最新试题库含答案数值分析习题集及答案0.docx
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最新试题库含答案数值分析习题集及答案0
数值分析习题集及答案
:
篇一:
数值分析习题集及答案[1]
数值分析习题集
(适合课程《数值方法A》和《数值方法B》)
长沙理工大学
第一章绪论
1.设x0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.
2.设x的相对误差为2%,求x的相对误差.
3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出
它们是几位有效数字:
4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
*****x1?
1.1021,x2?
0.031,x3?
385.6,x4?
56.430,x5?
7?
1.0.
n
************
(i)x1?
x2?
x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4
均为第3题所给的数.
5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?
6.设Y0?
28,按递推公式
(n=1,2,…)
Y计算到Y100.
27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?
Yn?
Yn?
12
7.求方程x?
56x?
1?
0的两个根,使它至少具有四位有效数字
27.982).
8.当N充分大时,怎样求
?
?
?
N
1dx1?
x2?
2
9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?
10.设
误差增加,而相对误差却减小.11.序列
S?
12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对
{yn}满足递推关系yn?
10yn?
1?
1(n=1,2,…),
若y0?
?
1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?
这个计算过程稳定吗?
计算到
6
12.
计算f?
1),
?
1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
3
?
?
13.
f(x)?
ln(x,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
若
改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大?
ln(x?
?
?
ln(x
14.试用消元法解方程组
?
x1?
1010x2?
1010;x1?
x2?
2.
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
1?
absinc,0?
c?
22,且测量a,b,c的误差分别为15.已知三角形面积其中c为弧度,
?
a,?
b,?
c.证明面积的误差?
s满足
s?
?
s?
a?
b?
c
?
?
?
.sabc
第二章插值法
1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
1
Vn(x)?
Vn(x0,x1,?
xn?
1,x)?
11
证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?
xn?
1,且
x0?
xn?
1x
2
x0
?
?
?
nx0
?
x2
?
xn
2nxn?
xn?
1?
1
Vn(x)?
Vn?
1(x0,x1,?
xn?
1)(x?
x0)?
(x?
xn?
1).
2.当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式.
3.
4.给出cosx,0°≤x≤90°的函数表,步长h=1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,
研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界.
maxl2(x)x?
x?
khx0?
x?
x3k05.设,k=0,1,2,3,求.
xj
6.设
为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
i)ii)7.设
?
xl(x)?
x
kjjj?
0n
n
k
(k?
0,1,?
n);
?
(x
j?
0
j
?
x)klj(x)?
?
?
k?
1,2,?
n).
2
f(x)?
C?
a,b?
且f(a)?
f(b)?
0,求证maxa?
x?
b
x
?
6
1
f(x)?
(b?
a)2maxf?
(x8a?
x?
b
x
8.在?
4?
x?
4上给出f(x)?
e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截
断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少?
9.若yn?
2,求?
yn及?
yn.
10.如果f(x)是m次多项式,记?
f(x)?
f(x?
h)?
f(x),证明f(x)的k阶差分
n
4
4
?
kf(x)(0?
k?
m)是m?
k次多项式,并且?
m?
lf(x)?
0(l为正整数).
11.证明?
(fkgk)?
fk?
gk?
gk?
1?
fk.12.证明k?
0
n?
1n?
1
n?
1
?
f?
g
k
k
?
fngn?
f0g0?
?
gk?
1?
fk.
k?
0
13.证明
?
?
j?
0
2
yj?
?
yn?
?
y0.
n?
1n
14.若f(x)?
a0?
a1x?
?
?
an?
1x?
anx有n个不同实根x1,x2,?
xn,证明
?
f?
(x)
j?
1
j
n
xkj
?
?
0,0?
k?
n?
2;
?
1an,k?
n?
1.
15.证明n阶均差有下列性质:
i)
若F(x)?
cf(x),则
F?
x0,x1,?
xn?
?
cf?
x0,x1,?
xn?
;
Fx,x,?
xn?
?
f?
x0,x1,?
xn?
?
g?
x0,x1,?
xn?
.
ii)若F(x)?
f(x)?
g(x),则?
01
74f?
20,21,?
27?
f?
20,21,?
28?
f(x)?
x?
x?
3x?
1?
?
?
?
.16.,求及
17.证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
R3(x)?
f(4)(?
)(x?
xk)2(x?
xk?
1)2/4!
?
?
(xk,xk?
1)
18.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?
P(?
k?
1)并由此求出分段三次
埃尔米特插值的误差限.19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件
P(0)?
P?
(0)?
0,P
(1)?
P?
(1)?
1,P
(2)?
1.
20.设
f(x)?
C?
a,b?
把?
a,b?
分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?
n(x)
并证明当n?
?
时,?
n(x)在?
a,b?
上一致收敛到f(x).
2
f(x)?
1/(1?
x),在?
5?
x?
5上取n?
10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21.设
计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.
a,b?
上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.
22.求f(x)?
x在?
24
23.求f(x)?
x在?
a,b?
上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
试求三次样条插值并满足条件i)ii)
2
f(x)?
C?
a,b?
S(x)是三次样条函数,证明25.若
S?
(0.25)?
1.0000,S?
(0.53)?
0.6868;S?
(0.25)?
S?
(0.53)?
0.
i)
?
?
f?
(x)?
dx?
?
?
S?
(x)?
dx?
?
?
f?
(x)?
S?
(x)?
dx?
2?
a
a
a
b
2
b
2
b
2
b
a
S?
(x)?
f?
(x)?
S?
(x)?
dx
;
ii)若f(xi)?
S(xi)(i?
0,1,?
n),式中xi为插值节点,且a?
x0?
x1?
?
?
xn?
b,则
?
b
a
S?
(x)?
f?
(x)?
S?
(x)?
dx?
S?
(b)?
f?
(b)?
S?
(b)?
?
S?
(a)?
f?
(a)?
S?
(a)?
.
26.编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)
式的表达式).
第三章函数逼近与计算
1.(a)利用区间变换推出区间为?
a,b?
的伯恩斯坦多项式.
?
上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的(b)对f(x)?
sinx在?
马克劳林级数部分和误差做比较.2.求证:
0,?
/2
(a)当m?
f(x)?
M时,m?
Bn(f,x)?
M.(b)当f(x)?
x时,Bn(f,x)?
x.
0,2?
?
的最佳一致逼近多项式.
3.在次数不超过6的多项式中,求f(x)?
sin4x在?
a,b?
上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.
4.假设f(x)在?
5.选取常数a,使0?
x?
1
maxx3?
ax
达到极小,又问这个解是否唯一?
0,?
/2?
上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
6.求f(x)?
sinx在?
0,17.求f(x)?
e在?
?
上的最佳一次逼近多项式.
x
?
1,1?
上与零偏差最小?
r是否唯一?
8.如何选取r,使p(x)?
x?
r在?
2
0,19.设f(x)?
x?
3x?
1,在?
?
上求三次最佳逼近多项式.
4
3
***
T(x)?
T(2x?
1),x?
0,1?
?
T(x),T(x),T(x),T3(x).nn01210.令,求
11.试证12.在?
?
T
*
n
(x)?
是在?
0,1
?
上带权
?
?
的正交多项式.
?
1,1?
上利用插值极小化求1f(x)?
tg?
1x的三次近似最佳逼近多项式.
?
x?
1,1?
上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?
Ln
13.设f(x)?
e在?
有界,
证明对任何n?
1,存在常数?
n、?
n,使
?
nTn?
1(x)?
f(x)?
Ln(x)?
?
nTn?
1(x)(?
1?
x?
1).
112331541655
?
(x)?
1?
x?
x?
x?
x?
x?
1,1?
?
28243843840,试将?
(x)降低到3次多14.设在上
项式并估计误差.15.在?
?
1,1?
上利用幂级数项数求f(x)?
sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.
?
a,a?
上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式
16.f(x)是?
Fn*(x)?
Hn也是奇(偶)函数.
?
ax?
b?
sinx?
dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.
17.求a、b使?
1
g(x)?
C?
a,b?
定义f(x)18.、
2
?
2
(a)(f,g)?
?
f?
(x)g?
(x)dx;(b)(f,g)?
?
f?
(x)g?
(x)dx?
f(a)g(a);
a
a
bb
问它们是否构成内积?
1
x6
?
01?
x19.用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,
并比较其结果.
20.选择a,使下列积分取得最小值:
21.设空间
?
1
?
1
(x?
ax2)2dx,?
x?
ax2dx
?
1
1
.
?
?
?
span?
1,x?
?
2?
span?
x100,x101?
分别在?
1、?
2上求出一个元素,使得其为
x2?
C?
0,1?
的最佳平方逼近,并比较其结果.
?
1?
span?
1,x2,x4?
f(x)?
x?
1,1?
?
22.在上,求在上的最佳平方逼近.
sin(n?
1)arccosxun(x)?
23.
是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
un?
1?
x?
?
2xun?
x?
?
un?
1?
x?
.
24.将
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
f(x)?
sin
1
x?
?
1,1?
2在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
?
1,1?
上展成切比雪夫级数.
25.把f(x)?
arccosx在?
26.
y?
a?
bx.
2
27.
用最小二乘拟合求.
29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30.编出改进FFT算法的程序框图.31.现给出一张记录?
xk?
?
?
4,3,2,1,0,1,2,3?
试用改进FFT算法求出序列?
xk?
的离散频谱
?
Ck?
(k?
0,1,?
7).
第四章数值积分与数值微分
篇二:
数值分析习题解答1
第一章引论(习题)
2.证明:
x的相对误差约等于x的相对误差的1/2.
证明记f(x)?
Er(f)?
x,则?
x?
x*
x(x?
x)*x?
x*x
?
x?
x*1?
?
Er(x).□*x2x?
xx
3.设实数a的t位?
进制浮点机器数表示为fl(a).试证明fl(a?
b)?
(a?
b)/(1?
?
),|?
|?
其中的记号*表示+、-、?
、/中一种运算.
证明:
令:
?
?
11?
t?
,2(a?
b)?
fl(a?
b)fl(a?
b)
c?
1可估计:
|fl(a?
b)|?
?
故:
|?
|?
(c为a?
b阶码),1c?
tc?
111?
t?
?
?
?
22
于是:
fl(a?
b)?
(a?
b)(1?
?
).□
4.改变下列表达式使计算结果比较精确:
(1)
(2)
(3)11?
x?
1?
2x1?
xx?
1?
xx?
1,x对|x|?
?
1;对x?
?
1;1?
cosx,x
2对x?
0,|x|?
?
1.解
(1)2x
(2)(1?
x)(1?
2x)..x
(x?
x?
x?
x)
1?
cosxsin2xsinx?
?
(3).□xx(1?
cosx)1?
cosx
6.设a?
0.937关于精确数x有3位有效数字,估计a的相对误差.对于f(x)?
?
x,估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差.
解a的相对误差:
由于|E(x)|?
x?
a?
1x?
a,?
10?
3.Er(x)?
2x
11Er(x)?
10?
2?
?
10?
2.(Th1)2?
918
f(a)对于f(x)的误差和相对误差.|E(f)|?
|?
x?
?
a|=a?
x
?
x?
?
a?
?
3?
?
?
102
2?
0.25=10?
3|Er(f)|?
10
?
3?
a?
4?
10?
3.□
9.序列{yn}满足递推关系:
yn?
1?
100.01yn?
yn?
1.取y0?
1,y1?
0.01及y0?
1?
10?
5,
定的.y1?
0.01,试分别计算y5,从而说明该递推公式对于计算是不稳
解递推关系:
yn?
1?
100.01yn?
yn?
1
(1)取初值y0?
1,y1?
0.01计算
可得:
y2?
100.01?
10
?
6?
2?
1?
1.0001?
1?
10?
4?
8y3?
10,y4?
10
(2)取初值0?
1?
10
记:
?
n?
yn?
n,?
5,y5?
10?
2?
10,…,1?
10,
序列?
?
n?
,满足递推关系,且?
0?
?
10?
5,?
1?
0
?
n?
1?
100.01?
n?
?
n?
1,于是:
?
2?
10?
5,
?
3?
100.01?
10?
5,?
4?
(100.01)2?
10?
5?
10?
5,
?
5?
(100.01)?
103?
5?
200.02?
10?
5,
n?
2可见随着?
n的主项(100.01)?
10?
5的增长,说明该递推关系式是不稳定的.
篇三:
《数值分析》习题1
习题1
1.以下各表示的近似数,问具有几位有效数字?
并将它舍入成有效数。
(1)x1=451.023,x1=451.01;
*
(2)x2=-0.045113,x2=-0.04518;*
*(3)x3=23.4213,x3=23.4604;
(4)x*
4=1,x4=0.3333;3
*(5)x5=23.496,x5=23.494;
*(6)x6=96×105,x6=96.1×105;
*(7)x7=0.00096,x7=0.96×10?
3;
*(8)x8=-8700,x8=-8700.3。
解:
(1)x1?
451.023x1?
451.01
*x1*1?
x1?
0.013?
?
10?
1,x1具有4位有效数字。
x1?
451.02
*
(2)x2?
?
0.045113x2?
?
0.04518
11*?
10?
4?
x2?
x2?
0.04518?
0.045113=0.000067?
?
10?
322
x2具有2位有效数字,x2?
?
0.045
*(3)x3?
23.4213x3?
23.4604*x31?
x3?
23.4213?
23.4604?
23.4604?
23.4213?
0.0391?
?
10?
12x3具有3位有效数字,x3?
23.4(不能写为23.5)
(4)x4?
*1,x4?
0.33333
*x4?
x4?
0.000033?
?
?
10?
4,x4具有4位有效数字,x4?
0.3333
*?
23.496,x5?
23.494(5)x512
1*x5?
x5?
23.496?
23.494?
0.002?
?
10?
22
x5具有4位有效数字,x5?
23.50(不能写为23.49)
*?
96?
105?
0.96?
107x6?
96.1?
105?
0.961?
107(6)x6
1*x6?
x6?
0.001?
10?
7?
?
10?
2?
10?
72
x6具有2位有效数字,x6?
0.96?
107?
96?
105
*?
0.00096x7?
0.96?
10?
3(7)x7
**x7?
0.96?
10?
3x7?
x7?
0x7精确
*?
?
8700x8?
?
870.03(8)x8
*x81?
x8?
0.3?
?
100x8具有4位有效数字,x8?
?
8700精确2
2.以下各数均为有效数字:
(1)0.1062+0.947;
(3)2.747?
6.83;
(2)23.46―12.753;(4)1.473/0.064。
问经过上述运算后,准确结果所在的最小区间分别是什么?
解:
(1)x1=0.1062,x2=0.947,x1+x2=1.0532
11?
4e(x1)?
?
10,e(x2)?
?
10?
322
e(x1?
x2)?
e(x1)?
e(x2)?
e(x1)?
e(x2)?
=0.0005511?
10?
4?
?
10?
322
**x1?
x2?
[1.0532?
0.00055,1.0532+0.00055]=[1.05265,1.05375]
(2)x1=23.46,x2?
?
12.753x1?
x2?
10.707
11?
2,?
?
10?
?
10?
3e(x1)e(x2)22
e(x1?
x2)?
e(x1)?
e(x2)?
e(x1)?
e(x2)
11?
2?
?
10?
?
10?
3=0.005522
**x1?
x2?
[10.707?
0.0055,10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]
(3)x1?
2.747x2?
6.83x1x2?
18.76201,
11?
3e(x1)?
?
10,e(x2)?
?
10?
222
e(x1x2)?
x2e(x1)?
x1e(x2)?
x2e(x1)?
x1e(x2)
111?
6.83?
?
10?
3?
2.747?
?
10?
2?
?
10?
2?
(0.683+2.747)=0.01715222
**x1x2?
[18.76201?
0.01715,18.76201?
0.01715]?
[18.74486,18.77916]
(4)x1?
1.473,x2?
0.064,x1x2?
23.015625
x111xe(x2)e(x1)?
?
10?
3,e(x2)?
?
10?
3e
(1)?
e(x1)?
1
22x222x2
e(x12)?
x1111.4731?
3?
3e(x1)?
1e(x)?
?
?
10?
?
?
10222x20.06422x20.064
=0.187622
*x1*x2?
[23.015625?
0.187622,23.015625+0.187622]
=[22.828003,23.203247]
3.对一元2次方程x2?
40x?
1?
0,如果399?
19.975具有5位有效数字,求其具有5位有效数字的根。
解:
x2?
40x?
1?
0
x2?
40x?
400?
399
**x1?
20?
x2?
20?
399?
1
20?
1记x*?
x?
19.975e(x)?
?
10?
32
1?
x20=20+19.975=39.975x1?
e(x1)?
e(x2)?
?
10?
32
?
x1具有5位有效数字。
111x2?
?
?
?
0.0250156347?
20?
x20?
19.97539.975
e(x2)?
?
e(x)
(20?
x)2,
1?
3?
10e(x)1?
6?
6e(x2)?
?
?
0.313?
10?
?
10222(20?
x)39.975
因而x2具有5位有效数字。
x2?
0.025016
也可根据x1x2?
1得到x2?
11?
?
0.0250156347?
x139.975
1?
6?
10e(x)e(x)e(x2)?
?
21e(x2)?
21?
2x139.975x1
4.若x1?
0.937具有3位有效数字,问x1的相对误差限是多?
设f(x)?
?
x,求f(x1)的绝对误差限和相对误差限。
1解:
x1?
0.937e(x1)?
?
10?
32
1?
10?
3e(x)er(x1)?
?
?
0.534?
10?
3x10.937
f(x)?
?
x,f?
(x)?
?
12?
x
e(f)?
f?
(x)e(x)?
?
11?
e(x),2?
x
e(f(x1))?
11111?
e(x1)?
?
?
?
10?
3?
0.996?
10?
32?
x12?
0.9372
e(f)11e(x),er(f)?
?
?
?
21?
xf
er(f(x1))?
11111?
e(x1)?
?
?
?
10?
321?
x121?
0.9372
=0.00397?
3.97?
10?
3
5.取2.01?
1.42,2.00?
1.41试按A?
2.01?
2.00和A?
0.(2.01?
2.00)两种算法求A的值,并分别求出两种算法所得A的近似值的绝对误差限和相对误差限,问两种结果各至少具有几位有效数字?
**?
2.01,x1?
1.42,x2解:
1)记x1=2.00,x2?
1.41
则e(x1)?
11?
10?
2,e(x2)?
?
10?
222
A*?
2.01?
2.00?
1.42?
1.41?
0.01
A1?
1.42?
1.41?
0.01
e(A1)?
e(x1?
x2)?
e(x1)?
e(x2)
11e(A1)?
e(x1)?
e(x2)?
e(x1)?
e(x2)?
?
10?
2?
?
10?
2?
10?
222
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