九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数111正切同步练习新版北师大版.docx
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九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数1-1-1正切同步练习新版北师大版
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课时作业
(一)
[第一章 1 第1课时 正切]
一、选择题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=2AC,则∠A的正切值是( )
A.B.C.D.2
2.为测量山坡的倾斜度,小明测得数据如图K-1-1所示(单位:
米),则该山坡的倾斜角α的正切值是( )
图K-1-1
A.B.4C.D.
3.如图K-1-2所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,则tanB的值为( )
图K-1-2
A.B.C.D.
4.如图K-1-3,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值是( )
A.1B.1.5C.2D.3
图K-1-3
5.20xx·河北模拟如图K-1-4,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则tanC的值为( )
图K-1-4
A.B.C.D.
6.如图K-1-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,tanA=,则AC的长是( )
图K-1-5
A.3 B.4
C.6 D.8
7.20xx·湘潭期末如图K-1-6,已知山坡AB的坡度为1∶2,坡高BC=1,则坡长AB为( )
图K-1-6
A.B.
C.2D.4
8.直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按图K-1-7中所示方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是( )
图K-1-7
A.B.C.D.
9.如图K-1-8,斜坡AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC=3米,坡顶上有一旗杆BC,旗杆顶端点B与点A之间有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为( )
图K-1-8
A.5米 B.6米
C.8米 D.(3+)米
二、填空题
10.如图K-1-9为甲、乙两个自动扶梯,______自动扶梯比较陡.(填“甲”或“乙”)
图K-1-9
图K-1-10
11.如图K-1-10所示,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,宽为30cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起始点为A,斜坡的起始点为C.现设计斜坡BC的坡度为1∶5,则AC的长度是________cm.
三、解答题
12.如图K-1-11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,CD⊥AB于点D,求tan∠BCD的值.
图K-1-11
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,周长为30,求△ABC的面积.
14.如图K-1-12是某广场台阶(结合轮椅专用坡道)景观设计的模型第一层的截面示意图,第一层有十级台阶,每级台阶的高为0.15米,宽为0.4米,轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC.《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条,新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下,坡道高度应符合下表中的规定:
坡度
1∶20
1∶16
1∶12
最大高度(米)
1.50
1.00
0.75
(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的?
请说明理由;
(2)求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD.
图K-1-12
1.20xx·眉山如图K-1-13,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则tan∠AOD=________.
图K-1-13
2.探究题数学老师布置了这样一个问题:
如果α,β都为锐角,且tanα=,tanβ=,求α+β的度数.
甲、乙两名同学想利用正方形网格构图来解决问题,他们分别设计了图K-1-14①和②.
(1)请你分别利用图①、图②求出α+β的度数,并说明理由;
(2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面的问题:
如果α,β都为锐角,当tanα=5,tanβ=时,在图③的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α-β,并求出α-β的度数.
图K-1-14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1.[解析]D 设AC=x,则BC=2x,
∵∠C=90°,
∴tanA===2.
故选D.
2.[解析]A tanα==.
3.[解析]C ∵CD是斜边AB上的中线,CD=5,∴AB=2CD=10.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得BC===8,∴tanB===.故选C.
4.[解析]C 过点A作AB⊥x轴于点B.
∵点A(t,3)在第一象限,∴AB=3,OB=t.
又∵tanα==,∴t=2.
5.[答案]A
6.[解析]D 因为tanA==,
所以设BC=3x,AC=4x(x>0).由勾股定理,得BC2+AC2=AB2,即(3x)2+(4x)2=100,解得x=2,所以AC=4x=4×2=8.故选D.
7.[解析]B ∵山坡AB的坡度为i=1∶2,坡高BC=1,∴=,∴AC=2.根据勾股定理,得AB===.故选B.
8.[解析]C 设CE=x,根据折叠的性质,得BE=AE=8-x,在Rt△BCE中,根据勾股定理列出关于x的方程,得x2+62=(8-x)2,解得x=(负值已舍去),即可计算出tan∠CBE=.
9.[解析]A 设CD=x米,则AD=2x米,
由勾股定理可得AC==x(米).
∵AC=3,∴x=3,解得x=3,
∴CD=3米,AD=2×3=6(米).
在Rt△ABD中,BD==8(米),
∴BC=8-3=5(米).故选A.
10.[答案]乙
11.[答案]210
[解析]如图,过点B作BD⊥AC于点D,依题意可求得AD=60cm,BD=54cm.由斜坡BC的坡度i=1∶5可求得CD=270cm,故AC=CD-AD=270-60=210(cm).
12.解:
∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3,
∴AC==4.
又∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠BCD+∠B=90°,∠A+∠B=90°,
∴∠A=∠BCD,
∴tan∠BCD=tanA==.
13.[解析]画出示意图如图所示,因为S△ABC=ab,所以只需求出a,b的值即可.
解:
∵tanA==,
可设a=5k(k>0),则b=12k,
∴c===13k.
∵△ABC的周长为30,即a+b+c=30,
∴5k+12k+13k=30,解得k=1,
∴a=5k=5,b=12k=12,
∴S△ABC=ab=×5×12=30,
即△ABC的面积为30.
[点评]当题目中出现三角函数值时,一般要先利用直角三角形把三角函数值转化为线段的比值.
14.解:
(1)符合要求的坡度是1∶20.理由如下:
过点C作CF⊥AD,垂足为F,
∵每级台阶的高为0.15米,
∴CF=0.15×10=1.5(米).
∵坡道高度为1.5米,
∴应选择坡度1∶20建设轮椅专用坡道AB.
(2)过点B作BE⊥AD,垂足为E.
根据题意可得EF=BC=2米,BE=CF=1.5米,
∵每级台阶的宽为0.4米,
∴DF=0.4×9=3.6(米).
在Rt△ABE中,∠AEB=90°.
∵AB的坡度是1∶20,∴=.
∵BE=1.5米,∴AE=30米,∴AD=AE+EF+DF=30+2+3.6=35.6(米).
答:
斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为35.6米.
[素养提升]
1.[答案]2
[解析]如图,连接BE.
∵四边形BCEK是正方形,
∴KF=CF=CK,BF=BE,CK=BE,BE⊥CK,
∴BF=CF.根据题意得AC∥BK,
∴△ACO∽△BKO,
∴KO∶CO=BK∶AC=1∶3,
∴KO∶KF=1∶2,
∴KO=OF=CF=BF.
在Rt△OBF中,tan∠BOF==2.
∵∠AOD=∠BOF,
∴tan∠AOD=2.故答案为2.
2.解:
(1)如图①,
在△AMC和△CNB中,AM=CN,∠AMC=∠CNB=90°,MC=NB,
∴△AMC≌△CNB,
∴AC=BC,∠ACM=∠CBN.
∵∠BCN+∠CBN=90°,
∴∠ACM+∠BCN=90°,
∴∠ACB=90°,∴∠CAB=∠CBA=45°,
∴α+β=45°.
如图②,设每个小正方形的边长均为1,
则CE=1,AE=2,BE=,
∴==,=,∴=.
又∵∠CEB=∠BEA,
∴△CEB∽△BEA,
∴∠CBE=∠EAB=α,
∴∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β.
∵DE=DB,∠D=90°,∴∠BED=45°,
∴α+β=45°.
(2)如图③,∠MOE=α,∠NOH=β,∠MON=α-β.
在△MFN和△NHO中,∵MF=NH,∠MFN=∠NHO,FN=HO,
∴△MFN≌△NHO,
∴MN=NO,∠MNF=∠NOH.
∵∠NOH+∠ONH=90°,
∴∠ONH+∠MNF=90°,
∴∠MNO=90°,
∴∠MON=∠NMO=45°,
即α-β=45°.
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