北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》同步练习含答案.docx
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北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》同步练习含答案
第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》
典型题同步练习
第1课时 矩形的概念及其性质(典型题)
知识点1 矩形边、角的性质
1.若矩形ABCD的两邻边长分别是1,2,则其对角线BD的长是( )
A.3B.3C.5D.25
2.如图1-2-1所示,在矩形ABCD中,E是BC边的中点,且AE平分∠BAD,CE=2,则CD的长是( )
A.2B.3C.4D.5
图1-2-1
图1-2-2
3.如图1-2-2,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,则∠EBC的度数是( )
A.30°B.22.5°C.15°D.10°
4.如图1-2-3,在矩形ABCD中,点O在边AB上,∠AOC=∠BOD.求证:
AO=BO.
图1-2-3
知识点2 矩形对角线的性质
5.如图1-2-4,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的度数为( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
图1-2-4
图1-2-5
6.教材例1变式题如图1-2-5,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长是( )
A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm
图1-2-6
7.如图1-2-6,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则EF=________cm.
8.如图1-2-7,在矩形ABCD中,过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证:
BE=BD.
图1-2-7
知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质
9.若直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线的长是( )
A.5B.10C.245D.125
图1-2-8
10.如图1-2-8,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=55°,D是斜边AB的中点,那么∠ACD的度数为( )
A.15°B.25°
C.35°D.45°
11.如图1-2-9,已知△ABC和△ABD均为直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点.求证:
CE=DE.
图1-2-9
12.如图1-2-10,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为( )
A.3B.4C.5D.6
图1-2-10
图1-2-11
13.如图1-2-11,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,CN,MN,若AB=5,BC=8,则图中阴影部分的面积为( )
A.5B.8C.13D.20
14.如图1-2-12,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,折叠矩形,使顶点D与对角线交点O重合,折痕为CE,已知△CDE的周长是10cm,则矩形ABCD的周长为( )
A.15cmB.18cmC.19cmD.20cm
图1-2-12
图1-2-13
15.如图1-2-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若CD=6cm,则EF=________cm.
16.2017·荆州如图1-2-14,在矩形ABCD中,连接对角线AC,BD,将△ABC沿BC方向平移,使点B移到点C,得到△DCE.
(1)求证:
△ACD≌△EDC;
(2)请探究△BDE的形状,并说明理由.
图1-2-14
17.定义:
我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:
如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:
如图1-2-15①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:
如图1-2-15②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=FB,AF与BE交于点O.
(1)求证:
△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
图1-2-15
答案:
1.C
2.A
3.C .
4.证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,AD=BC.
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠AOC-∠DOC=∠BOD-∠DOC,
即∠AOD=∠BOC.
在△AOD和△BOC中,∠A=∠B,∠AOD=∠BOC,AD=BC,
∴△AOD≌△BOC,∴AO=BO.
5.B
6.A
7.2.5
8.证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AD∥BC.
又∵BE∥AC,
∴四边形AEBC是平行四边形,
∴BE=AC,∴BE=BD.
9.A .
10.C.
11.证明:
在Rt△ABC中,
∵E为斜边AB的中点,
∴CE=12AB.
在Rt△ABD中,
∵E为斜边AB的中点,
∴DE=12AB.
∴CE=DE.
12.C
13.D
14.D
15.6
16.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,AC=BD,AD=BC,∠ADC=∠ABC=90°.
由平移的性质得:
DE=AC,EC=BC,∠DCE=∠ABC=90°,DC=AB,
∴AD=EC.
在△ACD和△EDC中,AD=EC,∠ADC=∠ECD,CD=DC,
∴△ACD≌△EDC.
(2)△BDE是等腰三角形.理由如下:
∵AC=BD,DE=AC,
∴BD=DE,
∴△BDE是等腰三角形.
17.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠BFO.
又∵∠AOE=∠FOB,AE=FB,
∴△AOE≌△FOB,∴EO=BO,
∴AO是△ABE的边BE上的中线,
∴△AOB和△AOE是“友好三角形”.
(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=12AD=12BC=3.
∵△AOB和△AOE是“友好三角形”,
∴S△AOB=S△AOE.
∵△AOE≌△FOB,∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2×12×4×3=12.
第2课时 矩形的判定(典型题)
知识点1 根据定义判定
1.如图1-2-16,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是( )
A.AB=BCB.AO=CO
C.∠ABC=90°D.∠1=∠2
2.木工师傅做一个矩形木框,做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框________.(填“合格”或“不合格”)
图1-2-16
图1-2-17
3.如图1-2-17,在△ABC中,AD⊥BC于点D,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,当△ABC满足条件__________时,四边形AEDF是矩形.
4.如图1-2-18,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:
四边形AODE是矩形.
图1-2-18
知识点2 根据对角线相等判定
图1-2-19
5.如图1-2-19,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,要使它成为矩形,需再添加的条件是( )
A.AO=OCB.AC=BD
C.AC⊥BDD.BD平分∠ABC
6.如图1-2-20,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,要使▱ABCD为矩形,则OB的长为( )
A.4B.3C.2D.1
图1-2-20
图1-2-21
7.如图1-2-21,工人师傅砌门时,要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形),在确保两组对边分别平行的前提下,只要测量出对角线AC,BD的长度,然后看它们是否相等就可以判断了.
(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时,门框符合要求;
(2)这种做法的根据是______________________.
8.教材例2变式题如图1-2-22,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,△OAB为等边三角形,BC=3.求四边形ABCD的周长.
图1-2-22
知识点3 根据直角的个数判定
9.对于四边形ABCD,给出下列4组条件:
①∠A=∠B=∠C=∠D;②∠B=∠C=∠D;③∠A=∠B,∠C=∠D;④∠A=∠B=∠C=90°,其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( )
A.1组B.2组C.3组D.4组
图1-2-23
10.如图1-2-23,直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为________.
11.下列命题错误的是( )
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
12.如图1-2-24,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知下列6个条件:
①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;
④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD.
下列组合中,不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A.①②③B.②③④
C.②⑤⑥D.④⑤⑥
图1-2-24
图1-2-25
13.如图1-2-25,D,E,F分别是△ABC各边的中点.添加下列条件后,不能得到四边形ADEF是矩形的是( )
A.∠BAC=90°B.BC=2AE
C.ED平分∠AEBD.AE⊥BC
图1-2-26
14.如图1-2-26,已知四边形ABCD,E,F,G,H分别是四边的中点,只要四边形ABCD的对角线AC,BD再满足条件________,则四边形EFGH一定是矩形.
15.如图1-2-27,AB∥CD,PM,PN,QM,QN分别为角平分线.求证:
四边形PMQN是矩形.
图1-2-27
16.如图1-2-28,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形.求证:
四边形ADCE是矩形.
图1-2-28
17.如图1-2-29,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.
(1)求证:
△BOE≌△DOF;
(2)若OD=12AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
图1-2-29
18.如图1-2-30,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
图1-2-30
答案:
1.C
2.合格
3.答案不唯一,如∠BAC=90°
4.证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°.
∵DE∥AC,AE∥BD,
∴四边形AODE是平行四边形.
又∵∠AOD=90°,
∴四边形AODE是矩形.
5.B
6.B
7.
(1)等于
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
8.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA,BD=2OB.
∵△OAB为等边三角形,∴OA=OB=AB,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD为矩形,
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,AC=2OA=2AB,BC=3,由勾股定理,得AB=AC2-BC2=1,
∴四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(1+3).
9.B
1012.
11.C
12.C
13.D
14.AC⊥BD
15.证明:
∵PM,PN分别平分∠APQ,∠BPQ,
∴∠MPQ=12∠APQ,∠NPQ=12∠BPQ.
∵∠APQ+∠BPQ=180°,
∴∠MPQ+∠NPQ=90°,即∠MPN=90°.
同理可证∠MQN=90°.
∵AB∥CD,∴∠APQ+∠CQP=180°,
∴∠MPQ+∠MQP=90°,
即∠PMQ=90°,∴四边形PMQN是矩形.
16.证明:
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BC,AB=DE,AE=BD.
∵D为BC的中点,∴CD=BD.
∴CD∥AE,CD=AE,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,AB=DE,
∴AC=DE,
∴平行四边形ADCE是矩形.
17.解:
(1)证明:
∵DF∥BE,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO.
∵O为AC的中点,∴OA=OC.
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,
即OE=OF.
在△BOE和△DOF中,∠EBO=∠FDO,∠BEO=∠DFO,OE=OF,
∴△BOE≌△DOF(AAS).
(2)若OD=12AC,则四边形ABCD是矩形.
证明:
∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.
∵OD=12AC,
∴OA=OB=OC=OD,且BD=AC,
∴四边形ABCD是矩形.
18.解:
(1)证明:
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,如图所示,
∴∠2=∠5,∠4=∠6.
∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.
(2)∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°.
∵CE=12,CF=5,∴EF=122+52=13,
∴OC=12EF=6.5.
(3)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:
当O为AC的中点时,AO=CO.
又∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF是矩形.
第3课时 矩形的性质与判定的综合应用(典型题)
知识点 矩形性质与判定的应用
1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对边分别相等B.对角分别相等
C.对角线互相平分D.对角线相等
2.下列说法:
①矩形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴;②对角线相等的四边形是矩形;③有两个角相等的平行四边形是矩形;④对角线相等且互相平分的四边形是矩形;⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°,那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是( )
A.22°,68°B.44°,66°
C.24°,66°D.40°,50°
4.如图1-2-31所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E在AD上,且EB平分∠AEC,则△ABE的面积为( )
A.2.4B.2C.1.8D.1.5
图1-2-31
图1-2-32
5.如图1-2-32,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为________.
6.在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图1-2-33所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=________cm.
图1-2-33
图1-2-34
7.如图1-2-34,在矩形ABCD中,BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快________s后,四边形ABPQ成为矩形.
8.如图1-2-35,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证:
AE=CE.
图1-2-35
9.如图1-2-36,在矩形ABCD中(AD>AB),E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为F,在下列结论中,不一定正确的是( )
A.△AFD≌△DCEB.AF=12AD
C.AB=AFD.BE=AD-DF
图1-2-36
图1-2-37
10.如图1-2-37,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )
A.23B.33C.4D.43
11.如图1-2-38,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B,C重合),PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF长的最小值为( )
图1-2-38
A.4B.4.8C.5.2D.6
12.如图1-2-39,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,已知AD=4cm,图中阴影部分的面积总和为6cm2,则对角线AC的长为________cm.
图1-2-39
图1-2-40
13.如图1-2-40,M是矩形ABCD的边AD的中点,P为BC上一点,PE⊥MC于点E,PF⊥MB于点F,当AB,BC满足条件____________时,四边形PEMF为矩形.
14.教材例4变式题如图1-2-41,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,连接AD,AE∥BC,DE∥AB,连接CE,DE交AC于点G.
(1)求证:
四边形ADCE为矩形;
(2)点F在BA的延长线上,请直接写出图中所有与∠FAE相等的角.
图1-2-41
15.如图1-2-42,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,点E,P分别在AD,BC上,且DE=BP=1.
求证:
四边形EFPH为矩形.
图1-2-42
16.2016·贵阳期末如图1-2-43,在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F.
(1)求证:
四边形BFDE为平行四边形;
(2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.
图1-2-43
17.如图1-2-44,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形ACE,等边三角形BCF.
(1)求证:
四边形DAEF是平行四边形.
(2)探究下列问题(只填满足的条件,不需证明):
①当△ABC满足条件:
____________时,四边形DAEF是矩形;
②当△ABC满足条件:
____________时,四边形DAEF是菱形;
③当△ABC满足条件:
____________时,以D,A,E,F为顶点的四边形不存在.
图1-2-44
答案:
1.D 2.A 3.A
4.D
5.20.
6.5.8.
7.4
8.证明:
如图,过点B作BF⊥CE于点F.
∵CE⊥AD,
∴∠D+∠DCE=90°.
∵∠BCD=90°,
∴∠BCF+∠DCE=90°,
∴∠BCF=∠D.
在△BCF和△CDE中,∠BCF=∠D,∠BFC=∠CED=90°,BC=CD,
∴△BCF≌△CDE(AAS),
∴BF=CE.
∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,
∴四边形AEFB是矩形,
∴AE=BF,
∴AE=CE.
9.B
10.A .
11.B
12.5
13.2AB=BC
14.解:
(1)证明:
∵AE∥BC,DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE=BD.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,∴AE=CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵AE∥BC,∴∠AED=∠EDC,∠EAC=∠ACB,∠FAE=∠B,
∴∠FAE=∠B=∠ACB=∠AEG=∠EAG=∠GDC.
15.证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC.
又∵DE=BP,
∴四边形DEBP是平行四边形,
∴BE∥DP.
∵AD=BC,DE=BP,
∴AE=CP.
又∵AD∥BC,即AE∥CP,
∴四边形AECP是平行四边形,
∴AP∥CE,
∴四边形EFPH是平行四边形.
∵在矩形ABCD中,∠ADC=∠ABP=90°,
AD=BC=5,CD=AB=2,DE=BP=1,
∴CE=5,同理BE=25,
∴BE2+CE2=BC2,
∴∠BEC=90°,
∴四边形EFPH为矩形.
16.解:
(1)证法一:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
由折叠的性质可得:
∠ABE=12∠ABD,∠CDF=12∠CDB,
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,∠A=∠C,AB=CD,∠ABE=∠CDF,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴DE=BF,DE∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.
证法二:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠ABD=∠CDB,DE∥BF.
由折叠的性质得∠EBD=12∠ABD,∠FDB=12∠CDB,
∴∠EBD=∠FDB,∴BE∥DF.
又∵DE∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形.
(2)∵四边形BFDE为菱形,
∴BE=DE,∠FBD=∠EBD=∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠A=∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠FBD=∠EBD=30°.
在Rt△ABE中,∵AB=2,
∴AE=2\r(3)=3)3,BE=2AE=433,
∴BC=AD=AE+DE=AE+BE=3)3+433=23.
17.解:
(1)证明:
∵△ABD和△BCF都是等边三角形,
∴∠ABC+∠FBA=∠DBF+∠FBA=60°,
∴∠ABC=∠DBF.
又∵BA=BD,BC=BF,
∴△ABC≌△DBF,
∴AC=DF=AE.
同理可证△ABC≌△EFC,
∴AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
(2)①∠BAC=150°
②AB=AC≠BC
③∠BAC=60°
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