《导学教程》高三数学2轮复习教案6专题18讲.docx
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《导学教程》高三数学2轮复习教案6专题18讲
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
第1节集合、常用逻辑用语
自主学习导引
真题感悟
1.(2012·浙江)设集合A={x1<x<4},集合B={xx2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=
A.(1,4) B.(3,4)
C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)
解析 首先用区间表示出集合B,再用数轴求A∩(∁RB).解x2-2x-3≤0得-1≤x≤3,∴B=[-1,3],则∁RB=(-∞,-1)∪(3,+∞),∴A∩(∁RB)=(3,4).
答案 B
2.(2012·福建)下列命题中,真命题是
A.∃x0∈R,
≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件
解析 应用量词和充要条件知识解决.
对于∀x∈R,都有ex>0,故选项A是假命题;当x=2时,2x=x2,故选项B是假命题;当=-1时,有a+b=0,但当a+b=0时,如a=0,b=0时,无意义,故选项C是假命题;当a>1,b>1时,必有ab>1,但当ab>1时,未必有a>1,b>1,如当a=-1,b=-2时,ab>1,但a不大于1,b不大于1,故a>1,b>1是ab>1的充分条件,选项D是真命题.
答案 D
考题分析
高考对集合的考查主要集中在集合的运算与集合间关系的判定与应用,常用逻辑用语考查知识面十分广泛,可以涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容.考查的形式多为选择题,难度不大,但需掌握基本知识与方法.
网络构建
高频考点突破
考点一:
集合的概念与运算
【例1】
(1)(2012·朝阳二模)已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a等于
A.1 B.0 C.-2 D.-3
(2)(2012·西城二模)已知集合A={xlog2x<1},B={x0<x<c,其中c>0}.若A∪B=B,则c的取值范围是
A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,2]D.[2,+∞)
(3)(2012·宜春模拟)设全集U=R,A={x2x(x-2)<1},B={xy=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为
A.{xx≥1}B.{x1≤x<2}
C.{x0<x≤1}D.{xx≤1}
[审题导引]
(1)利用子集的定义求解;
(2)解出A,然后借助于数轴解决;
(3)观察图形,求得阴影部分表示的集合,解出A,B并求解.
[规范解答]
(1)∵A⊆B,∴a+3=1,∴a=-2.
(2)解不等式log2x<1,得0<x<2,
∴A={x0<x<2}.
∵A∪B=B,∴A⊆B,∴c≥2.
(3)解不等式2x(x-2)<1=20得0<x<2,
∴A={x0<x<2}.
又易知B={xx<1},图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x0<x<2}∩{xx≥1}={x1≤x<2}.
[答案]
(1)C
(2)D (3)B
【规律总结】
解答集合间的关系判定与运算问题的一般思路
(1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义.
(2)根据集合中元素的性质化简集合.
(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.
一般规律为:
①若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解;
②若给定的集合是点集,用数形结合法求解;
③若给定的集合是抽象集合,用Venn图求解.
[易错提示]
(1)准确理解集合中代表元素的属性,以求解有关不等式(如例1中的第(3)题,集合B表示函数y=ln(1-x)的定义域).
(2)在借助于数轴进行集合的运算时,要标清实点还是虚点,避免漏解或增解(如例1中的第
(2)题).
【变式训练】
1.(2012·三明模拟)已知集合M={m,-3},N={x2x2+7x+3<0,x∈Z},如果M∩N≠∅,则m等于
A.-1B.-2C.-2或-1D.-
解析 由2x2+7x+3<0,得-3<x<-,
又x∈Z,∴N={-2,-1},
又M∩N≠∅,∴m=-2或-1.
答案 C
2.(2012·海淀二模)设全集为R,集合M=,N=,则集合可表示为
A.M∪NB.M∩N
C.(∁RM)∩ND.M∩(∁RN)
解析 根据椭圆的有界性知M={x-2≤x≤2},解不等式≤0,得N={x-1<x≤3}.
由圆的定义可得
={x-2≤x≤-1},
即=M∩(∁RN).
答案 D
考点二:
命题与逻辑联结词
【例2】
(1)(2012·潍坊模拟)命题:
“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是
A.若x2≥1,则x≥1,或x≤-1
B.若-1<x<1,则x2<1
C.若x>1,或x<-1,则x2>1
D.若x≥1,或x≤-1,则x2≥1
(2)若p是真命题,q是假命题,则
A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题
C.
p是真命题D.
q是真命题
[审题导引]
(1)按照四种命题的定义即可解决;
(2)由复合命题的真值表判定.
[规范解答]
(1)∵“-1<x<1”的否定是x≥1,
或x≤-1.
又由逆否命题的定义,
∴原命题的逆否命题为:
若x≥1,或x≤-1,则x2≥1.
(2)由条件知,
p是假命题,
q是真命题,故选D.
[答案]
(1)D
(2)D
【规律总结】
命题真假的判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别.
(2)四种命题的真假的判断根据:
一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无必然联系.
(3)形如p或q、p且q、
p命题的真假根据真值表判定.
【变式训练】
3.(2012·衡水模拟)命题A:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不经过第四象限.那么命题A的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
解析 易知命题A是真命题,其逆否命题也是真命题,A的逆命题与否命题都是假命题.
答案 C
4.(2012·石家庄模拟)有下列命题:
p:
函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;
q:
已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1;
r:
若
(a>1),则a=e.
其中所有的真命题是
A.rB.p,qC.q,rD.p,r
解析 ∵f(x)=sin4x-cos4x
=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos2x,
∴T=π,故p是真命题;
∵a+b=(λ-1,λ2+1),(a+b)∥c,
则λ2+λ=0,即λ=-1或λ=0,
故q是假命题;
dx=lnx
=lna=1,
∴a=e,故r是真命题.
答案 D
考点三:
量词、含有量词的命题的否定
【例3】下列命题中是假命题的是
A.∀x∈,x>sinx
B.∃x0∈R,sinx0+cosx0=2
C.∀x∈R,3x>0
D.∃x0∈R,lgx0=0
[审题导引] 对全称命题与特称命题真假的判定,要结合具体的知识进行,要特别注意思维的严谨性.
[规范解答] ∀x∈,设单位圆与角x的终边交于点P(m,n),与m轴正半轴交于点A(1,0),作PM⊥m轴于M,由正弦函数的定义,知MP=sinx,
的长l=x,由S扇形OAP>S△OAP⇒x>sinx,故∀x∈,x>sinx,即选项A是真命题;sinx+cosx=sin≤,
所以不存在x0∈R,使sinx0+cosx0=2,故选项B是假命题.故选B.(事实上,由指数函数的值域∀x∈R,3x>0是真命题;取x0=1,lgx0=lg1=0,故∃x0∈R,lgx0=0是真命题.)
[答案] B
【规律总结】
全称命题与特称命题的判断方法
对于特称命题的判断,只要能找到符合要求的元素使命题成立,即可判断该命题成立;对于全称命题的判断,必须对任意元素证明这个命题为真,也就是证明一个一般性的命题成立时,方可证明该命题成立,而只要找到一个特殊元素使命题为假,即可判断该命题不成立.
[易错提示] 注意对数函数、指数函数、三角函数、不等式、方程等知识在解题中的应用,在判断由这些知识组成的全称或者特称命题时,要特别注意对数函数的定义域、指数函数的值域、三角函数的定义域和周期性、不等式成立的条件等.
【变式训练】
5.(2012·朝阳二模)若命题p:
∀x∈R,>0,则其否定是_______________.
解析 ∵不等式>0的隐含条件为>0且x2+x+1≠0,
∴綈p:
∃x∈R,<0,或x2+x+1=0.
答案 綈p:
∃x∈R,<0,或x2+x+1=0
6.命题p1:
∃x∈(0,+∞),x<x;p2:
∃x∈(0,1),
>
;p3:
∀x∈(0,+∞),x>
;p4:
∀x∈,x<
,其中的真命题是
A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4
解析 取x=,则
=1,
=log32<1,p2正确;当x∈时,x<1,而
>1,p4正确.
答案 D
考点四:
充分必要条件
【例4】
(1)(2012·黄冈模拟)已知条件p:
x≤1,条件q:
<1,则綈p是q的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
(2)(2012·丰台二模)已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),若
p是
q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是
A.(0,9)B.(0,3)C.(0,9]D.(0,3]
[审题导引]
(1)求出綈p与q中x的范围后,再判断;
(2)先解p与q中的不等式,然后利用数轴求解.
[规范解答]
(1)
p:
x>1,又易知q:
x<0或x>1,
∴
p是q的充分不必要条件.
(2)解不等式≤2得p:
-2≤x≤10,
又x2-2x+1-m2=[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,
且m>0,
∴q:
1-m≤x≤1+m.
∵
p是
q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件.
由图得或
∴0<m≤3.
[答案]
(1)A
(2)D
【规律总结】
充分必要条件的判定方法
(1)充要关系的判断就是在两个条件之间互推,当问题为A是B的什么条件时,如果A⇒B,反之不成立的话,则A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件);如果B⇒A,反之不成立的话,则A是B的必要不充分条件(B是A的充分不必要条件);若A⇔B,则A,B互为充要条件.
(2)充要关系可以从集合的观点理解,即若满足命题p的集合为M,满足命题q的集合为N,则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件,N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件,M=N等价于p和q互为充要条件,M,N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
[易错提示] 充分必要条件的判断应注意问题的设问方式,我们知道:
①A是B的充分不必要条件是指:
A⇒B且B
A;②A的充分不必要条件是B是指:
B⇒A且A
B.在解题中一定要弄清它们的区别,以免出现错误.
【变式训练】
7.(2012·咸阳二模)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是
A.a>b+1B.a>b-1
C.a2>b2D.a3>b3
解析 ∵a>b+1>b,∴a>b+1是a>b的充分条件,
但当a>b时不能推出a>b+1,故选A.
答案 A
8.(2012·成都模拟)已知p:
|x-10|+|9-x|≥a的解集为R,q:
<1,则綈p是q的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 ∵|x-10|+|9-x|≥1,
且|x-10|+|9-x|≥a的解集为R,
∴p:
a≤1,则
p:
a>1;
解不等式<1,得q:
a<0或a>1,
∴
p是q的充分不必要条件.
答案 A
名师押题高考
【押题1】设全集U=R,集合A=,B={x∈Zx2≤9},则图中阴影部分表示的集合为
A.{1,2} B.{0,1,2}
C.{x0≤x<3}D.{x0≤x≤3}
解析 图中阴影表示的是A∩B,化简集合:
A==={x∈Z0≤x<3}={0,1,2},B={x∈Z-3≤x≤3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以A∩B={0,1,2},故选B.
答案 B
[押题依据] 高考对集合的考查集中在三个方面:
集合的表示方法,元素的性质特征与集合的运算.本题与不等式的解法交汇命题、综合性较强.重点考查集合的运算,难度不大,但重点突出,立意新颖,故押此题.
【押题2】已知命题p1:
当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.p2:
函数y=2x+2-x在R内为减函数,则在命题q1:
p1∨p2,q2:
p1∧p2,q3:
(
p1)∨p2和q4:
p1∧(
p2)中,真命题是
A.q1,q3 B.q2,q3
C.q1,q4 D.q2,q4
解析 解法一 p1是真命题,事实上:
(充分性)若xy≥0,则x,y至少有一个为0或两者同号,∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,∴xy=|xy|.∴xy≥0.故p1为真.
而对于p2:
y′=2xln2-ln2=ln2,当x∈[0,+∞)时,2x≥,又ln2>0,∴y′≥0,函数单调递增;
同理得当x∈(-∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.
由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.故选C.
解法二 p1是真命题,同解法一.对p2的真假可以取特殊值来判断,如取x1=1<x2=2,得y1=<y2=;取x3=-1>x4=-2,得y3=<y4=,即可得到p2是假命题,由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.故选C.
解法三 p1是真命题,同解法一.对p2:
由于y=2x+2-x≥2=2(等号在x=0时取得),故函数在R上有最小值2,故这个函数一定不是单调函数,p2是假命题,由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.故选C.
答案 C
[押题依据] 常用逻辑用语重要的数学基础知识,是高考考查的热点,本题综合考查了命题的真假判断,充分必要条件及逻辑联结词,题目难度适中,体现了对基础知识,重点知识的考查,故押此题.
第2讲 函数的图象与性质
自主学习导引
真题感悟
1.(2012·陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x|
解析 利用排除法求解.
A选项中的函数为非奇非偶函数.B、C、D选项中的函数均为奇函数,但B、C选项中的函数不为增函数,故选D.
答案 D
2.(2012·山东)函数y=的图象大致为
解析 利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解.
∵y=f(x)=,∴f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除选项A;当x从正方向趋近0时,y=f(x)=趋近+∞,排除选项B;当x趋近+∞时,y=f(x)=趋近0,排除选项C.故选择选项D.
答案 D
考题分析
高考考查函数的性质主要是单调性、奇偶性与周期性的应用,考查图象时一般以图象的应用与识别为主,题目立意多样、角度很灵活,高、中、低档题目皆有,题型有选择题,也有填空题,若为解答题,则与导数相结合.
网络构建
高频考点突破
考点一:
函数及其表示
【例1】
(1)(2012·衡水模拟)函数y=的定义域为
A.(0,8] B.(-2,8]
C.(2,8] D.[8,+∞)
(2)(2012·石家庄二模)已知函数f(x)=则f(f
(1))+f的值是
A.7B.2C.5D.3
[审题导引]
(1)根据函数解析式的结构特征列出不等式组并解之;
(2)根据自变量的范围代入解析式求解.
[规范解答]
(1)⇒⇒-2<x≤8,
∴函数的定义域为(-2,8].
(2)∵f
(1)=log21=0,log3<0,
∴f(f
(1))+f=f(0)+
+1
=90+1+
+1=7.
[答案]
(1)B
(2)A
【规律总结】
1.求函数定义域的类型和相应方法
(1)若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可.
(2)对于复合函数求定义域问题,若已知f(x)的定义域[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.
(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义.
2.求f(g(x))类型的函数值
应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值、图象、解不等式等问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.
【变式训练】
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=
f(x)的定义域是________.
解析 要使函数g(x)有意义,则需f(x)>0,由函数f(x)的图象知2<x≤8,
即函数g(x)=
f(x)的定义域为(2,8].
答案 (2,8]
2.已知函数f(x)=2x-,且g(x)=则函数g(x)的最小值是________.
解析 易知g(x)=
∵当x≥0,g′(x)=(2x+2-x)ln2>0,
∴g(x)min=g(0)=0,
当x<0时,g′(x)=-(2x+2-x)ln2<0,
∴g(x)>g(0)=0.
故函数g(x)的最小值为g(0)=0.
答案 0
考点二:
函数的图象
【例2】
(1)(2012·丰台二模)已知函数y=sinax+b(a>0)的图象如图所示,则函数y=loga(x+b)的图象可能是
(2)(2012·武威模拟)函数y=的图象大致是
[审题导引]
(1)利用已知函数的图象求出a,b的范围,再选择y=loga(x+b)的图象;
(2)利用函数y=的性质,结合排除法求解.
[规范解答]
(1)由y=sinax+b的图象知其周期T=>2π,
∴0<a<1.又∵0<b<1,故选A.
(2)∵x=±1是y=的零点,且当x>1时,y>0,
当0<x<1时,y<0,故可排除A、B.
当x>0时,y=,由于函数y=x的增长速度要大于函数y=lnx的增长速度,
故当x→+∞时,y=→0.
故可排除D,选C.
[答案]
(1)A
(2)C
【规律总结】
函数图象的识别方法
(1)性质法:
在观察分析图象时,要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质,结合函数的解析式,从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数,找准解析式与图象的对应关系.
(2)图象变换法:
根据函数解析式之间的关系,或利用基本初等函数的图象去选择未知函数的图象.
【变式训练】
3.(2012·兰州模拟)函数y=,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的
解析 因函数y=是偶函数,故排除A,
又x∈时,x>sinx,
即>1,排除B,D,故选C.
答案 C
4.(2012·湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为
解析 由y=f(x)的图象写出f(x)的解析式.
由y=f(x)的图象知f(x)=.
当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
所以f(2-x)=,
故y=-f(2-x)=.图象应为B.
答案 B
考点三:
函数的性质及应用
【例3】
(1)(2012·湘潭二模)已知函数f(x)=x2-cosx,则f(-0.5),f(0),f(0.6)的大小关系是
A.f(0)<f(-0.5)<f(0.6)B.f(-0.5)<f(0.6)<f(0)
C.f(0)<f(0.6)<f(-0.5)D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6)
(2)(2012·聊城二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x,则f(2012)-f(2011)的值为
A.-B.C.2D.-2
[审题导引]
(1)利用函数f(x)的奇偶性与单调性比较各数的大小;
(2)利用函数的周期性与奇偶性求解.
[规范解答]
(1)f′(x)=2x+sinx,
∴当x>0时,f′(x)>0,
即f(x)=x2-cosx在(0,+∞)上是增函数,
又f(x)是偶函数,∴f(-0.5)=f(0.5),
∴f(0)<f(-0.5)<f(0.6).
(2)由题可知函数的周期为4,
故f(2012)-f(2011)=f(0)-f(-1)=0-2-1
=-.
[答案]
(1)A
(2)A
【规律总结】
函数性质的综合应用
求解函数奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路,即把自变量化归到已知区间中,然后根据函数的有关性质进行求解,如例3第
(1)题中要比较f(-0.5),f(0),f(0.6)的大小,就要根据函数的周期性和奇偶性将三个自变量都化归到[0,+∞)内,然后根据函数的单调性比较它们的大小.
[易错提示] 常见周期函数的几种形式
函数周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合,常涉及函数周期的求解,常见形式主要有以下几种:
(1)如果f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=|a-b|;
(2)如果f(x+a)=-f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=2|a-b|;
(3)如果f(x+a)=-f(x),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=2a;
(4)如果f(x+a)=或者f(x+a)=-,那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=2a;
(5)如果函数f(x)既有对称中心,又有对称轴,则该函数是一个周期函数,若其中的对称中心为(a,m),与其相邻的对称轴为x=b,则该函数的一个周期为T=4|a-b|.
【变式训练】
5.(2012·东莞二模)已知函数f(x)=(x∈R)的最大值为M,最小值为m,则M+m的值为________.
解析 f(x)==1-,
令g(x)=-,易知g(x)是R上的奇函数,
设g(x)的最大值为a,则其最小值为-a,
∴M=1+a,m=1-a,∴M+m=2.
答案 2
6.(2012·龙岩模拟)已知函数f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且f(0)=2,则f(2012)=
A.-2B.0
C.2D.3
解析 ∵f(x+1)是奇函数,
则函数y=f(x+1)的图象关于(0,0)对称,
∴函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,
即f(2-x)+f(x)=0.①
∵f(x-1)是偶函数,即其图象关于直线x=0对称,
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,
即f(x)=f(-2-x).②
由①②两式得f(2-x)=-f(-2-x),
即f(x+4)=-f(x),③
可得f(x+8)=f(x),所以函数y=f(x)的周期T=8.
∴f(2012)=f(251×8+4)=f(4),在③式中,
令x=0得f(4)=-f(0)=-2,
∴f(2012)=-2.
答案
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- 导学教程 教程 数学 复习 教案 专题 18
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