高中数学 11 2基本计数原理和排列组合教案 新人教A版选修选修23.docx
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高中数学112基本计数原理和排列组合教案新人教A版选修选修23
2019-2020年高中数学1.12基本计数原理和排列组合教案新人教A版选修选修2-3
一.本周教学内容:
选修2—3基本计数原理和排列组合
二.教学目标和要求
1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并能用两个计数原理解决一些简单的问题。
2.理解排列和组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式,组合数公式,并解决简单的实际问题。
3.让学生体会思想与方法,培养学生分析问题,解决问题的能力,激发学生学习的兴趣。
注意问题的转化,分类讨论,注重数形结合,学会从不同的切入点解决问题。
三.重点和难点
重点:
两个基本计数原理的内容;排列和组合的定义,排列数和组合数公式及其应用
难点:
两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题
四.知识要点解析
1.两个基本计数原理
(1)分类加法计数原理:
做一件事情,完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的办法……在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法
(2)分步乘法计数原理:
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一个步骤有m1种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同的办法……做第n个步骤有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法
说明:
(1)两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据,它们分别给出了用两种不同方式(分类和分步)完成一件事情的方法总数的计算方法
(2)考虑用哪个计数原理,关键是看完成一件事情是否能独立完成,决定是分类还是分步。
如果完成一件事情有n类办法,每类办法都能独立完成,则用分类加法计数原理;如果完成一件事情,需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有步骤,才能完成这件事情,则用分步乘法计数原理
(3)在解决具体问题,要弄清是“分步”,还是“分类”,还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么,注意分类,分步不能重复,不能遗漏
2.排列问题
(1)排列的定义:
一般的,从n个不同的元素中任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
说明:
①定义中包含两个基本内容:
一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”
②一个排列就是完成一件事情的一种方法
③不同的排列就是完成一件事情的不同方法
④两个排列相同,需要满足两个条件:
一是元素相同,二是顺序相同
⑤从n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列,记作
(2)排列数的定义:
从n个不同的元素中任取m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中任取m个元素的排列数。
用符号
(3)排列数公式:
(读作n的阶乘),0!
=1
说明:
①
②公式右边是m个从大到小的连续正整数之积,最大的因数是n,最小的因数是n-m+1
③n的阶乘是正整数n到1的连乘积
3.组合问题
(1)组合的定义:
一般地,从n个不同的元素中任取m(mn)个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
说明:
①如果两个组合中元素完全相同,不管它们的顺序如何都是相同的组合
②当两个组合中元素不完全相同,就是不同的组合
③排列和组合的区别:
排列和顺序有关,而组合和顺序无关
(2)组合数定义:
从n个不同的元素中任取m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中任取m个元素的组合数。
用符号
(3)组合数公式:
(4)组合数的两个性质:
①②
4.排列和组合的关系:
(1)二者区别的关键:
是否和顺序有关
(2)二者的联系:
5.解决站队和组数的常用方法:
(1)特殊位置(或元素)优先考虑法:
解决在与不在的问题
(2)捆绑法:
解决元素相邻的问题
(3)插空法:
解决元素不相邻的问题
(4)间接法:
先总体考虑,后排除不符合条件的,转化问题
【典型例题】
例1.(1993年全国高考)同室4人各写一张贺年卡片,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡片,则4张贺年卡片不同的分配方式有:
()
A.6种B.9种C.11种D.23种
错解:
①3×2×1×1=6选(A)
②3×2×2×1-1=11选(C)
③3×2×2×2-1=23选(D)
错解原因:
由于本人不能拿自己写的卡片这一限制条件,导致它们之间有过多的相互影响的限制,因此三种解法都没有能全面考虑。
有的重复有的遗漏,思路不清晰,从而错解本题。
由于本题4这个数目不大,设4人分别编号甲,乙,丙,丁,4人对应卡片分别编号1,2,3,4,我们可以采用穷举法逐一列举如下:
214323412413
314234213412
412343124321
共有9种,所以正确答案选(B)
分析:
建立数学模型将贺年卡片的分配问题转化为数学问题,用1,2,3,4这4个数字组成无重复的四位数,其中1不在千位,2不在百位,3不在十位,4不在个位的4位数共有多少个?
思路:
用乘法原理,千位只能放2,3,4三种;在放过数字2后,百位只能放1,3,4三种,后两位已经确定。
类似的,当千位数字是3,十位只能放1,2,4,其余也已确定
∴3×3×1=9,共有9种,所以正确答案选(B)
评析:
要分析清楚它们之间的关系,注意问题的转化,和数学问题联系起来,建立数学模型。
例2.(xx年全国高考文科)将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有种(以数字作答)
错解:
按照乘法原理3×2×2×2×2=48种
错解原因:
这48种里面有不符合条件的,设三种作物为ABC,例如下面情况是存在的ABABA,BABAB只有两种作物,不符合题意,共有种
正确解法:
48-6=42种
例3.从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学,物理,化学和英语竞赛,每名学生只能参加一科竞赛,且任2名同学不能参加同一科竞赛,若甲不参加物理和化学竞赛,则共有72种不同的参赛方案,问一共有多少同学?
分析:
若设共有n名同学,则我们可以用n把参赛方法总数表示出来,这种实际上就是得到了一个关于n的方程,解方程即可求出n的值
解:
设共有n名同学,首先从这n名同学中选出4人,然后再分别参加竞赛,按同学甲分类:
第一类,不选甲,则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4科竞赛,有种参赛方式;第二类,选甲,首先安排甲,有种方法,再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3科竞赛,有种方法,共有种参赛方式,所以根据分类计数原理,一共有+种方法,根据题意得+=72,解得n=5
评析:
对于这类较为复杂的问题,我们往往感到无从下手,如果,从竞赛学科的角度来思考,则需要分很多种情况,容易出错。
这时我们可以采用“先取后排”的原则:
即首先取出符合条件的元素,再按要求把它们排起来,这样解答比较条理,有利于问题的解决。
同学们在思考这个问题时,关键是要理清思路,注意问题的转化,不要“一条道走到黑”,不要“钻牛角尖”。
当然这道题也可采用“先特殊后一般”的原则解决,大家不妨一试。
例4.用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的
(1)五位数
(2)五位奇数(3)五位偶数
(4)数字0不选上,但数字2,3必须选上且相邻的五位数
解:
(1)首位是特殊位置,按照特殊位置优先考虑的方法,第一步:
首位共有方法,
第二步:
从剩余的9个数字(包括数字0)中选取4个排列,共有种方法
根据乘法原理:
共有=27216种
(2)填空法
思路一:
首位和末位都是特殊位置,如果先考虑首位,则有首位是奇数和偶数两种情况,分类讨论:
首位奇数,则有种,末位为奇数有种,其余种,所以共有=6720种方法。
首位偶数,不能为0,则有种,末位为奇数有种,其余种,所以共有=6720种方法,则共有+=13440种
思路二:
先确定末位为奇数,有种,首位不能为0,则有种,其余种,所以共有=13440种
分析:
两个特殊位置中末位更特殊,注意分析,有利于解决问题,在这里我详细分析,注意体会,并在解题中加以应用。
(3)思路一:
末位偶数,分两类:
末位是0,则首位有种,其余有;末位不是0,有种,则首位有种,其余有,所以共有+=13776种
思路二:
(间接法)利用五位数的方法数=27216种,减去五位奇数的方法数=13440种,所以共有-=27216-13440=13776种
(4)数字0不选上,但数字2,3必须选上且相邻的五位数
第一步:
选元素,数字2,3必须选上,然后再选择3个元素,有种
第二步:
排顺序,把2,3看成一个元素,俗称“捆绑”,共有4个元素排顺序,有种,但,2,3两元素还有顺序,有种
所以共有=1680种
分析:
该例题涉及组数,关键分清题目中的条件的限制,常用方法就是,特殊位置(元素)优先考虑,优先安排;相邻问题可以用捆绑法;不相邻问题可以用插空法;直接来求情况较多,也可以用间接法。
只有理解了题意,明白题目的意图,这些方法才能熟练应用。
思考:
如何解决这个问题?
用1到9这九个数组成九位数,要求偶数不能相邻,问有多少种不同的排法?
例5.六本不同的书,根据下列条件分配,各有多少种不同的分配方案?
(1)甲两本,乙两本,丙两本
(2)甲一本,乙两本,丙三本
(3)一人一本,一人两本,一人三本
(4)平均分成3堆
解:
(1)有编号,有分步计算原理得种
(2)有编号,甲有,乙有,丙有,所以共有=60种
(3)无编号,先分组后分配给甲乙丙,分组有,分配有,所以共有=360种
(4)平均分组种
【模拟试题】
一、选择题
1.已知椭圆的焦点在y轴上,且
,这样的椭圆共有()个
A.9B.12C.15D.30
2.某赛季足球比赛的计分规则是:
胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,一球队打完15场比赛,积分33分,若不考虑顺序,该队胜平负的情况共有()种
A.3B.4C.5D.6
3.(1991年全国高考)从4名甲型和5名乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各一台,不同的取法共有()种
A.140B.84C.70D.35
4.四个不同的小球放入编号1,2,3,4的四个盒子中,则恰有一个空盒的方法共有()种
A.288B.144C.72D.以上都不对
5.四面体的和各棱中点共有10个点,在其中取四个不共面的点,不同的取法有()种
A.150B.147C.144D.141
6.八个不同颜色的小球已平均分装在4个箱子中,现从不同的箱子中取出2个彩球,则不同的取法共有()种
A.6B.12C.24D.28
7.每天上午有4节课,下午2节课,安排5门不同的课程,其中安排一门课两节连在一起上,则一天安排不同课程的种数为()
A.96B.120C.480D.600
8.五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有()种
A.120B.78C.96D.72
9.从不同号码的5双鞋中任取4只,其中恰好有一双的取法种数为()
A.120B.60C.240D.280
10.分别在三张卡片的正反面上写有1与2,3与4,5与6,且6可以当9用,把这三张卡片拼在一起,表示一个三位数,则三位数的个数共有()个
A.12B.24C.48D.72
二、填空题
1.有100个三好学生名额,分配到高三年级60班,每班至少一个名额,共有种不同的分配方案。
2.马路上有8盏路灯,为节约用电又不影响正常的照明,可把其中的3盏灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或者三盏,也不能关掉两端的灯,那么满足条件的关灯方法共有
种。
3.三个人坐在一排8个座位上,若每人两边都有空位,则坐法种数为
4.计算
5.若,则x=
6.十只产品中有4只次品,6只正品,每次取出一个测试,直到4只次品全测出为止,则第4只次品在第5次测试时被发现的情形共有种
三、解答题(套题)
有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,不同的排法有多少种?
(1)全体排成一排
(2)选其中5人排成一排
(3)全体排成一排,其中甲只能在中间或者两头位置
(4)全体排成一排,甲乙必须在两头
(5)全体排成一排,甲不在最左边,乙不在最右边
(6)全体排成一排,男女生各一边
(7)全体排成一排,男生必须排在一起
(8)全体排成一排,其中甲必须在乙的左边
(9)全体排成一排,男生不能排在一起
(10)全体排成一排,甲乙两人之间必须有3人
(11)排成前后两排,前排3人,后排4人
(12)排成前后2排,甲必须在前排
请做完之后,再看答案
【试题答案】
一、选择题
1.A2.A3.C4.B5.D
6.C7.C8.B9.A10.D
二、填空题
1.挡板法,把100个名额看成100个位置,中间有99个空,插入59个挡板,分成60部分,即种
2.插空法:
问题转化为“在5盏亮灯的4个空中插入3盏暗灯”所以=4种
3.24
4.利用,结果为
5.2x-7=x或2x-7+x=20,解得x=7或x=9
6.第4只次品在第5次测试时被发现,说明前四次测试中有3只次品,一只正品,第5次一定是次品,所以共有种不同的方法。
三、解答题(套题)
【励志故事】
宽恕的力量
在美国南北战争期间,有个名叫罗斯韦尔·麦金太尔的年轻人被征入骑兵营。
由于战事进展不顺,士兵奇缺,在几乎没有接受任何训练的情况下,他就被临时派往战场。
在战斗中,年轻的麦金太尔担惊受怕,终于开小差逃跑了。
后来,他以临阵脱逃的罪名被军事法庭判处死刑。
当麦金太尔的母亲得知这个消息后,她向当时的总统林肯发出请求。
她认为自己的儿子年纪轻轻,少不更事,他需要第二次机会来证明自己。
然而部队的将军们力劝林肯严肃军纪,声称如果开了这个先例,必将削弱整个部队的战斗力。
在这种情况下,林肯陷入两难境地。
经过一番深思熟虑后,他最终决定宽恕这个年轻人,并说了这样一句著名的话:
“我认为,把一个年轻人枪毙对他本人绝对没有好处。
”为此他亲自写了一封信,要求将军们放麦金太尔一马:
“本信将确保罗斯韦尔·麦金太尔重返兵营,在服完规定年限的兵役后,他将不受临阵脱逃的指控。
”
如今,这封褪了色的林肯亲笔签名信被一家著名的图书馆收藏展览。
这封信的旁边还附带了一张纸条,上面写着:
“罗斯韦尔·麦金太尔牺牲于弗吉尼亚的一次激战中,此信是在他的贴身口袋里发现的。
”
一旦被给予第二次机会,麦金太尔就由怯懦的逃兵变成了无畏的勇士,并且战斗到自己生命的最后时刻。
由此可见,宽恕的力量何等巨大!
由于种种原因,人不可能不犯错误,但只有宽恕才能给他第二次机会,也才有可能让他弥补先前的过失。
[小编插语]宽恕别人,也是在善待自己,这样我们才能收获更多。
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