LDPC码及其译码实现.docx

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LDPC码及其译码实现

LDP（码及其译码实现

•、LDPC码简介

LDP（码最早在20世纪60年代由Gallager在他的博士论文中提出，但限于当时的技术条件，缺乏可行的译码算法，此后的35年间

基本上被人们忽略，其间由Tanner在1981年推广了LDP（码并给出了LDP（码的图表示，即后来所称的Tanner图。

1995年前后MacKaysNeal等人对LDP（码重新进行了研究，提出了可行的译码算法，从而进一步发现了LDP（码所具有的良好性能，迅速引起强烈反响和极大关注。

LDP（码（低密度奇偶校验码）本质上是一种线形分组码，它通过一个生成矩阵G各信息序列映射成发送序列，也就是码字序列。

对于生成矩阵G,完全等效地存在一个奇偶校验矩阵H,所有的码字序列C构成了H勺零空间（nullspace），即HC=O。

LDP（码的奇偶校验矩

阵H是一个稀疏矩阵，相对于行与列的长度，校验矩阵每行、列中非零元素的数目（我们习惯称作行重、列重）非常小，这也是LDP（码之所以称为低密度码的原因。

由于校验矩阵H的稀疏性以及构造时所使用的不同规则，使得不同LDP（码的编码二分图（Taner图）具有不同的闭合环路分布。

而二分图中闭合环路是影响LDP（码性能的重要因素，它使得LDP（码在类似可信度传播（BeliefProPagation）算法的一类迭

代译码算法下，表现出完全不同的译码性能。

当H的行重和列重保持不变或尽可能的保持均匀时，我们称这样

的LDP（码为正则LDP（码，反之如果列、行重变化差异较大时，称为非正则的LDPC码。

根据校验矩阵H中的元素是属于GF（2还是GF（q）（q=2）,我们还可以将LDPC码分为二元域或多元域的LDPC码

二、LDPC译码算法

2.1、Gallager概率译码算法

Gallage当初为了介绍LDP（码，同时还提出了一种迭代的概率译码算法，Gallage概率译码算法，后来在此基础上又发展出了置信度传播译码算法（BPA也称SPA或者MPA）。

假设一个二进制序列是一个LDP（码字，那么这n个比特就要满足由该码字的校验矩阵所确定的一系列的校验方程。

并且，包含某一比

特Ci的校验方程可能不止一个，这些校验方程中的其他比特又可能包含在其他更多的校验方程中。

为了直观的表示这种关系，Gallager引

入了校验集合树的概念。

图2.1所示为某一比特的校验集合树。

（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（3,3）

图2.1校验集合树

根节点表示比特d,和d相连的每一条边表示包含d的一个校验方

程，在图2.1中，d包含在3个校验方程中；第一层中的每一线段上

校验方程中的加法是模

2加。

Cd即为比特d的数值，Ci,i即为比特

验方程分别是:

Cd

C1,1

C1,2

C1,3

Cd

C2,1

C2,2

C2,3

CdC3,1C3,2

C3,3

（1,1）的数值。

与第一层各节点相连接的每条边同样表示包含该比特的一个校

验方程，第二层中的每一线段上的节点同样表示该校验方程中除第一

层比特以外的其他比特。

以比特（2,2）为例，和比特（2,2）相连接的边有3条，其中一条与本层节点（2,1），（2,3），及根节点d相连，另外两条与第二层中节点u,v,w和x,y,才目连。

因此包含比特（2,2）的3个校验方程分别为：

C2,2

C2,1C2,3Cd0

C2,2

CuCvCw0

C2,2

CxCyCz0

第三层

（图中未画出）及以后的各层依此类推，每个比特都有相

应的以该比特为根节点的校验集合树。

假设信道是无记忆信道，yi仅与Ci及信道噪声有关，考虑根

节点d和第一层节点组成的集合，这些比特组成了包含比特d的

j个校验方程，每个校验方程由k个比特组成（包含比特d），显然发送的这些比特满足这j个校验方程。

因此假设当发送的码字是c（C°,Ci，|||,Cn1）时，那么在以上情况下接收到的符号即为y（yo,yi,11|,yni）。

这样在传送码字C时，码字中的各比特满足包含比特d的j个校验方程。

当接收到相应的符号序列y时，比特d为1的条件

概率可以表示为P（Cd1|y,c）。

同理，比特d为0的条件

概率表示为P（Cdo|y,c）。

又令当不考虑发送比特间的相

关性时，d为1的概率表示为p（Cd1|y），它与信道模型有关。

令PdP（Cd1|y），Pn表示d的校验集合树第一

层中包含d的第i个校验方程的第I个比特为1的概率，那么有:

根据式2.1,只要知道了图2.1的第一层中各比特为1的概率

Pii，就可以算出比特d的条件概率。

在其他根节点的校验树里比特d又作为一个节点参与到根节点的概率计算中去，即比特d从与其有关的节点中获取信息计算出概率，再将其计算出的概率信息传出用于计算其他的节点5,由于在计算其他节点Ci时同样会用到计算比特d时所用过的运算，所以可以通过共享计算的中间结果而使计算量大为降低，进而发展出了BPA（也称SPA或MPA。

2.2BP算法（也称SP或MP算法）

校验集合树虽然比较直观，但对于每一个节点都有不同的校验集合树，因此在描述并行计算整个码字各比特的后验概率时，使用校验

集合树并不方便，因此介绍一种新的图形表示法，Tanner图。

对应于

图2.1的Tanne图如图2.2所示。

该图仅画出部分变量节点和校验节点。

Tanner图中变量节点对应于校验集合树中的节点，校验节点对应于校验集合树中的边。

（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（3,3）d

图2.2对应于图2.1校验集合树的部分Tanner图

由Tanner图可看出，信息是在变量节点和校验节点之间来回传递

的，变量节点d将自身的固有信息再加上与它有关的S1，S2，S3校验节点传给它的额外信息一起传递给校验节点S4。

同理，校验节点Cj也是将自身的固有信息再加上与它有关的除某一变量节点Vi以外的其

余变量节点所传给Cj的额外信息一起传递给变量节点Vi，如此信息便在变量节点和校验节点之间来回传递，不断更新变量节点和校验节点的值，所有变量节点和校验节点更新完一次称之为一次迭代结束，直

到变量节点译码成功或者达到最大的迭代次数译码输出

因此，完整的BPA（也称SPA或MPA）表述如下:

概率

rml

（1）[qml'（2.2）

lL（m）/I

器（1rml）/2（2.3）

A（1铀）/2（2.4）

3）变量节点更新：

qmlmlP0r：

l（2.5）

m'M（l）/m

q：

lmlP1,r；'l（2.6）

mM（l）/m

其中ml是一个使得qmlq1ml1的值

4）似后验概率更新

q0lPl0以（2.7）

mM（l）

q1lP1咕（2.8）

mM（l）

同样l是一个使得ql0q11的值

5）比特判决：

如果q00.5，判决人0；否则判人1,（i1,2j||,N）若HTx0，或者迭代次数达到最大迭代次数，则结束迭代，将x

作为译码输出；否则返回到步骤2）继续迭代。

2.3Log-BP算法

由2.2介绍的BP算法可以看出BP算法比较复杂，且该算法需要很

多连乘运算，需要大量的运算时间和消耗大量的硬件资源，不便于硬

件实现，因此，又发展出了一种更加简便的对数域的BP算法，简称

Log-BP算法。

考虑一个二值随机变量x，它的对数似然比L（x）定义为

L（x）lnP^

P（x1）

根据对数似然比的定义，令

0.fl0

VlnfT

fi

0

Vml1n¥

Oml

0

Vin牛

qi

0

「ml

Umlln-

「ml

再对以上的BP算法在对数域内进行一系列的化简，最终可获得

Log-BP算法的完整表述：

1）初始化：

VmlV0（2.9）

2）校验节点更新：

1V/

Uml2tanh[tanh^]（2.10）

l'L（m）/l'2

3）变量节点更新：

VmlV0Um.（2.11）

m'M（l）/m

4）似后验概率更新:

vv0Umi（2.12）

mM（l）

5）比特判决：

如果V|0,则判X|0；否则判X|1,（l1,2,卅,N）若HTx0，或者迭代次数达到最大迭代次数，则结束迭代，将x作为译码输出；否则返回到步骤2）继续迭代。

2.4Min_Sum算法（最小和译码算法）

由于Log-BP算法仍然具有连乘与反三角函数，因此仍然比较复

杂，进而又发展出了Log-Bf算法的近似算法，Min_Sum算法。

最小和译码算法的优点是对LDP（码并行的迭代软译码算法，故其运算比BP算法以及Log-Bp算法都要简单，它仅采用求最小值以及相加运算，而不需要乘法运算。

通过一系列的数学化简与近似运算，可在Log-Bp算法的基础上得到Min_Sum算法的完整表述，Min_Sum算法仅步骤2）与Log-Bp算法不同，其余的步骤均和Log-Bp算法的步骤相同，Min_Sum算法的步骤2）为:

2）校验节点更新：

Uml'ml|叩（监叫1丨（2・13）

lL（m）/l

其中ml'为每一个Vml'的符号，其余步骤及循环、迭代运算均与

Log-Bp算法一致。

三、译码算法的实现

在此选取C语言来实现译码算法，并且采用C与Matlab联调的方式

来验证译码程序的结果，Matlab里完成m文件和script的编写，C语言

与Matlab之间的联调通过Matlab的MEX文件来实现。

译码算法程序流程图：

图3.1译码算法程序流程图

译码程序输入的输入参数为信道接收到的码字，信道高斯噪声方

差以及校验矩阵H，按照以上程序流程运行后返回译码码字，其中MAX为最大迭代次数。

具体的译码程序和Matlab的MEX文件中各函数的定义，调用以及各自的实现方式如下图:

Min_Sum4.c

#include"mex.h"

#include"Min_Sum4_head.h"

VoidMin_Sum4（double,double*）{_

Structnode*RDsave（FILL*,int,int）

Structnode*decode（structnode*,structnode*,float）

}

函数

实现

VoidmexFunction（intnlhs,mxArray*plhs[],intnrhs,constmxArray*prhs[]）

{

mexErrMsgTxt（""）

mwSizemxGetM（mxArray*）

mwSizemxGetN（mxArray*）

mxArray*mxCreateDoubleMatrix（int,int,mxREAL）double*mxGetPr（mxArray*）

VoidMin_Sum4（double,double*）

}_

#include"Min_Sum4_head.h"

structnode*RDsave（FILE*,int,int）

structnode*Fun_check（structnode*,structnode*）;

structnode*Intial（structnode*,structnode*,float）;

structnode*Fun_step2（structnode*,structnode*）;

structnode*Fun_step3（structnode*,structnode*,structnode*）;

structnode*Fun_step4（structnode*,structnode*,structnode*）;

structnode*decode（structnode*,structnode*,float）;

{

structnode*Fun_check（structnode*,structnode*）;

structnode*Intial（structnode*,structnode*,float）;

structnode*Fun_step2（structnode*,structnode*）;

structnode*Fun_step3（structnode*,structnode*,structnode*）;structnode*Fun_step4（structnode*,structnode*,structnode*）;

}_

Min_Sum4_head.c

图3.2函数的调用及实现关系图

四、实验仿真结果及分析

4.1仿真结果

在仿真过程中，分别取不同的几个信噪比，对应于每个信噪比取一定数量的传输码字，经过编码、加噪和译码的流程最终得出误码率biterr，并画出对应信噪比误码率biterr的图形。

以Blks和SNR^实验条件，通过变化SNR和相应的Blks来进行仿真,用以衡量LDPC言道编码的性能，其中Blks为对应信噪比所传输的码字数量，SNR^信号与噪声的幅值比，实验图形如下：

图4.1

Blks=[2632226741500200Q]

图4.2

Blks=[26322267415002000];

SNR=[0.850.971.051.151.251.9];

图4.3

Blks=[2632226741500650034500102600];

SNR=[0.850.971.051.151.251.71.92.0];