初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案.docx
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初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案
初中数学:
利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案)
一、选择题
1.关于二次函数y=x2+4x-7的最大(小)值,下列叙述正确的是()
A.当x=2时,函数有最大值
B.当x=2时,函数有最小值
C.当x=-2时,函数有最大值
D.当x=-2时,函数有最小值
2.如图K-6-1,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是()
图K-6-1
2222
A.60m2B.63m2C.64m2D.66m2
3.如图K-6-2所示,C是线段AB上的一个动点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正
方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是()
图K-6-2
A.当C是AB的中点时,S最小
B.当C是AB的中点时,S最大
C.当C为AB的三等分点时,S最小
D.当C为AB的三等分点时,S最大
4.如图K-6-3,在矩形ABCD中,AB=2,点E在边AD上,∠ABE=45°,BE=DE,连结BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连结QD.设PD=x,△PQD的面积为y,则能表示y与x之间函数关系的图象大致是()
图K-6-3
图K-6-4
二、填空题
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图K-6-5所示,当-5≤x≤0时,函数y的最大值是,最小值是.
图K-6-5
7.如图K-6-6,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,动点P从点A开始沿
边AB向点B以1cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s
的速度移动(不与点C重合).如果点P,Q分别从A,B同时出发,那么经过s,四边
形APQC的面积最小.链接学习手册例2归纳总结
图K-6-6
8.如图K-6-7①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图②是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是.
图K-6-7
三、解答题
9.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的
建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).
(1)如图K-6-8①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图②,现要求在图中所示位置留2m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:
“只要饲养室长比
(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确
图K-6-8
10.如图K-6-9所示,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,设运动时间为ts(0 图K-6-9 11.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的围网在水库中围成了如图K-6-10所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2. (1)求y与x之间的函数表达式,并注明自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,y有最大值? 最大值是多少? 图K-6-11 图K-6-10 [课堂达标] 1.[解析]D∵y=x2+4x-7=(x+2)2-11,∴此抛物线的开口向上,顶点为最低点, ∴x=-2时,函数有最小值. 2.[解析]C设BC=xm,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为ym2, 22 根据题意,得y=(16-x)x=-x+16x=-(x-8)+64,当x=8时,ymax=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2. 故选C. 3.[解析]A设AC=x,则BC=1-x, 222 所以S=x2+(1-x)2=2x2-2x+1, -21 所以当x=-2×2=2时,S有最小值. 4.解析]C易得BE=DE=22,则EP=EQ=22-x,过点Q作QF⊥AD于点F,则QF=22(22-x)=2-22x,∴y=2PD·QF=12x(2-22x)=-42x2+x=-42(x-2)2+22. 5.[答案]6-3 6.[答案]112.5 [解析]设一条直角边长为x,则另一条直角边长为30-x, 112 故S=2x(30-x)=-2(x-15)2+112.5. 故答案为112.5. 7.答案]3 [解析]设点P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Scm2,则 S=S△ABC-S△PBQ 11 =2×12×6-2(6-t)×2t 2 =t2-6t+36 =(t-3)2+27. ∴当t=3时,S取得最小值.故填3. 8.[答案]12 [解析]观察图象,可以获得以下信息: ①点P在由B→C的过程中,BP的长度y随时间x变化的关系为正比例函数,表现在图象上应该是一段线段;②点P在由C→A的过程中,BP的 长度y随时间x变化的关系为二次函数,表现在图象上应该是抛物线的一部分;③当BP⊥AC 时,BP的长度最短,反映在图象上应为抛物线的最低点;④当点P到达点A时,此时BP=5, ∴AB=AC=5,AC边上的高BP=4,此时,由勾股定理,得AP=CP=52-42=3, 1 ∴AC=6,∴S△ABC=2×4×6=12. 50-x12625 9.解: (1)根据题意,得y=x·2=-2(x-25)+2,∴当x=25时,y最大, 即当饲养室长为25m时,占地面积y最大. 50-(x-2)12 (2)根据题意,得y=x·2=-2(x-26)2+338,∴当x=26时,y最大, 即当饲养室长为26m时,占地面积y最大. ∵26-25=1≠2,∴小敏的说法不正确. 10.解: 由题意知AP=tcm,BQ=2tcm, ∴PB=(6-t)cm,QC=(8-2t)cm, ∴S=48-4t-t(6-t)-3(8-2t)=t2-4t+24=(t-2)2+20. ∵t=2在0 ∴当t=2时,S取最小值,为20,即△PDQ面积的最小值为20cm2. 11.解: (1)∵三块矩形区域的面积相等, ∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍,∴AE=2BE.设BE=a,则AE=2a,∴8a+2x=80, 11 ∴a=-4x+10,2a=-2x+20, 11 ∴y=(-2x+20)x+(-4x+10)x 32=-x+30x. 4 1∵a=-x+10>0,∴x<40, 4 32则y=-4x2+30x(0 32323 (2)∵y=-4x2+30x=-4(x-20)2+300(0 ∴当x=20时,y有最大值,最大值为300. [素养提升] c=3, 解: (1)将点A(0,3),B(-1,0),D(2,3)分别代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=0,4a+2b+c=3, a=-1,解得b=2, c=3. ∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分, 13∴直线l必过其对称中心12,2. 由点A,D的坐标知,抛物线的对称轴为直线x=1,∴E(3,0), 13 13k+m=, 设直线l的函数表达式为y=kx+m,代入2,2和(3,0),得22解得 3k+m=0. 39∴直线l的函数表达式为y=-x+. 55 39y=-x+,2由55可得xF=-. 25y=-x2+2x+3, 如图①,过点P作PH⊥x轴于点H,交l于点M,过点F作FN⊥PH于点N. 39 ∵点P的纵坐标为yP=-t2+2t+3,点M的纵坐标为yM=-5t+5, 55 ∴PM=yP-yM=-t2+2t+3+53t-95=-t2+153t+65, 5555 1713228917 10·(t-10)+100×10, 1332891717∴当t=10时,△PFE的面积最大,最大值的立方根为100×10=10. (3)如图②,过点P作PK⊥x轴于点K,过点A作AQ⊥PK于点Q, 则在Rt△PKE中,PE2=PK2+KE2=(-t2+2t+3)2+(3-t)2;在Rt△AQP中,PA2=AQ2+PQ2=t2+(-t2+2t)2;在Rt△AOE中,AE2=OA2+OE2=18.由图可知∠PEA≠90°. ①若∠PAE=90°,则PE2=PA2+AE2, ∴(-t2+2t+3)2+(3-t)2=t2+(-t2+2t)2+18, 即-t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去). ②若∠APE=90°,则AE2=PE2+PA2, ∴18=(-t2+2t+3)2+(3-t)2+t2+(-t2+2t)2, 即(t-3)(t2-t-1)=0,解得t=3(舍去)或t=1+5或t=1-5<-2(舍去). 225 综上可知,存在满足条件的点 P,t的值为1或 1+5 2 如图K-6-11①,抛物线y=ax*123+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3),B(-1,0),D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t. (1)求抛物线的函数表达式. (2)当t为何值时,△PFE的面积最大? 并求最大值的立方根. (3)是否存在点P使△PAE为直角三角形? 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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