版高考文科数学北师大版一轮复习教师用书第一章 第3讲 全称量词与存在量词简单的逻辑联结词.docx

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版高考文科数学北师大版一轮复习教师用书第一章第3讲全称量词与存在量词简单的逻辑联结词

第3讲　全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词

一、知识梳理

1．全称量词与存在量词

（1）全称量词和存在量词的含义

量词名称

常见量词

含义

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个等

在指定范围内，表示整体或全部

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、有些、某些等

在指定范围内，表示个别或一部分

（2）全称命题、特称命题的定义、否定形式及真假判断

命题

名称

定义

否定形式

真假判断

全称

命题

含有全

称量词

的命题

特称命题

要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的

特称

命题

含有存

在量词

的命题

全称命题

要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的

2.逻辑联结词

（1）逻辑联结词通常是指“且”、“或”、“非”．

（2）命题p且q，p或q，非p的真假判断．

p

q

p且q

p或q

非p（﹁p）

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

常用结论

1．全称命题与特称命题的否定

（1）改写量词：

确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

（2）否定结论：

对原命题的结论进行否定．

2．含逻辑联结词命题真假的判断

（1）p且q中一假则假，全真才真．

（2）p或q中一真则真，全假才假．

（3）p与﹁p真假性相反．

二、教材衍化

1．命题“对任意的x∈R，x2＋x≥0”的否定是（　　）

A．存在x∈R，x2＋x≤0B．存在x∈R，x2＋x<0

C．对任意的x∈R，x2＋x≤0D．对任意的x∈R，x2＋x<0

解析：

选B.由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.

2．已知命题p：

2是偶数，命题q：

2是质数，则命题﹁p，﹁q，p或q，p且q中真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析：

选B.p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．故选B.

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题．（　　）

（2）命题p和﹁p不可能都是真命题．（　　）

（3）若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题．（　　）

（4）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（　　）

（5）存在x∈M，p（x）与对任意的x∈M，﹁p（x）的真假性相反．（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）√　（5）√

二、易错纠偏

（1）全称命题或特称命题的否定出错；

（2）复合命题的否定中出现逻辑联结词错误．

1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．

答案：

存在两个全等三角形的面积不相等

2．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为．

解析：

“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．

答案：

若ab≠0，则a≠0且b≠0

　　　　　　全称命题、特称命题（多维探究）

角度一　全称命题、特称命题的真假

若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是（　　）

A．对任意的x∈R，f（－x）≠f（x）

B．对任意的x∈R，f（－x）＝－f（x）

C．存在x∈R，f（－x）≠f（x）

D．存在x∈R，f（－x）＝－f（x）

【解析】　由题意知对任意的x∈R，f（－x）＝f（x）是假命题，则其否定为真命题，即存在x∈R，f（－x）≠f（x）是真命题，存在x∈R，f（－x）＝－f（x）是假命题．

【答案】　C

全称命题与特称命题的真假判断方法

（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）．

（2）要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p（x）成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．　

角度二　全称命题、特称命题的否定

已知命题p：

存在m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则﹁p为（　　）

A．存在m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

B．对任意的m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

C．存在m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

D．对任意的m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

【解析】　由特称命题的否定可得﹁p为“对任意的m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”．

【答案】　D

全称命题与特称命题的否定

确定原命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写，改写完以后再对原命题的结论进行否定．　

角度三　与全（特）称命题有关的参数问题

（2020·河南洛阳模拟）若命题“存在t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是______．

【解析】　因为命题“存在t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“对任意的t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝（－2）2－4×1×（－a）＝4a＋4≤0，即a≤－1.

【答案】　（－∞，－1]

将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题，从而根据函数性质、不等式等内容解决．

1．（2020·甘肃静宁一中三模）下列命题正确的是（　　）

A．存在x∈R，x2＋2x＋3＝0

B．x>1是x2>1的充分不必要条件

C．对任意的x∈N，x3>x2

D．若a>b，则a2>b2

解析：

选B.对于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即存在x∈R，x2＋2x＋3＝0错误，即A错误；

x2>1⇔x<－1或x>1，故x>1是x2>1的充分不必要条件，故B正确；

当x≤1时，x3≤x2，故对任意的x∈N，x3>x2错误，即C错误；

若a＝1，b＝－1，则a>b，但a2＝b2，故D错误．故选B.

2．（2020·河南商丘模拟）已知f（x）＝sinx－x，命题p：

存在x∈

，f（x）<0，则（　　）

A．p是假命题，﹁p：

对任意的x∈

，f（x）≥0

B．p是假命题，﹁p：

存在x∈

，f（x）≥0

C．p是真命题，﹁p：

对任意的x∈

，f（x）≥0

D．p是真命题，﹁p：

存在x∈

，f（x）≥0

解析：

选C.易知f′（x）＝cosx－1<0，所以f（x）在

上是减函数，因为f（0）＝0，所以f（x）<0，所以命题p：

存在x∈

，f（x）<0是真命题，﹁p：

对任意的x∈

，f（x）≥0，故选C.

含有逻辑联结词的命题的真假判断（师生共研）

（2020·河北衡水中学3月大联考）已知命题p：

对任意的x∈R，|x＋1|>x；命题q：

“m≤1”是“函数f（x）＝x2－（m＋1）x－m2在区间（1，＋∞）内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为（　　）

A．p且qB．（﹁p）且q

C．（﹁p）或qD．p且（﹁q）

【解析】　因为|x＋1|>x，对x∈R成立，故p为真命题；因为函数f（x）＝x2－（m＋1）·x－m2在区间（1，＋∞）内单调递增，所以

≤1，即m≤1，故应为充要条件，故q为假命题，所以p且q，（﹁p）且q，（﹁p）或q均为假命题，p且（﹁q）为真命题，故选D.

【答案】　D

（1）“p或q”“p且q”“﹁p”等形式命题真假的判断步骤

①确定命题的构成形式；

②判断其中命题p，q的真假；

③确定“p或q”“p且q”“﹁p”等形式命题的真假．

（2）含逻辑联结词命题真假的等价关系

①p或q真⇔p，q至少一个真⇔（﹁p）且（﹁q）假；

②p或q假⇔p，q均假⇔（﹁p）且（﹁q）真；

③p且q真⇔p，q均真⇔（﹁p）或（﹁q）假；

④p且q假⇔p，q至少一个假⇔（﹁p）或（﹁q）真；

⑤﹁p真⇔p假；﹁p假⇔p真．　

1．（2020·安徽蚌埠一模）已知命题p：

存在x∈R，sinx>1，命题q：

对任意的x∈（0，1），lnx<0，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p且qB．p且（﹁q）

C．p或（﹁q）D．（﹁p）且q

解析：

选D.因为－1≤sinx≤1，故命题p是假命题，易知命题q是真命题，故p且q为假，p且（﹁q）为假，p或（﹁q）为假，（﹁p）且q为真，故选D.

2．已知命题p：

“若x2－x>0，则x>1”；命题q：

“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是（　　）

A．p或（﹁q）B．p或q

C．p且qD．（﹁p）且（﹁q）

解析：

选B.若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p或q是真命题，故选B.

由命题的真假确定参数的取值范围（典例迁移）

已知p：

存在x∈R，mx2＋1≤0，q：

任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

【解】　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，即－2

即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞）．

【迁移探究1】　（变结论）本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________．

解析：

依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2

由

可得－2

答案：

（－2，0）

【迁移探究2】　（变结论）本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________．

解析：

若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．

当p真q假时

所以m≤－2；

当p假q真时

所以0≤m<2.

所以实数m的取值范围是（－∞，－2]∪[0，2）．

答案：

（－∞，－2]∪[0，2）

【迁移探究3】　（变条件）本例中的条件q变为：

存在x∈R，x2＋mx＋1<0，其他不变，则实数m的取值范围为________．

解析：

依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，

所以m>2或m<－2.由题意知，p，q均为假命题，

所以

得0≤m≤2，

所以实数m的取值范围是[0，2]．

答案：

[0，2]

根据命题真假求参数的步骤

（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）．

（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．

（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

[注意]　要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究

（2），由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．　

　（2020·河南师范大学附属中学开学考）已知命题p：

“对任意的x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：

“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（4，＋∞）B．[1，4]

C．（－∞，1]D．[e，4]

解析：

选D.命题p等价于lna≥x对x∈[0，1]恒成立，所以lna≥1，解得a≥e；命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p且q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e，4]，故选D.

[基础题组练]

1．已知命题p：

存在x>1，x2－1>0，那么﹁p是（　　）

A．对任意的x>1，x2－1>0

B．对任意的x>1，x2－1≤0

C．存在x>1，x2－1≤0

D．存在x≤1，x2－1≤0

解析：

选B.特称命题的否定为全称命题，所以﹁p：

对任意的x>1，x2－1≤0.

2．已知命题p：

实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（　　）

A．命题p是假命题

B．命题p是特称命题

C．命题p是全称命题

D．命题p既不是全称命题也不是特称命题

解析：

选C.本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断．命题p：

实数的平方是非负数，是真命题，命题p是全称命题，故选C.

3．（2020·河南郑州调研测试）已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p或q为真命题”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A.若﹁p为假命题，则p为真命题，则p或q为真命题；若p或q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，但p不一定为真命题，故无法判定﹁p为假命题．即“﹁p为假命题”是“p或q为真命题”的充分不必要条件．故选A.

4．（2020·辽宁五校协作体联考）已知命题“存在x∈R，4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，0）B．[0，4]

C．[4，＋∞）D．（0，4）

解析：

选D.因为命题“存在x∈R，4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，所以其否定“对任意的x∈R，4x2＋（a－2）x＋

>0”是真命题，则Δ＝（a－2）2－4×4×

＝a2－4a<0，解得0

5．命题p的否定是“对所有正数x，

>x＋1”，则命题p可写为____________________．

解析：

因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．

答案：

存在x∈（0，＋∞），

≤x＋1

6．已知命题p：

x2＋4x＋3≥0，q：

x∈Z，且“p且q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．

解析：

若p为真，则x≥－1或x≤－3，

因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，

又因为“p且q”为假，所以p为假，故－3

得x＝－2.

答案：

－2

7．已知命题p：

f（x）＝

在区间（0，＋∞）上是减函数；命题q：

不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p或q”为真，则实数m的取值范围是______；若“p且q”为假，则实数m的取值范围是______．

解析：

对于命题p，由f（x）＝

在区间（0，＋∞）上是减函数，得1－2m>0，解得m<

；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式（x－1）2>m的解集为R，因为（x－1）2≥0恒成立，所以m<0.若p或q为真，则p，q中有一个为真，所以m<

；若p且q为假，则p，q至少有一个为假．若p为假，则m≥

；若q为假，则m≥0，所以m≥0.

答案：

.

8．设命题p：

函数y＝loga（x＋1）在区间（－1，＋∞）内递减，q：

曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴有两个不同的交点．若p且（﹁q）为真命题，求实数a的取值范围．

解：

函数y＝loga（x＋1）在区间（－1，＋∞）内递减⇔0

曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴有两个不同的交点⇔Δ＝（2a－3）2－4＞0⇔a<

或a＞

.

所以若p为真命题，则0

若q为真命题，则a<

或a＞

.

因为p且（﹁q）为真命题，

所以p为真命题，q为假命题．

由

，解得

≤a<1，

所以实数a的取值范围是

.

[综合题组练]

1．已知命题p：

存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：

若mx2－mx＋1>0恒成立，则0

A．“﹁p”是假命题B．q是真命题

C．“p或q”为假命题D．“p且q”为真命题

解析：

选C.因为x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即（x－1）2<0，所以命题p为假；若mx2－mx＋1>0恒成立，则m＝0或

则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.

2．（2020·安徽八校联考）下列说法正确的是（　　）

A．“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题

B．命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题

C．“存在x∈R，x2－x<0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x>0”

D．“a＋1>b”是“a>b”的一个充分不必要条件

解析：

选B.对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故A不正确；对于B，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B正确；对于C，“存在x∈R，x2－x<0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≥0”，故C不正确；对于D，由a>b可推得a＋1>b，但由a＋1>b不能推出a>b，故D错误．

3．短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p或q是真命题，p且q是假命题，（﹁q）且r是真命题，则选拔赛的结果为（　　）

A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名

B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名

C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名

D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名

解析：

选D.由（﹁q）且r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题（乙没得第二名），且r为真命题（丙得第三名）；p或q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题（甲得第一名），这与p且q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.

4．已知m∈R，命题p：

对任意实数x，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，若﹁p为真命题，则m的取值范围是________．

解析：

若对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，则[（x－1）2－2]min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因为﹁p为真命题，所以m<1或m>2.

答案：

（－∞，1）∪（2，＋∞）