考研数学二试题与答案解析.docx
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考研数学二试题与答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
xx3
(1)函数fx的可去间断点的个数为
sin
x
A
1
B
2
C
3
D
无穷多个
【答案】C
【解析】由于
f
x
x
x3
则当x取任何整数时,
fx
均无意义.
sin
x
故f
x的间断点有无穷多个
但可去间断点为极限存在的点
故应是x
x3
0的解
x1,2,3
0,
1.
lim
x
x3
1
3x2
1
x
lim
cos
x
x
0sin
x
0
lim
x
x3
1
3x2
2
x
lim
cos
x
x
1sin
x
1
lim
x
x3
lim
13x2
2.
x
1sinx
x
1
cos
x
故可去间断点为
3个,即0,
1.
(2)
当x
0
时,
f
x
x
sinax与gx
x2ln
1bx是等价无穷小,则
A
a
1,b
1
B
a
1,b
1
C
a
1
Da
1
6
6
1,b
1,b
【答案】A
6
6
【解析】
lim
f(x)
lim
x
sinax
lim
x
sinax
x
0g(x)
x
0
x2ln(1
bx)
x
0
x2
(bx)
1
acosax
洛lim
a2sinax
洛lim
3bx
2
6bx
x
0
x
0
a2sinax
a3
1,
lim
6b
6b
x
0
ax
a
a36b,故排除B,C.
另外,lim
1
acosax
存在,蕴含了1acosax0x
0,故a
1.排除D.
2
x0
所以本题选
(3)设函数
3bx
A.
zfx,y的全微分为dzxdxydy,则点0,0
A
不是f
x,y
的连续点
B
不是f
x,y
的极值点
C
是f
x,y
的极大值点
D
是f
x,y的极小值点
【答案】D
【解析】因dz
xdx
ydy可得
z
x,
z
y.
x
y
A
2z
1,B
2z
2z
0,C
2z
1,
2
xy
y
x
2
x
y
又在0,0
处,
z
0,
z
0,
AC
B2
1
0,
x
y
故
0,0为函数z
f(x,y)的一个极小值点.
(4)
设函数f
x,y
连续,则
2
2
f
x,ydy
2
dy
4
y
dx
1
y
fx,ydx
1
x
A
2
dx
4
x
x,ydy
B
2
dx
4
x
x,ydy
1
1
f
1
x
f
C
2
dy
4
y
x,ydx
D
2
2
f
x,ydx
【答案】C
1
1
f
1
dy
y
2
2
f(x,y)dy
2
2
f(x,y)dx的积分区域为两部分:
【解析】
dx
dy
x
1
x
1
D1
(x,y)1
x
2,x
y
2
D2
(x,y)1y2,y
x4y,
将其写成一块D
(x,y)1
y
2,1
x
4
y
2
dy
4
y
故答案为C.
故二重积分可以表示为
1
1
f(x,y)dx,
(5)若fx不变号,且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为x2y22,则函数fx
在区间1,2内
A
C
有极值点,无零点
有极值点,有零点
B
D
无极值点,有零点
无极值点,无零点【答案】B
【解析】由题意可知
f(x)是一个凸函数,即f(x)
0
且在点(1,1)处的曲率
|y
|
1
而f
(1)
1,由此可得,f
(1)
2.
3
2
(1(y)2)2
在[1,2]上,
f(x)
f
(1)
1
0,
即f(x)单调减少,没有极值点.
对于f
(2)
f
(1)
f
()
1
(1,2),(拉格朗日中值定理)
f
(2)0而f
(1)
1
0,
由零点定理知,在[1,2]上,
f(x)有零点.故应选B.
(6)设函数y
f
x
在区间
1,3
上的图形为:
则函数Fx
x
ftdt的图形为
0
AB
C
D
【答案】
D
【解析】此题为定积分的应用知识考核,由
yf(x)
的图形可见,其图像与
x轴及
y轴、
xx0所围的图形的代数面积为所求函数F(x),从而可得出几个方面的特征:
①x0,1时,F(x)0,且单调递减。
②x1,2时,F(x)单调递增。
③x2,3时,F(x)为常函数。
④x1,0时,F(x)0为线性函数,单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点,可见正确选项为
D。
(7)设A,B均为
2阶矩阵,A*,B*
分别为A,B的伴随矩阵,若A2,B
3,则分块
O
A
的伴随矩阵为
矩阵
O
B
O
3B*
B
O
2B*
A
.
3A*
.
2A*
O
O
O
3A*
D
O
2A*
【答案】B
C
.
3B*
.
2B*
O
O
【解析】根据CC
CE若C
CC1,C1
1C
C
0
A
0
A
22
AB23
6即分块矩阵可逆
分块矩阵
0
的行列式
(
1)
B
B
0
0
1
0
A
0
A
0
1
0
B1
B
A
6
B
B
0
B
0
B
6
A1
0
0
1
A
0
A
0
1B
0
2B
6
3
1
0
3A
0
A
2
1
0
0
(8)设A,P均为3阶矩阵,PT为P的转置矩阵,且PTAP01
0,若
0
0
2
P(1,2,3),Q(1
2,2,3),则QTAQ
为
A
C
2
1
0
1
1
0
.
1
1
0
B.
1
2
0
0
0
2
0
0
2
2
0
0
1
0
0
.
0
1
0
D.
0
2
0
【答案】A
0
0
2
0
0
2
1
0
0
【解析】Q
(
1
2,
2,
3)
(1,
2,
3)
1
1
0
(1,2,3)E12
(1),即:
0
0
1
Q
PE12
(1)
QTAQ
[PE12
(1)]TA[PE12
(1)]
E12T
(1)[PTAP]E12
(1)
1
0
0
E21
(1)
0
1
0
E12
(1)
0
0
2
1
1
0
1
0
0
1
0
0
2
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
2
二、填空题:
9-14小题,每小题
4分,共24
分,请将答案写在答题纸指定位置上.
x=
1-t
eu
2
du
(9)曲线
0
在(0,0)处的切线方程为
y
t2ln(2
t2)
【答案】y2x
【解析】
所以
dy
2tln(2
t2)t2
2t
t1
2
dt
2t2
dx
e(1t)2
(1)t1
1
dt
dy
2
dx
所以
切线方程为y
2x
(10)已知
+
ekxdx
1,则k
【答案】2
b
【解析】
1
ekxdx
20
ekxdx2lim
1ekx
b
k0
因为极限存在所以k0
1
0
2
k
k
2
(11)lim
1
x
sinnxdx
e
n
0
【解析】令
In
e
x
sin
nxdx
e
x
sin
nx
ne
x
cos
nxdx
exsinnx
nexcosnx
n2In
所以In
ncosnx
sinnxex
C
即lim
n2
1
lim(
ncosnx
sinnxex10)
exsinnxdx
1
n
0
n
n
2
1
lim(
ncosn
sinn
e
1
n
)
n
2
1
n
2
1
n
0
(12)设y
y(x)是由方程xy
ey
x1确定的隐函数,则
d2y
x=0=
dx2
【解析】对方程
xy
ey
x
1两边关于x求导有y
xy
yey
1,得y
对y
xy
yey
1再次求导可得2y
xy
yey
(y)2ey
0,
得y
2y(y)2ey
(*)
x
ey
【答案】0
【答案】3
1y
xey
当
x
0
时,y
0,
1
0
y(0)
1
(*)
得
e0
,代入
y(0)
2y(0)
(y(0))2e0
(2
1)
3
(0
e0)3
2
(13)函数y
x2x在区间
01,上的最小值为
【答案】ee
【解析】因为
y
x2x
2lnx
2
,令y
0
得驻点为x
1
。
e
2
1
2
又y
x2x2lnx
2
2
2x
,得y
1
0,
x
2ee
x
e
1
x2x
2
故x
为y
的极小值点,此时
y
ee,
e
又当x
0,1
时,y
x
0;x
1,1
时,y
x
0
,故y在0,1
上递减,在1,1
e
e
e
e
上递增。
2
lim
2lnx
lim
x
1
1
lim
2x
2x
2xlnx
x0
x0
而y1
1,y
x
x2
0
lim
x
lim
e
e
e
x0
1,
e
x0
x
0
x2x在区间
1
2
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