空间向量的坐标运算.docx

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空间向量的坐标运算

9.6空间向量的坐标运算

亠、空间直角坐标系:

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且

长都为1，这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,k｝表

示。

rru

在空间选定一点0和一个单位正交基底｛i,j,k｝，

rruJ

以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立

三条数轴：

x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。

这

时我们称建立了一个空间直角坐标系O-xyz，点0叫

rru

做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

u

注意：

1作空间直角坐标系O-xyz时，一般使?

xOy135°（或45°）,?

yOz90°。

2在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

说明右手直角坐标系的特点是：

从Ox到Oy是逆时针方向。

3如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手直角坐标系。

给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，根据空间向量基本定理可知：

存在唯一的有序实数组（ai,a2,a3），使

rrru

a=aii+a2j+a3k

有序实数组（ai,a2,a3）叫做向量\在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，可简记作

r

a=（ai,a2,a3）

z

在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A，

r

对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x、y、z，使

umrru

OA=xi+yj+zk

有序实数组（x,y,z）叫做点A的坐标，记作

A（x,y,z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标。

二、空间向量的直角坐标运算：

rr

I•设a=（ai,a2,a3）?

b=（bi,6,bs），则

1a+b=（ai+b,a2+6,a3+b3）;rr

2a-b=（ai-bi,a2-b2,a3-bs）;

r

3Ia=（lai,la2,la3）（l?

R）;

rr

4a?

baibi+a2b2+a3bs;

rr

5a八b?

aibia26+a3bs=0;

rr

⑥a//b?

lai=lbi

^a2lb2（l?

R）

II.若A（xi,yi,zi）、

（x2,y2,Z2），则

=lb3

①AB的中点坐标是严产，皿产，电产）;

uuuruuuruuur

②AB=OB-OA=（X2-xi,y2-yi卫-Zi）。

说明：

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

rrrr

1、若a=（-3,2,5）,b=（1,m,-1），且a?

2,则m=

（A）3（B）4

（C）5（D）6

2、点P（1,-3,5）关于原点对称的点P的坐标是

3、设点M（i,-2,3），N是点P（3,4,5）在坐标平

uuuur

面xOy内的射影，则MN的坐标是。

uuur

4、已知O为直角坐标原点，向量OA=（3,0,1）,uuuruuuruuuruuuruuuruuurOB=（-1,1,2），OC八OA，BC//OA，求AC。

rr

5、若a=q,5,-1）,尸（-2,3,5）。

1若（ka+b）//（a-3b），求实数k的值；

zrrrr、

2若（ka+b）a（a-3b），求实数k的值。

3

✓

6、如图，在正方体ABCD-AiB1C1D1中，E、F分别是BBi、BiDi的中点，求证：

EFaAiD。

D1

7、如图，在正方体ABCD-AiBiC1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：

DiFa平面ADE。

（bi,b2,b3），则

I

右a=（ai,a2,a3）

=

夹角和距离公式:

-b2+b2+b3。

rrr-r

|b|=•bb

rr

②cosva?

3>

|a|柚|

aibi+a2b2+a3b3

Jaf+a2+a3Jbi+b2+b3

II.若A（xi,yi,zi）,B（X2，目2,北2），则

yi）2+（Z2-zi）2或

uuu厂

|AB|=,（X2-Xi）+（y2-

dA,B

r~22-~2

;（x2-xi）+（y2-yi）+（Z2-zi）

其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间

两点间的距离公式

i、在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别

是AAi、CCi的中点，则直线DE与DiF所成角的余弦值是

（A）5（B）3_

（C）J（D）乎

2、在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，O

是底面ABCD的中心，E、F分别是CCi、AD的中点，那么异面直线OE和DiF所成的角的余弦值等于

O

-1

3、如图，直棱柱ABC-AiBiCi的底面DABC中，

且PG=4，AG=3LGD，

G八GC，GB=GC=2，E

是BC的中点

①求异面直线GE与PC所成的角的余弦值;

②若F点是棱PC上一点，且DF八GC，求帝的

四、平面的法向量：

I•平面法向量定义：

1如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作aAa。

rr

2如果aaa，那么向量a叫做平面a的法向量

n•平面的方程:

①一般式：

Ax+

y+Cz+D=0;

②截距式：

a+b+c=1

川•如何求平面的法向量：

方法一：

利用平面方程求法向量。

一个法向量是n=（A,B,C）

方法二：

利用平面内不共线二向量求法向量。

rr

设a、b是平面a内不共线二向量，a的法向量是rrrr

n=（x,y,z）（或n=（1,y,z）或n=（x,1,z）或n=（x,y,1））,

rr

gn?

a0r

根据jrr即可得到n。

n?

b0

■

方法三：

利用向量的外积求法向量。

rr

若a=（xi,yi,zi）、b=（x2,y2,Z2）是a内不共线

二向量，则可取

茫yizi

xizi

xiyi

旳2Z2

-

x2z2

x2y2

（其中二阶行列式

ABC在如觀示的

ab

=ad-be）。

魯|角的中个法向量在坐是正方且