如何解决初中数学难点之应用题.docx
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如何解决初中数学难点之应用题
如何解决初中数学难点之应用题
应用题联系实际,生动地反映了现实世界的数量关系,能否从具体问题中归纳出数量关系,反映了一
个人分析问题、解决问题的实际能力.
列方程解应用题,一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题,从中体现解应用题的技能和技巧.
一.合理选择未知元
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例1 (1983年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,以每小时9千米的速度走平路到B地,共用55分钟.回来时,他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用1.5小时,求A、B两地相距多少千米?
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例2 (1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%,而售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到(x+10)%,x等于多少?
解 本题若用直接元x列方程十分不易,可引入辅助元进货价M,则0.92M是打折扣的价格,x是利润,以百分比表示,那么写出售货价(固定不变)的等式,可得:
M(1+0.01x)=0.92M[1+0.01(x+10)].
约去M,得1+0.01x=0.92[1+01.1(x+10)].
解之,得 x=15.
例3 在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时候重合?
例4(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者的含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克?
解 采用直接元并辅以间接元,设切下的重量为x千克,并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1,n千克的铜合金中含铜百分数为q2,则切下的两块中分别含铜xq1千克和xq2千克,混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克,依题意,有:
二.多元方程和多元方程组
例5(1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相赠送,先由A给B、C,所给的豆数等于B、C原来各有的豆数,依同法再由B给A、C现有豆数,后由C给A、B现有豆数,互送后每人恰好各有64粒,问原来三人各有豆多少粒?
解 设A、B、C三人原来各有x、y、z粒豆,可列出下表:
解得:
x=104,y=56,z=32.
答:
原来A有豆104粒,B有56粒,C有32粒.
例6(1985年宁波市初中数学竞赛题)某工厂有九个车间,每个车间原有一样多的成品,每个车间每天能生产一样多的成品,而每个检验员检验的速度也一样快,A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品(所有成品指原有的和后来生产的成品)检验完毕后,再去检验另两个车间的所有成品,又用了三天检验完毕,在此五天内,B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品,问B组有几个检验员?
解 设每个车间原有成品x个,每天每个车间能生产y个成品;则一个车间生产两天的所有成品为(x+2y)个,一个车间生产5天的所有成品为(x+5y)个,由于A组的8个检验员每天的检验速度相等,可得
答:
B组有12个检验员.
三.关于不等式及不定方程的整数解
例7(1985年武汉市初一数学竞赛题)把若干颗花生分给若干只猴子,如果每只猴子分3颗,就剩下8颗;如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子得不到5颗,求猴子的只数和花生的颗数.
解:
设有x只猴子和y颗花生,则:
y-3x=8, ① 5x-y<5, ② 由①得:
y=8+3x, ③③代入②得5x-(8+3x)<5,∴ x<6.5
因为y与x都是正整数,所以x可能为6,5,4,3,2,1,相应地求出y的值为26,23,20,17,14,11.
经检验知,只有x=5,y=23和x=6,y=26这两组解符合题意.
答:
有五只猴子,23颗花生,或者有六只猴子,26颗花生.
例8(1986年上海初中数学竞赛题)在一次射箭比赛中,已知小王与小张三次中靶环数的积都是36,且总环数相等,还已知小王的最高环数比小张的最高环数多(中箭的环数是不超过10的自然数),则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少?
解 设小王和小张三次中靶的环数分别是x、y、z和a、b、c,不妨设x≤y≤z,a≤b≤c,由题意,有:
因为环数为不超过10的自然数,首先有z≠10,否则与①式矛盾.
若设z=9,则由①知:
xy=4,
∴x=2,y=2,或x=1,y=4,
∴x+y+z=13或x+y+z=14.
又由②及c<z知,c|36,∴c=6,这时,ab=6.
∴a=2,b=3,或a=1,b=6
∴a+b+c=11或a+b+c=13
又由③知:
x+y+z=a+b+c=13
∴取x=2,y=2,z=9.
答:
小王的环数分别为2环,2环,9环.
例9(1980年苏联全俄第6届中学生物理数学竞赛题)一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初,每辆汽车乘了22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上,已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?
有多少名旅客?
解 设起初有汽车k辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘的旅客为n名,显然,k≥2,n≤32,由题意,知:
22k+1=n(k-1),
∴k-1=1,或k-1=23,
即k=2,或k=24.
当k=2时,n=45不合题意,
当k=24时,n=23合题意,
这时旅客人数为n(k-1)=529.
答:
起初有24辆汽车,有529名旅客
四.应用题中的推理问题
竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现,而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力,还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维.
例10(1986年加拿大数学竞赛题)有一种体育竞赛共含M个项目,有运动员A、B、C参加,在每个项目中,第一、二、三名分别得p1、p2、p3分,其中p1、p2、p3为正整数且p1>p2>p3,最后A得22分,B与C均得9分,B在百米赛中取得第一,求M的值,并问在跳高中谁取得第二名?
分析 考虑三个得的总分,有方程:
M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, ①
又 p1+p2+p3≥1+2+3=6, ②
∴6M≤M(p1+p2+p3)=40,从而M≤6.
由题设知至少有百米和跳高两个项目,从而M≥2,
又M|40,所以M可取2、4、5.
考虑M=2,则只有跳高和百米,而B百米第一,但总分仅9分,故必有:
9≥p1+p3,∴≤8,这样A不可能得22分.
若M=4,由B可知:
9≥p1+3p3,又p3≥1,所以p1≤6,若p1≤5,那么四项最多得20分,A就不可能得22分,故p1=6.
∵4(p1+p2+p3)=40,∴p2+p3=4.
故有:
p2=3,p3=1,A最多得三个第一,一个第二,一共得分3×6+3=21<22,矛盾.
若M=5,这时由5(p1+p2+p3)=40,得:
p1+p2+p3=8.若p3≥2,则:
p1+p2+p3≥4+3+2=9,矛盾,故p3=1.
又p1必须大于或等于5,否则,A五次最高只能得20分,与题设矛盾,所以p1≥5.
若p1≥6,则p2+p3≤2,这也与题设矛盾,∴p1=5,p2+p3=3,即p2=2,p3=1.
A=22=4×5+2.
故A得了四个第一,一个第二;
B=9=5+4×1,
故B得了一个第一,四个第三;
C=9=4×2+1,
故C得了四个第二,一个第三.
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