时

（3）

利用定积分公式：

（4）

或者：

（5）

代入（3）

（第一激发态一级能量修正量）：

第一激发能态是指m=1,n=2,和m=2,n=1的二重简并态，这时的简并能级是：

（6）

简并的能量本征函数有二个：

我们用简并态微扰法求能级，设有微扰后的零能级本征函数是

代入有微扰的能量本征方程式：

约去相等项，利用的正交归一性，可得的线形方程组：

由两式得到非平凡解的条件：

（9）

现在分别计算所需的矩阵元；积分公式可以用（4）或者（5）

（10）

（11）

代入久期方程式（9）得到：

（12）

零级波函数的决定可以用

先代入方程式（7）或（8），伴同正交归一化条件

可求得

，

再用

代入（8），伴同可求得

，

。

[10]处于基态的氢原子，受到沿着z方向的均匀电场的作用（

）若不计及自旋，而哈密顿量为

其中

看成微扰，验证基态的一级近似波函数是：

（1）

（

是玻尔半径，利用此结果求出能量的二级修正为

，从而求出氢原子的