平行四边形的性质及判定.docx
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平行四边形的性质及判定
平行四边形的性质
及判定
1•平行四边形的性质
平行四边形的边:
平行四边形的对边平行且对边相等.平行四边形的角:
平行四边形的对角相等,邻角互补.平行四边形的对角线:
平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的对称性:
平行四边形是中心对称图形.
平行四边形的周长:
一组邻边之和的2倍.
平行四边形的面积:
底乘以高.
2.平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1、平行四边形的性质
【例1】如图,四边形ABCD为平行四边形,即ABIlCD,ADIlBC•通过证明三角形全等来说明:
⑴ABCD,ADBC•(对边相等)
⑵AOCO,BODO•(对角线互相平分)
【例3】如图所示,已知四边形ABCD,从⑴ABIlDC:
⑵ABDC:
⑶ADIlBC;⑷ADBC;
⑸AC;(6)BD中取两个条件加以组合,能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几
种情形?
请写出具体组合。
【例6】以三角形的三个顶点作平行四边形,最多可以作()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【例7】如图,平行四边形ABCD中,ABAC.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
⑴证明:
当旋转角为90时,四边形ABEF是平行四边形;
⑵试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等.
【例8】在平行四边形ABCD中,点A、A、A∖A4和C1、C2、C3、C4分别为AB和CD的五等分点,点B1、
B2和Di>D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A1B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD
面积为(
)
A.2
B.3
C.5
D.15
5
3
【例10】
现有如图2的铁片,其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形,工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分,请你帮助师傅设计三种不同的分割方案.
【例11】如图3,一个平行四边形被分成面积为S1、S2、S3、S4四个小平行四边形,当CD沿AB自左向
右在平行四边形内平行滑动时.
【例12】
【例13】
【例14】
【例15】
1S1S4与S2S3的大小关系为.
2已知点C与点A、B不重合时,图中共有个平行四边形,
如图1,。
1,。
2,。
3,。
4为四个等圆的圆心,A,B,C,D为切点,
线,将这四个圆分成面积相等的两部分,并说明这条直线经过的两个点是
01,02,03,04,05为五个等圆的圆心,直线,
A,B,C,D,E为切点,将这五个圆分成面积相等的两部分,并说明这条直线经过的两个点是
请你在图中画出一条直
;如图2,请你在图中画出一条
如图,求证:
E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE
(1)ADF也CBE;
(2)EBIlDF.
CF.
已知:
在平行四边形ABCD中,BCD的平分线CE交边AD于E,AEDG.
如图,
CE于F,交AD于G.求证:
ABC的平分线BG交
已知:
如图,平行四边形ABCD内有一点E满足EDAD于点D,EBC请找出与BE相等的一条线段,并给予证明.
EDC,ECB45,
【例16】如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,BEIlDF,求证:
AFCE.
【例17】如图,平行四边形ABCD中,AEBD于E,CFBD于F•求证:
AECF.
【例19】如图,平行四边形ABCD中,E是BC的中点,DE、AB的延长线交于点F,连接AE、CF•求
【例20】如图,已知等边三角形的边长为10,P是ABC内一点,PDIlAC,PE//AB,PF//BC,点
PEPF
D,E,F分另IJ在AB,BC,AC上,贝UPD
则这个四边形是()
【例24】(2009东营)如图3,在平行四边ABCD中,已知AD8cm,AB6cm,DE平分ADC交BC边于点E,贝UBE等于Cm.
【例25】已知平行四边形ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于O点,AOB的周长比BOC的周长多8cm,则AB的长度为Cm.
【例26】一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7,则它的一条边长a的取值范围是
【例27】如图,是某区部分街道示意图,其中CE垂直平分AF,ABIlDC,BCIlDF,从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车,路线1是BDAE,路线2是BCFE,请比较
两条路线路程的长短,并给出证明.
【例28】如图是某市一公园的路面示意图,其中,ABCD是平行四边形,BEAC,DFAC,E、F是
垂足,G、H分别是BC、AD的中点,连接EG,GF,FH.HE为公园中小路,问小明从B地经E地,H地到F地,与小强从D地经F地,G地到E地,谁的路程远.
【例29】在平行四边形ABCD中,过A任作一直线AM,过B、C、D作AM的垂线BE、CF、DG,垂足分别是E、F、G,求证:
BEDGCF.
F
A
G
EO
B
二、平行四边形性质和判定的综合应用
【例31】点A、B、C、D在同一平面内,从①ABIlCD,②ABCD,③BCIlAD,④BCAD.这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()种
A.3B.4C.5D.6
【例32】如图,已知:
AD是ABC的角平分线,DEHAB,在AB上截取BFAE,连接DE,EF,求
证:
四边形BDEF是平行四边形
【例33】已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点求证:
⑴AFD也CEB;⑵四边形AECF是平行四边形•
【例34】如图所示,P为平行四边形ABCD内一点,求证:
以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形,并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC.
【例35】
如图,四边形ABCD中,ABIlCD,BD,BC6,AB3,求四边形ABCD的周长•
【例36】
如图所示,在平行四边形ABCD中,、F是对角线AC上两点,且AFCE,求证:
四边形BEDF是平行四边形.
【例37】
已知:
如图,AD//BC,ED//BF,且AFCE.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【例38】
如图,在平行四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上,分别取E,F,G,H,使AECG,BFDH,求证:
四边形EFGH为平行四边形
【例39】
如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点
PEPF,且APAECPCF.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【例40】
如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在AD,BC上,且AECF,AF与BE交于点M,CE
【例41】
【例42】
【例43】
【例44】
与DF交于点N,求证:
四边形
如图,在平行四边形ABCD中,四边形MFNE是平行四边形.
EMFN是平行四边形
点M、N是对角线AC上的点,且
ABCD的AD、BC边上的点,且
AMCN,DEBF,求证:
AECF.
如图,E、F分别是平行四边形
⑴求证:
ABE也CDF;
⑵若M,N、分别是BE、DF的中点,连接MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
如图,
OB、
过四边形ABCD对角线的交点O作直线EF交AD、BC分别于E、F,又G、H分别为OD的中点,求证:
四边形EHFG为平行四边形.
如图,
为平行四边形.
ACD、ABE、
BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当ABAC时,证明四边形ADFE
【例45】
如图,点E,F,G,H,M,N分别在
NH//MG//BC,ME//NF//AC,出发,黑蚂蚁沿路线FNH爬行,那么()
A.
B.
C.
D.
【例46】
【例47】
【例48】
ABC的BC,AC,AB边上,且
GF//EH//AB,有黑、白两只蚂蚁,它们同时同速从
EMG
F爬行,白蚂蚁沿路线FBA
黑蚂蚁先回到F点白蚂蚁先回到F点两只蚂蚁同时回到F点
哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定
ABCD的对边AB、CD为边分别在外作等边平行四边形.
等边ABC中,点D在BC上,点E在AB上,且四边形CDFE是平行四边形.
如图,已知AC是平行四边形ABCD的对角线,BPDQ是平行四边形.
ABE、等边CDF•求证:
四边形AECF是
F
CDBE,所以AD为边作等边ADF•求证:
ACP和ACQ都是等边三角形,求证:
四边形
【例49】如图,ABC中,D是AB的中点,E是AC上任意一点,EF//AB,DF//BE•求证:
DF与AE互相平分.
F
【例50】已知BD为平行四边形ABCD的对角线,过C作CE//BD,连接AE交BD的延长线于F,求证:
AFFE•
A
【例51】如图,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A,B,C,D处均种有一颗大核桃树,田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想让核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状,请问田村能否实现这一设想?
若能,请你设计并画出图形,若不能,请说明理由
【例53】如图,在平行四边形ABCD中,DEAB于E,BMMCDC,那么EMC与BEM的大小
关系怎样?
【例54】已知平行四边形ABCD,BC2AB,M为AD的中点,CEAB.求证:
EMD3AEM.
【例56】如图,P为平行四边形ABCD内一点,过点P分别作AB、AD的平行线,交平行四边形于E、F、
H四点,右SAHPE3,SPFCG5,求SAPBD•
【例59】如图,在等腰ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE,恰有
ADBCCEDE.求证:
BAC100.
【例60】
如图⑴,四边形EFGH中,若12,贝U3必然等于在平行四边形ABCD中取一点P,使得56,求证:
【例61】
【例62】
【例63】
4•请运用结论证明下述问题:
如图⑵,
7
H
8.
⑵
如图所示,在平行四边形ABCD中,求证AC2
如图,ABC中,C90,点M在BC上,且
BN相交于点P,求证:
BPM45
BD2
AB2
222
BC2CD2DA2.
BM
AC,
点N在AC上,且ANMC,AM与
B
如图,在ABC中,AB3,AC4,BC5,ABD,
AEFD的面积
ACE,BCF都是等边三角形,求四边形
ADa,BEIlAC,DE交AC的延长线于F点,交BE于E点.
60,ACDC,求BE的长;ABED的面积.
【例64】如图,ABCD为平行四边形,
求证:
DFFE;若AC2CF,ADC
⑶在⑵的条件下,求四边形
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