高考理科数学全国1卷含答案.docx
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高考理科数学全国1卷含答案
2015年高考理科数学试卷全国1卷
1.设复数z满足1
1
z=i,则|z|=()
z
(A)1(B)2(C)3(D)2
2.sin20ocos10o
cos160osin10o
=()
(A)3
2
3
(B)
2
(C)1
2
1
(D)
2
3.设命题p:
nN,n2
2n,则p为()
(A)
nN,n22n
(B)
nN,n22n
(C)
nN,n22n
(D)
nN,n2
=2n
4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()
(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312
x2
5.已知M(x
y)是双曲线C:
y21上的一点,
F,F是C上的两个焦点,若
0012
2
MF1
MF20,则
y0的取值范围是()
(A)(-
3333
,)(B)(-,)
3366
(C)(22,22
33
)(D)(23,23)
33
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依
垣内角,下周八尺,高五尺。
问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部
的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有()
(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛
7.设D为ABC所在平面内一点BC3CD,则()
(A)AD
1AB4AC(B)AD1AB4AC
3333
(C)AD
41
ABAC(D)AD
4AB
1AC
3333
8.函数
f(x)=cos(x
)的部分图像如图所示,则
f(x)
的单调递减区间为()
(A)(k
1,k3),kZ(B)(2k1,2k3),kZ
4444
(C)(k
1,k3),kZ(D)(2k1,2k3),kZ
4444
9.执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()
(A)5(B)6(C)7(D)8
10.(x2
xy)5的展开式中,
x5y2的系数为()
(A)10(B)20(C)30(D)60
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()
(A)1(B)2(C)4(D)8
12.设函数
f(x)
=ex(2x1)
axa,其中a1,若存在唯一的整数
x0,使得
f(x0)
0,则a的取值范围是()
(A)[-3,1)(B)[-3,3)(C)[3,3)(D)[3
,1)
2e2e42e42e
13.若函数f(x)=xln(xax2)为偶函数,则a=
14.一个圆经过椭圆
22
xy
164
1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标
准方程为.
x
1
0
15.若x,y满足约束条件
x
y
0
,则y的最大值为.
x
y
4
0
x
16.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.
17.(本小题满分12分)
2
S为数列{a}的前n项和.已知a>0,aa=4S3.
nnnnnn
(Ⅰ)求{
an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn
1
anan1
求数列{bn}的前n项和.
18.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=12°0,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥
平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(Ⅰ)证明:
平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:
千元)
对年销售量y(单位:
t)和年利润z(单位:
千元)的影响,对近8年的年宣传费
xi和
年销售量
yi(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计
量的值.
xyw8
i1
(xi
v)
2
8
(wi
i1
w)
2
8
(xi
i1
x)(yiy)
8
(wi
i1
w)(yiy)
46.656.36.8289.81.61469108.8
表中wi
18
xi,w=wi8i1
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费
x的回归方程类型?
(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(ⅰ)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ⅱ)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?
附:
对于一组数据
(u1,v1),
(u2,v2),,(un,vn),其回归线vu的斜率和截
距的最小二乘估计分别为:
2
20.(本小题满分12分)在直角坐标系xoy中,曲线C:
y=x
4
0)交与M,N两点,
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
与直线ykxa(a>
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM∠=OPN?
说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3ax
1,g(x)lnx.
4
(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线
yf(x)
的切线;
(Ⅱ)用mni
m,n表示m,n中的最小值,设函数
h(x)min
f(x),g(x)(x
0),
讨论h(x)零点的个数.
22.(本题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,AB是的直径,AC是的切线,BC交于E.
(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:
DE是的切线;
(Ⅱ)若OA3CE,求∠ACB的大小.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线
2
C:
x=2,圆C:
x1
2
y21,以坐标原点
12
为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求
C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线
C3的极坐标方程为R,设
4
C2与
C3的交点为M,N,求
C2MN的面积.
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【答案解析】
1.【答案】A
【解析】由1
1
zi得,zz
1i=(1
1i(1
i)(1
i)(1
i)=i,故|z|=1,故选A.
i)
o
考点:
本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D
【解析】原式=sin20
cos10o
cos20o
sin10o
=sin30o=1
2
,故选D.
考点:
本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3.【答案】C
【解析】p:
nN,n2
2n,故选C.
考点:
本题主要考查特称命题的否定
4.【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为
C20.62
0.40.63=0.648,
3
故选A.
考点:
本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式
5.【答案】A
【解析】由题知
F(3,0),F
2
(3,0),x0
y21
,所以
MFMF=
12012
2
(3x,
y)(3
x,y)
=x2
y233y2
10,解得3y3,
故选A.
0000
0000
33
考点:
双曲线的标准方程;向量数量积坐标表示;一元二次不等式解法.6.【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r,则123r
4
8=r
16
,所以米堆的体积为
3
113(16)2
5=320
,故堆放的米约为320
÷1.62≈22,故选B.
43399
考点:
圆锥的性质与圆锥的体积公式
7.【答案】A
【解析】由题知
ADACCDAC
1BCAC
1(ACAB)=
33
14
ABAC,故选A.
33
考点:
平面向量的线性运算
8.【答案】D
【解析】由五点作图知,
1+
42,解得=,=
,所以
f(x)cos(x),
5+344
令2kx2k4
42
kZ,解得2k
1<x<2k4
3,kZ,故单调减区
4
间为(2k
1,2k
4
3),kZ,故选D.
4
考点:
三角函数图像与性质
9.【答案】C
【解析】执行第1次,t=0.01,S=1,n=0,m=1
2
=0.5,S=S-m=0.5,m
m
=0.25,n=1,S=0.5
2
>t=0.01,是,循环,
执行第2次,S=S-m=0.25,m
m
=0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环,
2
执行第3次,S=S-m=0.125,m
m
=0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环,
2
执行第4次,S=S-m=0.0625,m
m
=0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环,
2
执行第5次,S=S-m=0.03125,m
执行第6次,S=S-m=0.015625,m
m
=0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环,
2
m
=0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是,循环,
2
执行第7次,S=S-m=0.0078125,m
输出n=7,故选C.
考点:
本题注意考查程序框图
10.
5
2
【答案】C
m
=0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否,
2
【解析】在
(x2
xy)的5个因式中,2个取因式中
x剩余的3个因式中1个取x,
其余因式取y,故x5y2的系数为
C2C1C2=30,故选C.
532
考点:
本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数,试题形式新颖,是中档题,求多项展开式式某一项的系数问题,先分析该项的构成,结合所给多项式,分析如何得到该项,再利用排列组知识求解.
11.【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球
的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为
14r2
2
r2rr2
2r2r=
5r2
4r2=16+20,解得r=2,故选B.
考点:
简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式
12.【答案】D
【解析】设
g(x)
=ex(2x
1),yaxa,由题知存在唯一的整数
x0,使得
g(x0)在
直线yaxa的下方.
因为g
(x)
ex(2x
1
1),所以当x
1
1时,g
2
(x)<0,当x
1时,g
2
(x)>0,所
以当x时,[g(x)]max=-2e2,
2
当x0时,
g(0)
=-1,
g
(1)3e
0,直线yaxa恒过(1,0)斜率且a,故
ag(0)1,且
g
(1)3e1
aa,解得3
2e
≤a<1,故选D.
考点:
本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
13.【答案】1
【解析】由题知y
2
ln(xax)是奇函数,所以
ln(xax2)ln(
xax2)
=ln(ax2
x2)lna
0,解得a=1.
考点:
函数的奇偶性
32225
14.【答案】(x)y
24
【解析】设圆心为(a,0),则半径为4a,则(4
a)2
a222,解得a3,故
2
圆的方程为(x
3)2y225.
24
考点:
椭圆的几何性质;圆的标准方程
15.【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,y
x
是可行域内一点与原
点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故y
x
的最大值为3.
考点:
线性规划解法
16.【答案】(62,6+2)
【解析】如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时,AB最长,
在△BCE中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得
BCBE,即
2BE
sinEsinC
oo
sin30sin75
,解得BE=6+2,平移AD,当D与C重合时,AB最短,此时
与AB交于F,在△BCF中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知,
sin
BFBC
FCBsinBFC
,即BFsin30o
2,解得BF=62,所以AB的取值
sin75o
范围为(62,6+2).
考点:
正余弦定理;数形结合思想
17.【答案】(Ⅰ)2n
【解析】
1(Ⅱ)
11
64n6
试题分析:
(Ⅰ)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{
an}的递推公式,可以判
断数列{
an}是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{
an}的通项公式;(Ⅱ)
根据(Ⅰ)数列{
bn}的通项公式,再用拆项消去法求其前n项和.
试题解析:
(Ⅰ)当n
1时,a22a4S34a+3,因为a0,所以a=3,
1111n1
22
当n2时,
anan
an1
an1
=4Sn
34Sn13
=4an,即
(an
a1n
)(an
1an
)2a,(n
因为aann
)0,所以an
an1=2,
所以数列{
an}是首项为3,公差为2的等差数列,
所以an=2n1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
b=11(11),
n
(2n1)(2n3)22n12n3
所以数列{
bn}前n项和为
b1b2
bn=
1[(11)(11)(11)]=11.
235572n12n364n6
考点:
数列前n项和与第n项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法
3
18.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
3
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中,不妨设GB=1
易证EG⊥AC,通过计算可证EG⊥FG,根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC,由面
面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC;(Ⅱ)以G为坐标原点,分别以
GB,GC的方向
为x轴,y轴正方向,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,利用向量法可求
出异面直线AE与CF所成角的余弦值.
试题解析:
(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中,不妨设GB=1,
由∠ABC=12°0
,可得AG=GC=3.
由BE⊥平面ABCD,AB=BC可知,AE=EC,又∵AE⊥EC,∴EG=3,EG⊥AC,
在Rt△EBG中,可得BE=2,故DF=2.
2
在Rt△FDG中,可得FG=6.
2
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=2,DF=2
2
2
可得EF=32,
2
∴EG2
FG2
EF,∴EG⊥FG,
∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面AFC,
∵EG面AEC,∴平面AFC⊥平面AEC.
(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以
GB,GC的方向为x轴,y轴正方向,|GB|为单
位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,由(Ⅰ)可得A(0,-3,0),E(1,0,2),
F(-1,0,2
2
),C(0,3,0),∴AE=(1,3,2),CF=(-1,-3,2
2
).10
分
故cos
AE,CF
|AE||CF|3
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为3.
3
考点:
空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力
19.【答案】(Ⅰ)ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型;
(Ⅱ)y
100.668
x(Ⅲ)46.24
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;(Ⅱ)令
wx,先求出建立y关于w的线性回归方程,即可y关于x的回归方程;(Ⅲ)(ⅰ)
利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值,再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值;(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值,列出关于x的方程,利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费
用.
试题解析:
(Ⅰ)由散点图可以判断,ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.
8
(wi
w)(yiy)
(Ⅱ)令wx,先建立y关于w的线性回归方程,由于
i1
d
=
8
i
(ww)2
i1
108.8=68,
16
∴cydw=563-68×6.8=100.6.
∴y关于w的线性回归方程为y100.668w,
∴y关于x的回归方程为y100.668x.
(Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值
y100.66849=576.6,
z576.60.24966.32.
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值
z0.2(100.668x)
xx13.6x
20.12,
∴当x=13.6=6.8,即x
2
46.24时,z取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分
考点:
非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识
20.【答案】(Ⅰ)
axya
0或axya
0(Ⅱ)存在
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)先求出M,N的坐标,再利用导数求出M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将ykxa代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程,设出M,N的坐标和P点坐标,利用设而不求思想,将直线PM,PN的斜率之和用a表示出来,利
用直线PM,PN的斜率为0,即可求出
a,b关系,从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析:
(Ⅰ)由题设可得
M(2
a,a)
,N(22,a),或
M(22,)
a,N(2
a,a).
∵y1x,故2
x2
y在x=22a处的到数值为a,C在(22a,a)4
处的切线方程为
yaa(x
2a),即
axya0.
x2
故y在x=-22a处的到数值为-a,C在(22a,a)处的切线方程为
4
yaa(x
2a),即
axya0.
故所求切线方程为
axya
0或axya0.
(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:
设P(
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