高三最新 北京市海淀区高三年级第二学期期中练.docx
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高三最新北京市海淀区高三年级第二学期期中练
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学试题(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第II卷2至4页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡及答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束,将本试卷、答题卡、答题纸一并交回。
第I卷(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中。
选出符合题目要求的一项.
1.在复平面内,复数(是虚数单位)对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.在同一坐标系中画出函数的图像,可能正确的是
3.在四边形ABCD中,且,则四边形ABCD是
A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形
4.在平面直角坐标系中,点P的直角坐标为。
若以圆点O为极点,轴半轴为极轴建立坐标系,则点P的极坐标可以是
A.B.C.D.
5.一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三
棱柱的左视图的面积为
A.B.8
C.D.12
6.已知等差数列1,,等比数列3,,则该
等差数列的公差为
A.3或B.3或
C.3D.
7.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是
A.B.1
C.2D.
8.已知数列具有性质P:
对任意,
,与两数中至少有一个是该数列中的一项,现给出以下四个命题:
①数列0,1,3具有性质P;
②数列0,2,4,6具有性质P;
③若数列A具有性质P,则;
④若数列具有性质P,则
其中真命题有
A.4个B.3个C.2个D.1个
第II卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分
9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了
100名学生,统计他们每天平均学习时间,绘成
频率分布直方图(如图)。
则这100名同学中学习
时间6~8小时的人数为。
10.如图,AB为的直径,且AB=8,P为OA的中点,
过点P作的弦CD,且则弦CD
的长度为。
11.给定下列四个命题:
①“”是“”的充分不必要条件;
②若“”为真,则“”为真;
③若,则;
④若集合,则。
其中真命题的是(填上所有正确命题的序号)
12.在二项式的展开式中,的系数是,则实数的值为。
13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且它们在第一象限的交点为,是以为底边的等要三角形,若,双曲线的离心率的取值范围为,则该椭圆的离心率的取值范围为。
14.在平面直角坐标系中,点集
则:
(1)点集所表示的区域的面积为
。
(2)点集所表示的区
域的面积为。
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程;
15.(本小题满分13分)
已知函数,部分图像如图所示。
(I)求的值;
(II)设,求函数的
单调递增区间。
16.(本小题满分13分)
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:
消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元;停在B区域返券30元;停在C区域不返券.例如:
消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.
(I)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;
(II)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为X(元).
求随机变量X的分布列和数学期望。
17.(本小题满分14分)
如图,在三棱柱中,侧面底面ABC,,,且为AC中点。
(I)证明:
平面ABC;
(II)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在上是否存在一点E,使得平面
,若不存在,说明理由;若存在,确
定点E的位置。
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中为常数,且。
(I)当时,求在()上的值域;
(II)若对任意恒成立,求实数的取值范围。
19.(本小题满分13分)
已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在轴上,左右焦点分别为,且=2点在该椭圆上。
(I)求椭圆C的方程;
(II)过的直线与椭圆C相交于A,B两点,若的面积为,求以为圆心且与直线相切的圆的方程。
20.(本小题满分13分)
已知数列满足:
,
(I)求得值;
(II)设,试求数列的通项公式;
(III)对任意的正整数,试讨论与的大小关系。
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(理)
参考答案及评分标准2018.4
说明:
合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
C
A
C
A
B
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)
9.3010.711.①,④12.113.14.;.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由图可知,,………………2分
又由得,,又,得,………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
………………6分
因为………………9分
所以,,即.……………12分
故函数的单调增区间为.……………13分
16.(本小题满分13分)
解:
设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.
则.………………3分
(Ⅰ)若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域.
………………6分
即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是.
(Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘2次.
随机变量的可能值为0,30,60,90,120.………………7分
………………10分
所以,随机变量的分布列为:
0
30
60
90
120
………………12分
其数学期望.………13分
17.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)证明:
因为,且O为AC的中点,
所以.………………1分
又由题意可知,平面平面,交线为,且平面,
所以平面.………………4分
(Ⅱ)如图,以O为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知,又
所以得:
则有:
………………6分
设平面的一个法向量为,则有
,令,得
所以.………………7分
.………………9分
因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余,所以.………………10分
(Ⅲ)设………………11分
即,得
所以得………………12分
令平面,得,………………13分
即得
即存在这样的点E,E为的中点.………………14分
18.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)当时,
得………………2分
令,即,解得,所以函数在上为增函数,
据此,函数在上为增函数,………………4分
而,,所以函数在上的值域为
………………6分
(Ⅱ)由令,得即
当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增;……………7分
若,即,易得函数在上为增函数,
此时,,要使对恒成立,只需即可,
所以有,即
而,即,所以此时无解.
………………8分
若,即,易知函数在上为减函数,在上为增函数,
要使对恒成立,只需,即,
由和
得.………………10分
若,即,易得函数在上为减函数,
此时,,要使对恒成立,只需即可,
所以有,即,又因为,所以.……………12分
综合上述,实数a的取值范围是.……………13分
19.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)设椭圆的方程为,由题意可得:
椭圆C两焦点坐标分别为,..……………1分
..……………3分
又,……………4分
故椭圆的方程为..……………5分
(Ⅱ)当直线轴,计算得到:
,
,不符合题意..……………6分
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为:
,
由,消去y得,.……………7分
显然成立,设,
则.……………8分
又
即,.……………9分
又圆的半径.……………10分
所以
化简,得,
即,解得
所以,,.……………12分
故圆的方程为:
..……………13分
(Ⅱ)另解:
设直线的方程为,
由,消去x得,恒成立,
设,则……………8分
所以
.……………9分
又圆的半径为,.……………10分
所以,解得,
所以,……………12分
故圆的方程为:
..……………13分
20.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)∵,,,,
∴;;.………………3分
(Ⅱ)由题设,对于任意的正整数,都有:
,
∴.∴数列是以为首项,为公差的等差数列.
∴.…………………………………………………………7分
(Ⅲ)对于任意的正整数,
当或时,;
当时,;
当时,.……………………………………8分
证明如下:
首先,由可知时,;
其次,对于任意的正整数,
时,;
…………………9分
时,[来源:
学#科#网Z#X#X#K]
所以,.…………………10分
时,
事实上,我们可以证明:
对于任意正整数,(*)(证明见后),所以,此时,.
综上可知:
结论得证.…………………12分
对于任意正整数,(*)的证明如下:
1)当()时,
,
满足(*)式。
2)当时,,满足(*)式。
3)当时,
于是,只须证明,如此递推,可归结为1)或2)的情形,于是(*)得证.
…………………14分
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